координатам, для единственности решения должны быть известны одно условие в некоторый фиксированный момент времени, при нятый за начальный, и два условия для каждой из координат. Иными словами, для однозначного описания теплового процесса необходимо иметь дополнительную информацию о характере теплообмена на границах указанной пространственно-временной области, характеризующую конкретную физическую обстановку — краевые условия задачи.
Для каждой точки поля должно быть известно исходное (на чальное) состояние. В начальный момент времени т = т 0 задается
некоторая функция |
|
|
|
|
t (х, |
у, |
z, т 0) = '/(* , |
у, z). |
(VIII. 11) |
Распределение (VIII. 11) |
представляет |
собой |
начальное условие |
задачи. |
|
|
|
|
На практике часто встречаются задачи с простым начальным |
условием |
у, |
z, т 0) = tо = |
const, |
(VIII.12) |
t (х , |
например при разогреве системы из холодного состояния, при охлаждении после работы на стационарном режиме и т. д.
Для точек, расположенных на границах области и потому подверженных внешним влияниям, требуется описать характер этих влияний, т. е. задать пространственные краевые (граничные) условия.
Рассмотрим четыре типичных граничных условия.
1. Для каждой точки на границе области s задается темпера
тура как функция времени: |
|
|
^s = f i W; |
t 0< T < T b |
(Viii. 13) |
где т х — промежуток времени, в течение которого изучается про цесс. Требуется найти функцию t (х, у , г, т), удовлетворяющую внутри заданной области уравнению теплопроводности и прини мающую на границе области s заданное значение /у (т). Это — так называемое граничное условие первого рода [32, 105, 125]. Согласно терминологии математической физики, эта задача назы вается первой краевой задачей, а для условий, в которых спра ведливо уравнение Лапласа (VIII.7), — задачей Дирихле.
2. На границе области s задается плотность теплового потока как функция времени
В этом случае решение сводится к определению функции t (х, у, z, т), которая внутри области удовлетворяет соответствующему уравнению теплопроводности, а ее нормальная производная на границе области s принимает значение
( д1 \ -= |
f*(т) |
\ д п ) $ |
К |
Это — граничное условие второго рода, вторая краевая задача мате матической физики, задача Неймана для уравнения Лап ласа (VIII. 7).
3. На границе области s может быть указана линейная комби нация искомой величины и ее градиента:
(VIII. 15)
Это — третья краевая задача, граничные условия третьего рода, характеризующие теплообмен между поверхностью тела и средой. В этом случае температура среды tn и коэффициент теплоотдачи а считаются известными. Аналогичная задача для уравнения Ла пласа носит название смешанной задачи.
Граничные условия третьего рода — наиболее широко распро страненный вид граничных условий в практических задачах, в том
числе в задачах турбостроения. |
и |
4. |
Если между двумя телами с теплопроводностью |
существует идеальный контакт, то на соприкасающихся поверх ностях sx и s2 имеет место равенство температур и тепловых потоков
^S1 (т) — ^S2 (т)>
(VIII.16)
Задание равенства температур и тепловых потоков на идеально соприкасающихся поверхностях составляет содержание гранич ного условия четвертого рода.
Рассмотренные краевые условия являются частным случаем условий однозначности, по существу являющихся условиями единственности решения. Это значит, что если некоторая функция t (х, у, z, т) удовлетворяет одному из дифференциальных урав нений теплопроводности (VIII. 1), (VIII.5) или (VIII.7), началь ному (VIII. 11) и граничным (VIII. 13)—(VIII. 16) условиям, то она является единственным решением задачи [125].
Но это не значит, однако, что данному известному уравнению теплопроводности соответствует только одна совокупность усло вий однозначности. Другими словами, условия однозначности определяют единственное температурное поле, в то время как само поле не определяет единственным образом условий одно значности.
Решение задачи может быть получено в разных функциональ ных соотношениях, но это не противоречит теореме единственности решения, так как указанные неодинаковые по написанию соотно шения не являются разными решениями.
Таким образом, общую прямую задачу аналитической теории теплопроводности можно сформулировать следующим образом: требуется определить распределение температуры t в однородном изотропном теле в данный момент времени т, если известно
начальное распределение температуры (начальные условия) и условия на его границах (граничные условия).
Обратные, инверсные и индуктивные задачи мы не рассма триваем.
Решать эту задачу можно различными путями:
а) применяя известные аналитические методы решения, найти явное выражение для функции температуры в виде аналитической зависимости;
б) с помощью различных подстановок, интегральных пре образований и т. п. свести решение сложной задачи к более про стой; например, решение уравнения в частных производных — к решению обыкновенных дифференциальных уравнений, нели нейной задачи — к линейной;
в) создав аналоговую модель, решить экспериментально за дачу другой физической природы, а затем выразить результаты в параметрах первоначальной задачи;
г) пользуясь численными методами (в том числе и вероятно стными), создать машинный алгоритм, который позволит с помо щью ЭВМ найти приближенное решение задачи с заданной точ ностью за разумное время.
Каким же из указанных путей и методов решения следует отдать предпочтение при исследовании температурного состояния элементов турбомашин?
Однозначного ответа на этот вопрос дать нельзя. Выбор пути и метода исследования зависит от сложности задачи, требуемой точности и трудоемкости вычислений при применении того или другого метода. Сложность задачи обусловливается такими факто рами, как форма конструкции, особенности теплового процесса (вид уравнения теплопроводности) и сложность граничных усло вий. Требуемая точность связана с целью исследования. Если, например, при конструировании узла удовлетворяет заданная ограниченная точность, целесообразно использовать менее точ ное, но более простое, приближенное решение.
