Файл: Зысина-Моложен, Л. М. Теплообмен в турбомашинах.pdf

шения являются единственно пригодными, так как решение другими методами или очень сложно для практического исполь­ зования, или вовсе невозможно. Но и численное решение этих уравнений для элементов турбомашин, имеющих сложную, не­ классическую, форму и сложные условия теплообмена на гра­ ницах, — дело нелегкое, и в последнее время методы решения таких задач являются предметом активных исследований.

Существует много численных методов решения уравнений

вчастных производных, но самым универсальным можно назвать метод конечных разностей (метод сеток), он может применяться для решения как линейных, так и нелинейных задач. Хотя в прин­ ципе разностные методы известны давно, практическое их исполь­ зование наталкивалось на серьезные трудности, связанные с чрез­ вычайно большим объемом вычислений. Положение резко изме­ нилось с появлением быстродействующих ЭВМ, явившихся прекрасным средством реализации этих методов.

Всвязи с этим обстоятельством разностные методы претерпели

впоследние годы большие изменения: началось интенсивное раз­ витие их теории и создание эффективных разностных схем для решения сложнейших практических задач, в том числе задач, связанных с нестационарными тепловыми процессами и с перемен­ ными коэффициентами переноса. Число опубликованных за по­ следние годы работ, посвященных этим методам и их практическим приложениям, возросло в несколько раз по сравнению с тем, что вышло за все время до появления быстродействующих вычисли­ тельных машин.

Суть метода конечных разностей (метода сеток) состоит в сле­ дующем. Исходная континуальная система заменяется дискрет­ ной—конечным множеством точек (сеткой). Частные производные, входящие в дифференциальное уравнение, заменяются конечно­ разностными отношениями, выраженными через разности значе­ ний функции в этих дискретных точках — узлах сетки. В резуль­ тате вместо уравнения в частных производных получается формаль­ ное эквивалентное соотношение в конечных разностях, решение которого сводится к алгебраическим операциям.

Простейшей конечно-разностной аппроксимацией, например параболического уравнения теплопроводности, описывающего од­ номерный нестационарный тепловой процесс,

разностными отношениями, в которых через k и h обозначены приращения независимых переменных соответственно вдоль осей т и х. Разностное уравнение (VIII. 18) можно записать в виде рекур­ рентной формулы

t (х, т + k) — rt (х + h, т) + (1 —

(п + 1)-м временном слое, если известно распределение темпера­ туры в сеточной области на п-м слое. Начальные и граничные условия для сеточной функции тоже записываются в конечно­ разностной форме. Эта дискретная, чисто алгебраическая задача неизмеримо проще, чем исходная дифференциальная (операция интегрирования заменяется операциями сложения и вычитания).

При аппроксимации дифференциального уравнения теплопро­ водности по неявной разностной схеме неизвестные значения связываются между собой системой алгебраических уравнений, число которых равно количеству внутренних узлов пространствен­ ной сетки.

Шаги k и h выбираются такими, чтобы обеспечить требуемую точность данной задачи при минимальной затрате вычислительной работы. Слишком большие шаги являются причиной большой по­ грешности, а слишком малые требуют большой затраты вычисли­ тельного труда. Обычно задача решается сначала при большом шаге, т. е. при малом числе клеток, а затем переходят к более мелкой сетке или во всей области, или в какой-нибудь ее части. Контур сеточной области выбирается так, чтобы он возможно лучше аппроксимировал контур заданной области. Особые труд­ ности аппроксимации контура возникают при криволинейных границах тел, которые пересекают сетку не в узловых точках. Единственным средством, обеспечивающим представление гра­ ничной кривой с требуемой точностью, в этом случае является измельчение сетки у границ, что приводит к увеличению объема вычислительной работы.

Для многих краевых задач вместо прямоугольной сетки целе­ сообразно использовать сетки другой структуры — треуголь­

290

ную, цилиндрическую, полярную и др. Использование этих сеток, построение и решение разностных уравнений различными спосо­ бами в таких задачах показано в работах [91, 129, 156, 170 идр. ].

Авторы большинства работ пользуются явными разностными схемами, так как явные аппроксимации проще, требуют меньшей затраты времени на расчет одного временного слоя и позволяют свести к минимуму необходимый объем памяти, что существенно при решении многомерных задач. Однако явные схемы имеют суще­ ственный недостаток, связанный с вопросами сходимости и устой­ чивости решения. При решении практических задач эта теорети­ ческая сторона вопроса часто не учитывается инженерами, однако вопросы сходимости и устойчивости вычислительных схем при численном интегрировании уравнений теплопроводности имеют решающее значение, и именно эти свойства разностных уравнений определяют пригодность или непригодность последних для практи­ ческого счета.

