Файл: Зысина-Моложен, Л. М. Теплообмен в турбомашинах.pdf

Таким образом, для рассматриваемой задачи мы имеем только одно уравнение

левая часть которого представляет функцию только от z, а пра­ вая — только от х и у. Так как координаты х, у и z независимы друг от друга, то равенство (III.ПО) возможно только в том слу­ чае, если правая и левая его части в отдельности равны постоян­ ному числу. Пусть

в нуль скорости w на контуре поперечного сечения, нормального к оси z. Эта задача для простейших контуров поперечного сечения трубы легко решается.

Рассмотрим течение через трубу эллиптического сечения. Пусть сечение трубы будет представлять собой эллипс с полуосями а ив, описываемый в плоскости хОу уравнением

Тогда решение уравнения (III. 111) с учетом граничных усло­ вий будет иметь вид

при этом постоянная А определяется из условия

Подставляя это значение А, получаем выражение для профиля скорости в поперечном сечении эллиптической трубы в виде

76

Очевидно, эпюры этой скорости представляет собой параболоид вращения, а линиями равных скоростей — изотахами — будут концентрические эллипсы с одинаковыми отношениями полуосей.

Максимальная скорость на оси трубы

Тогда выражение для скорости можно представить в виде

Секундный объемный расход жидкости через сечение эллипти­ ческой трубы (а — площадь сечения)

или

Средняя скорость будет равна отношению секундного объем­ ного расхода к площади сечения трубы F = nab:

Течение в цилиндрической трубе круглого сечения можно рас­ сматривать как частный случай, соответствующий условию равен­

т. е. получаются известные формулы и известный закон Пуазейля, согласно которому при установившемся ламинарном движении в круглой трубе секундный объемный расход пропорционален перепаду давления на единицу длины трубы и четвертой степени ее радиуса. Этот закон справедлив только для установившегося течения, имеющего место на достаточном удалении от входа; для начального участка трубы или для коротких труб закон Пуазейля несправедлив.

Введем понятие сопротивления Ар данного участка трубы, ха­ рактеризуемого перепадом давления на этом участке при заданной

77

скорости или заданном объемном расходе жидкости через трубу:

(III.120)

Коэффициент X, представляющий собой перепад давления на участке трубы длиной I = d , отнесенный к единичному среднему скоростному напору, называется к о э ф ф и ц и е н т о м с о ­ п р о т и в л е н и я .

Этот коэффициент имел бы одно и то же постоянное значение для данной трубы и данной жидкости, если бы сопротивление трубы подчинялось квадратичному закону зависимости от ско­ рости. На самом деле при ламинарном течении в гладких трубах этот закон не имеет места и коэффициент X зависит от скорости.

Действительно, если подставить в (III. 120) выражение для Ар из (III. 118), то можно получить соотношение

кой жидкости в цилиндрической трубе круглого сечения. Выра­ жение (III. 120) обычно рассматривается не как закон сопротив­ ления, а как формула для определения X.

Выражение (III. 121) справедливо и для эллиптической трубы,

Закон распределения скоростей (III. 112) можно было бы полу­ чить и непосредственно из исходного дифференциального уравне­

78

Из условия ограниченности скорости на оси трубы при г = О следует, что = 0, а из условия w = 0 при г — а — что профиль скорости имеет параболический характер.

Решение (III. 122) является более общим, чем (III. 112). Из него, например, можно получить распределение скоростей в об­ ласти между двумя соосными круглыми цилиндрами, имеющими

радиусы а и Ь >• а.

Граничные условия (w — 0 при г = а и г = Ь) позволяют получить распределение скоростей

(III.123)

Тогда соответственно:

(III.124)

(III.125)

Так же можно получить формулы для скоростей и расходов в слу­ чае ламинарного движения в трубе прямоугольного сечения. Пусть

(III.126)

(III.127)

(III.128)

где

79

Численные значения этой функции:

Уравнение притока тепла (1.27) для рассматриваемой задачи может быть также упрощено. В цилиндрических координатах (г, г, ср) в соответствии с рис. 11 для круглой трубы его можно пре­ образовать к виду

Задачу представим следующим образом. Сначала температур­ ное поле жидкости в трубе однородно (Т = Tw). После некоторого сечения z = 0 температура стенки Tw становится выше (или ниже) температуры жидкости, но сохраняется постоянной (Tw = const).

Введем в рассмотрение ft = Т —• Tw\ очевидно, уравне­ ние (III. 129) относительно ft будет иметь такой же вид, как и от-

2) при 2 > 0 и г = а имеем d = 0.

Решение задачи о температурной функции d (г, г) ищется в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от 2, другая — только от г:

Подставив эту функцию в (III. 130), Нуссельт [32] нашел ре­ шение уравнения'в виде бесконечного ряда

80