Файл: Зысина-Моложен, Л. М. Теплообмен в турбомашинах.pdf

Решение многомерного уравнения теплопроводности

в каждом из пространственных направлений путем введения дробных шагов по времени. Такой метод оказался пригодным при решении уравнений теплопроводности для тел сложной формы.

Остановимся кратко на некоторых работах, в которых для исследования теплового состояния элементов турбин применяются различные модификации метода конечных разностей.

Двумерная задача нестационарной теплопроводности при по­ стоянных теплофизических константах для облопаченного диска газовой турбины решена методом сеток в работе [41 ]. Решение задачи по тепловой схеме, приведенной в этой работе (диск и нижняя половина бандажированных лопаток), возможно только численным методом.

Одной из разновидностей конечно-разностных методов является метод элементарных балансов Ваничева, сущность которого со­ стоит в том, что координатными плоскостями тело разбивается на ряд правильных геометрических элементарных объемов, в пре­ делах каждого из которых закон изменения температуры прини­ мается линейным, а теплофизические характеристики постоянными. В декартовой системе координат таким элементарным объемом

Расчетными точками, в которых определяется температура в последовательные моменты времени, являются точки пересече­ ния поверхностей разбивки. Для групп элементов, примыкаю­ щих к каждой расчетной точке, на основании закона сохранения энергии с использованием гипотез Фурье и Ньютона, составляется уравнение теплового баланса. В результате для всех узловых точек сетки получаются расчетные зависимости в конечно-раз­ ностной форме, для которых выбирается тот или иной метод ре­ шения. При выводе расчетных зависимостей предполагаются пропорциональность среднего за некоторый промежуток вре­ мени Ат теплового потока начальному температурному градиенту в пределах этого промежутка и пропорциональность изменения

293

теплосодержания группы элементов, относящихся к некоторой расчетной точке, изменению температуры в этой точке.

Точность решения зависит от размеров элементарного объема и от выбранного расчетного промежутка времени. Вопрос об устойчивости конечно-разностной схемы по-прежнему играет большую роль, и это нужно учитывать при выборе временного шага в явных вычислительных схемах.

В [166] приводятся расчетные зависимости для определения методом элементарных балансов температурных полей в элемен­ тах турбин (рассматриваются различные варианты расположения расчетных точек — внутри тела, на границе и т. д.). Авторы [166] решают осесимметричные задачи нестационарной теплопровод­ ности: t = t (г, z, т). В качестве примера практического приме­ нения указанного метода в [166] приводится расчет температур­ ного поля (распределения температуры по радиусу и оси) цельно­ кованого ротора.

В цилиндрической и сферической системах координат число разновидностей элементарных объемов, на которые можно раз­ бить тело, чрезвычайно велико. В [6] разработаны метод и про­ грамма для ЭВМ «Урал-4», позволяющие получить расчетную формулу для элементарного объема любой формы в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат. Это осуще­ ствляется следующим образом. Объем, окружающий внутреннюю точку, разбивается на восемь октантов, и любая разновидность элементарного объема получается путем удаления одного, двух и т. д. октантов. Составленная программа предусматривает линей­ ную аппроксимацию зависимости коэффициентов теплопроводно­ сти и теплоемкости материала от температуры и позволяет менять во времени граничные условия по разным законам для различ­ ных участков тела. Общее количество расчетных точек практиче­ ски не ограничено.

Основным недостатком алгоритмов, использующих метод эле­ ментарных балансов для тел сложной формы с переменными усло­ виями на границах, является большая продолжительность счета, связанная с особенностями вычислительных схем и с необходи­ мостью выдерживать минимальный расчетный размер тела. В связи с этим все шире применяются комбинации численного и других методов решения. В работе [193], например, показана возмож­ ность использования функций Грина в численных решениях кра­ евых задач для уравнений Лапласа, Пуассона и Фурье. Решение получается путем умножения матрицы, порядок которой опреде­ ляется выбранной сеткой, на некоторый вектор. Для реализации этого способа решения требуется намного меньше времени, чем для прямого итеративного решения уравнений разностной си­ стемы, аппроксимирующей исходное уравнение.

Отмечая несомненную перспективность численных методов, реализуемых на ЭВМ, следует отметить, что успех численного анализа невозможен без четкой физической и математической

294

постановок, без знания физических параметров, без применения других методов исследования. Все средства, дающие какую-либо информацию о решаемой задаче, должны дополнять численный анализ, а часто и предшествовать ему.

47. Численный метод расчета температурного состояния лопатки с внутренним охлаждением

Одним из путей повышения надежности работы высокотемпе­ ратурных газовых турбин является управление температурным полем наиболее напряженных деталей с помощью искусствен­ ного охлаждения. Большую сложность составляет решение про­ блемы охлаждения элементов роторной группы — наиболее на­ пряженных вращающихся деталей турбины — дисков и рабочих лопаток. Хотя в этом направлении ведутся обширные исследова­ ния, проблему охлаждения лопаток стационарных газовых тур­ бин до настоящего времени нельзя считать решенной.