Уравнение (VIII. 18) представляет формальную конечно-раз­ ностную аппроксимацию уравнения (VIII. 17) в следующем смысле: для каждой функции t (х, т), имеющей первые и вторые частные производные, разностные отношения в (VIII.18) будут стремиться к соответствующим производным в дифференциальном уравне­ нии (VIII. 17) при k и ft, стремящихся к нулю. Отсюда не следует, однако, что решение разностной задачи, формально аппроксими­ рующей дифференциальную, будет всегда стремиться к решению дифференциальной задачи при k —>0 и ft —>0. Уже в самых простых случаях, даже при решении линейных уравнений с по­ стоянными коэффициентами, может оказаться, что разумная, казалось бы, разностная схема дает приближенные решения, не сходящиеся при измельчении шагов сетки к ожидаемому пре­ делу.

Если точное решение дифференциального уравнения (VIII. 17) подставить в разностное уравнение (VIII. 19), то появится оста­ точный член — ошибка аппроксимации (погрешность решения). Проблема сходимости сеточного метода заключается в нахожде­ нии условий, при которых эта погрешность при неограниченном измельчении сетки, т. е. при ft —* 0 и k —>0, равномерно стре­ мится к нулю. Ясно, что расходящиеся сеточные методы не пред­ ставляют интереса ни с теоретической, ни с практической точек зрения.

При использовании формулы (VIII. 19) мы оперируем с конеч­ ным числом разрядов — десятичных при ручном счете и двоичных на ЭВМ. Это обстоятельство вызывает необходимость округления всех промежуточных результатов, вследствие чего появляется ошибка округления.

В случае неустойчивости разностного метода ошибка аппрокси­ мации и малые ошибки округления, допускаемые на промежуточ­ ных этапах вычислительного процесса, будут возрастать при из­ мельчении сетки. Наоборот, в случае устойчивого разностного

метода эти погрешности будут убывать (или хотя бы не возрастать), а решение разностного уравнения будет близко к решению диф­ ференциального уравнения при малых шагах и стремиться к нему при неограниченном измельчении сетки.

Таким образом, проблема устойчивости разностных методов состоит в нахождении условий, при которых все погрешности (аппроксимации, округления или любого другого рода) при неогра­ ниченном измельчении сетки равномерно стремятся к нулю (или, по крайней мере, остаются ограниченными). Эти условия пред­ ставляют собой ограничения, налагаемые на допустимую вели­ чину Ат, выраженную через другие приращения.

При несоблюдении условий устойчивости накапливающиеся погрешности могут достигнуть такой величины (особенно при расчете на ЭВМ, когда совершается большое число операций), что полученное численное решение не будет иметь ничего общего с действительным решением задачи. Такие неустойчивые сеточ­ ные уравнения непригодны для практики, и всякие вычисления теряют смысл.

Таким образом, сходимость решения связана с погрешностью

являются внутренним свойством самого сеточного уравнения

(VIII. 19).

Рассмотрим основные трудности, возникающие при решении параболических уравнений в частных производных, описываю­ щих нестационарные процессы теплопроводности. Наиболее про­ стые и удобные методы особенно чувствительны к фактору устой­ чивости: для обеспечения устойчивости приходится накладывать существенные ограничения на шаг по времени относительно шага по пространственным координатам. А схемы, хорошие с точки зрения устойчивости, неудобны для практического применения. При решении прикладных задач целью является отыскание реше­ ния, в известном смысле промежуточного между указанными двумя крайними типами решений, содержащего более слабые ограни­ чения устойчивости и сравнительно легко поддающегося вычи­ слениям. Существуют безусловно устойчивые и безусловно не­ устойчивые разностные уравнения [138, 143].

Все вопросы, указанные выше, а также различные методы решения разностных уравнений рассмотрены подробно в спе­ циальных монографиях [18, 29, 138, 140, 143, 170, 133], в отдель­ ных разделах книг и учебников [40, 91, 129, 156], в большом коли­ честве журнальных статей.

С появлением мощных ЭВМ оказалось возможным создать раз­ ностные схемы для решения с высокой точностью многомерных уравнений с переменными коэффициентами. Одним из эффектив­ ных конструктивных приемов является метод сведения многомер­ ных задач к последовательности одномерных, для которых имеются эффективные разностные схемы [142].

292