Построение решения в явном виде — в виде аналитических за висимостей — возможно лишь для весьма узкого класса задач, но если возможно, то им следует непременно воспользоваться ввиду неоспоримых преимуществ аналитических зависимостей, имеющих наибольшую общепознавательную ценность, позволяю щих оценивать влияние на температурное поле различных факто ров и наиболее удобных для использования при определении тем пературных напряжений. Этот путь исследования эффективен для одномерных задач, т. е. для тел правильной геометрической формы и с тепловой симметрией.
В зависимости от особенностей конструкции и физической обстановки процесса должен решаться вопрос, в какой поста новке — одно-, двуили трехмерной — следует проводить иссле дование. Часто постановка задачи упрощается для преодоления математических, вычислительных или экспериментальных труд
нее
ностей, связанных с полным анализом трехмерного температурного поля. В таких случаях требуется проверка достоверности решения. Например, математические модели, в которых распределение тем пературы и напряжения в цилиндрах и роторах турбин предпо лагаются одномерными, оправданы лишь для сечений в средней части цилиндров, где отсутствуют (или незначительны) осевые перетечки тепла и цилиндр испытывает напряжение, характерное для бесконечного цилиндра. В общем случае одномерная матема тическая модель для цилиндров и роторов далека от реальных физических условий, соответствующих их термическому нагруже нию, и может привести к существенным ошибкам в оценке их напряженного состояния.
Тепловое состояние корпуса в переходных режимах нельзя оценить правильно только по результатам его моделирования как осесимметричного (двумерного) тела, так как фланцы гори зонтального разъема нарушают осевую симметрию как самого корпуса, так и его температурного поля [82]. Достоверное распре деление температуры в этом случае может быть получено в резуль тате решения трехмерной задачи нестационарной теплопровод ности. Однако при решении этих задач с помощью аналоговых моделей в силу большой трудоемкости и сложности подготовки трехмерной модели в ряде случаев считают возможным решать задачу на плоских моделях. Для цилиндрической части корпуса, удаленной от зоны влияния фланцев, такая постановка в опре деленной мере оправдана [147]. В других случаях необходима проверка достоверности решения.
Рассмотрим лопатку газовой турбины. Вообще говоря, она имеет сложное пространственное температурное поле. В этом случае правомерна только трехмерная постановка задачи, хотя оконча тельное решение вопроса зависит еще и от цели исследования. А в ряде других случаев тепловой поток имеет такой характер, что допустимо решение двумерной задачи. К таким случаям отно сятся некоторые конструкции лопаток с внутренним охлажде нием. Например, в лопатке с охлаждающими каналами (имеется в виду перо лопатки) при интенсивном охлаждении результирую щая теплопроводность в продольном направлении отсутствует. О температурном состоянии такой лопатки достаточно точно можно судить по решениям двумерных задач [69, 242].
Наибольшее число работ по расчетному исследованию темпе ратурных полей в элементах турбин выполнено в предположении постоянства теплофизических свойств материала, т. е. путем реше ния линейного уравнения нестационарной теплопроводности
(VIII.5).
При определении температурных полей на режимах пуска турбины, на некоторых переходных режимах и остановах следует принимать во внимание не только зависимость теплофизических характеристик материалов от температуры, но и изменение коэф фициентов теплоотдачи во времени, т. е. решать нелинейное
уравнение нестационарной теплопроводности (VIII. 1) при пере менных граничных условиях третьего рода (VIII. 15).
Аналитическая теория решения нелинейного уравнения неста ционарной теплопроводности до настоящего времени не разра ботана. Имеющиеся в литературе решения посвящены лишь не которым частным задачам. Это объясняется трудностью выполне ния математического анализа. Точное решение уравнения (VIII. 1) при а = / (т) не получено даже для одномерных задач, за исключе нием некоторых частных случаев зависимости а = / (т).
В такой постановке задачи могут быть решены в настоящее время только численными методами, реализованными или с по мощью быстродействующих ЭВМ, или посредством аналоговых моделей. В этом случае задача ставится в конкретно-числовой форме, что предельно индивидуализирует решение и полностью исключает возможность какого-либо обобщения [36]. Однако это единственный путь для решения многих сложных задач.
Наиболее перспективными следует назвать методы с исполь зованием ЭВМ. Это могут быть и аналитические, и численные ме тоды исследования, и разумное сочетание различных методов. Возможность применения быстродействующих ЭВМ — важный показатель эффективности метода.
46. Численные методы расчета полей температур с использованием ЭВМ
Появление современных быстродействующих ЭВМ должно при вести к своего рода революции в области численных методов [138]. Мы еще, по-видимому, и близко не подошли к использо ванию всех огромных возможностей ЭВМ. В настоящее время существует значительный разрыв между тем, что могут дать эти машины, и тем, что мы умеем эффективно использовать.
Методы, |
реализуемые в настоящее время с помощью ЭВМ, |
в основном |
представляют собой простое объединение методов, |
разработанных для ручного счета и задач с малым объемом вычи слений. Однако и на этом уровне численные методы, реализуемые на ЭВМ с большой памятью, применяются там, где лет двадцать тому назад об их применении нельзя было и думать. Прогресс в области вычислительной техники сделал доступным многое из того, что раньше казалось невозможным. Вероятно, в будущем будут созданы новые мощные численные методы как для тех за дач, которые мы уже сейчас умеем решать, но решаем не эконо мично, так и для тех, которые пока представляются неразреши мыми.
Процессы переноса тепла в элементах турбомашин описываются дифференциальными уравнениями в частных производных эл липтического (для стационарных процессов) и параболического (для нестационарных процессов) типов — см. уравнения (VII 1.7) и (VIII. 1). Для многих из этих уравнений численные методы ре