Для решения таких вопросов, как выбор схемы охлаждения и ее конструктивных параметров, выбор теплоносителя, его рас­ хода и температуры, выбор материала лопатки, необходимо распо­ лагать сведениями о характере распределения температуры в теле лопатки. Эти сведения можно получить, зная метод решения соответствующего уравнения теплопроводности и имея информа­ цию о граничных условиях теплообмена. Естественно, что эти задачи должны решаться современными методами, обеспечиваю­ щими, с одной стороны, достоверность результатов, с другой — быстроту расчетов. Последнее обстоятельство особенно важно на стадии проектирования, когда требуется исследовать большое количество вариантов. В этих случаях особенно удобны и эффек­ тивны расчетные методы, запрограммированные на ЭВМ.

Одной из перспективных систем охлаждения рабочих лопаток, как уже отмечалось в гл. VII, является система охлаждения с по­ мощью теплоносителя, движущегося по внутренним радиальным сверлениям лопатки. Это могут быть или одноконтурные системы с естественной или вынужденной циркуляцией охладителя, или двухконтурные системы, в которых тепло, передаваемое горячим газом активной профильной части лопатки, отводится промежу­ точным теплоносителем, заполняющим замкнутые каналы, в корень лопатки (первичный контур), а затем от корня отводится вторич­ ным теплоносителем, омывающим основание лопатки (вторичный контур).

Количество теплоты, отбираемой лопаткой от горячего потока газа, определяется интенсивностью теплообмена между газом и поверхностью лопатки, с одной стороны, и интенсивностью теплообмена между стенками каналов и охлаждающей жидкостью в них — с другой. Решающим в этом процессе теплопередачи является меньший коэффициент теплоотдачи.

295

В лопатках турбин, омываемых с внешней стороны горячим газом и интенсивно охлаждаемых изнутри, градиенты температур в сечениях могут достигать нескольких сотен градусов. В лопатке с внутренними охлаждающими каналами такие градиенты темпе­ ратур ведут к возникновению значительных дополнительных термических напряжений, в то время как внутренние каналы с охладителем ослабляют сечение лопатки. Для снижения уровня температуры, уменьшения температурной неравномерности и избежания локального перегрева кромок такой лопатки нужно рационально выбрать охладитель, его расход и температуру и обеспечить оптимальное количество, расположение и форму охла­ ждающих каналов. Для этого требуется детальный расчет темпе­ ратурного поля.

Для определения поля температур в теле лопатки с внутрен­ ними охлаждающими каналами следует решать, строго говоря, пространственную нелинейную задачу теплопроводности для мно­ госвязной области с переменными граничными условиями третьего рода по контуру и высоте лопатки. В такой постановке задача не может быть решена из-за больших математических трудностей. Ввиду того что в лопатке с вертикальными охлаждающими кана­ лами при интенсивном охлаждении результирующая теплопровод­ ность в продольном направлении практически отсутствует (имеется в виду перо лопатки) и температура пера мало изменяется по высоте [50, 69, 242], о температурном состоянии такой лопатки можно судить по решению двумерных задач для ее поперечных сечений.

Ниже приводится численный метод решения двумерной задачи теплопроводности при граничных условиях третьего рода, постро­ енный с учетом переменности а по обводу профиля лопатки. По­ следнее обстоятельство является необходимым условием при создании расчетного метода, так как неравномерность темпера­ турного поля в сечении лопатки определяется в основном нео­ динаковой интенсивностью теплообмена между газом и боковой поверхностью лопатки на различных ее участках. Как уже отмеча­ лось в гл. V, коэффициенты теплоотдачи в различных местах про­ филя могут отличаться в несколько раз в зависимости от характера развития пограничного слоя: на кромках, как правило, а в не­ сколько раз больше, чем в средней части профиля. А так как температурный режим выходной кромки по существу определяет жизнеспособность конструкции, не учитывать этого обстоятель­ ства нельзя.

В первом приближении решаем линейную задачу теплопро­ водности, считая физические характеристики постоянными, т. е. определяем функцию температуры /, удовлетворяющую уравне­ нию Лапласа

296

и граничным условиям третьего рода:

Уравнение Лапласа может быть сведено к интегральному уравнению [30]. Пользуясь свойством гармонических функций, выражаем значение функции температуры в некоторой точке М, лежащей внутри области, через ее значение и значение ее нормаль­ ной производной на границе области:

Здесь г — расстояние от точки М до границы области; п — внеш­ няя нормаль к границе.

Значение температуры в некоторой i-й точке, лежащей на гра­ нице, можно получить как предельное при приближении точки М

Учитывая (VIII.25), уравнение (VIII.26) можно записать так:

стенок охлаждающих каналов к охлаждающей среде; s0 — внеш­ ний контур сечения лопатки; sx — sk — внутренние контуры охлаждающих каналов.

Таким образом, дифференциальное уравнение Лапласа (VIII.24) для области свелось к интегральному уравнению типа Фредгольма второго рода для контура, ограничивающего эту область, а решение двумерной задачи — к определению интегра­ лов вдоль линии.

В рассматриваемой задаче область, ограниченная контуром s, является многосвязной, а сам контур s, по которому производится интегрирование, состоит из контура s0 и внутренних контуров sx — sk.

2 9 7