Файл: Зысина-Моложен, Л. М. Теплообмен в турбомашинах.pdf

уравнений, описывающих процесс, в цилиндрических координа­ тах (г, г, ср) имеет, как уже говорилось выше, следующий вид [117]:

(111.89)

Граничные условия этой системы:

Если считать вращение с угловой скоростью со равномерным и диск настолько большим, что можно пренебречь краевыми эф­

(где за аргумент принято выражение £ = z Y w/v) позволяет свести систему (111.89) к системе из шести обыкновенных дифференциаль­ ных уравнений:

2f-f/T = 0;

Р + П -~?—Г= 0;

2fg + hg ' - g ” = 0-

(II1.92)

р' +hh' — h" = 0;

s" — Pr hs' -f- h's = — Pr (f 2 + g '2); t" — Pr hi' = — (4s -f 12 Pr f2)

7Г

с граничными условиями:

Численное решение этой системы позволило получить из пер­ вых четырех уравнений толщину динамического пограничного слоя

где

соа2 v

Последние два уравнения системы (III.92) позволяют полу­ чить решение для температурного поля в пограничном слое во­ круг диска:

Т — Тг + ( Т . - Т „ ) к { г У ^ ) + ^ ф У ^ +

СО2/-2

(III.97)

С Р

Как видно из рассмотрения уравнения (III.97), два последних члена в нем не зависят от граничных условий задачи; они не за­ висят ни от Tw, ни от и характеризуют повышение темпера­ туры, которое получается за счет диссипации механической энер­ гии. Расчеты, проведенные в работе [221 ], показали, что при малых значениях Мш этими членами можно пренебречь. В этом случае уравнение (III.97) сводится к соотношению

температура не зависит от радиуса, а зависит только от расстоя­ ния до диска г.

Значение функции tx было получено в работе [221 ] с помощью численного интегрирования.

72

Количество тепла, отдаваемого окружающей среде одной сто­ роной диска в секунду, равно

2л а

В работе (45) рассмотрен частный случай решения уравнения притока тепла для вращающегося диска, температура поверх­

Функция ср (Рг) также представлена на рис. 10.

Равномерное вращение диска в кожухе. При равномерном дви­ жении диска в соосном цилиндрическом кожухе возникает слож­ ное пространственное течение жидкости. Имеет место подтекание жидкости к вращающемуся диску и последующее отбрасывание

73

ее к периферии. Это приводит к циркуляции жидкости по стен­ кам кожуха и соответствующему перетеканию ее по основаниям кожуха от периферии к центру диска.

В зависимости от ширины зазора между диском и кожухом возможны два типа движения:

1) если зазор достаточно велик, то пограничные слои, обра­ зующиеся на вращающемся диске и неподвижном кожухе, не смыкаются, а взаимодействуют друг с другом через некоторую область внешнего потока;

2) если зазор мал, то пограничные слои, образующиеся на диске и основании кожуха, смыкаются.

Первый случай был рассмотрен в работе Шульца—Грюнова. Опыты, описанные в этой работе, показали, что в рассматривае­ мом случае в области, находящейся между пограничными слоями, возникает такое же распределение азимутальных скоростей, ка­ кое имеет место в твердом теле, вращающемся с некоторой угло­ вой скоростью сй! — промежуточной между скоростью диска со

инулевой скоростью вращения кожуха.

Вэтом случае в отличие от задачи, рассмотренной для враще­

ния диска в неограниченном пространстве, во внешнем потоке существуют азимутальные движения, в результате чего возни­ кает изменение давления в радиальном направлении:

(И1.103)

В связи с этим в системе уравнений (II 1.89) нельзя пренебрегать членами с радиальными производными.

Численное решение такой полной системы дифференциальных уравнений, приведенное в работе Шульца—Грюнова, позволило получить следующие выражения для толщины пограничного слоя 60 и момента сил трения жидкости М 0 на основаниях кожуха:

Для вращающегося диска соответствующие уравнения имеют вид:

74

Теоретически было получено соотношение между угловыми скоростями вращения жидкости (а^) и диска (со)

Тогда из (III. 106) следует, что 8 = const, а

М = 1,33pa4o) yiOjv,

Кроме решений этой динамической задачи имеются решения, относящиеся к вращению диска в однородном осевом потоке, к вра­ щению диска, приводимого в движение из состояния покоя, и др. Здесь на этих решениях мы останавливаться не будем, подробный их анализ приведен в работе [117].

15.Ламинарное движение вязкой жидкости

вгладкой цилиндрической трубе

Для решения задачи воспользуемся основной системой диф­ ференциальных уравнений, полученной в п. 2, так как в этом случае упрощенная система дифференциальных уравнений по­ граничного слоя может быть применена лишь на коротком входном участке. На основном же участке длинной трубы по­ граничные слои, образовавшиеся у стенок, смыкаются, и поня­ тие внешней границы погранич­ ного слоя с невозмущенным внешним потоком теряет смысл.

Рассмотрим бесконечно длин­ ную трубу с потоком, направ­ ленным вдоль ее оси z (рис. И). Очевидно,что для рассматривае­

мого случая все компоненты скорости произвольной точки М, кроме w, будут равны нулю и система уравнений существенно упростится. Уравнения движения и сплошности для несжимае­ мого потока приобретают вид:

Из этих уравнений следует, что скорость w является функцией только от координат х и у, а давление р —. только от г.

75