Интегральное уравнение (VIII.27), не имеющее аналитического решения, можно решить с помощью приближенного метода Фред гольма. Для этого контур лопатки и контуры охлаждающих каналов разбиваем на участки, в пределах каждого из которых температуру принимаем постоянной и равной средней темпера туре на этом участке. Для каждого участка составляем уравнение типа (VI 11.27). В результате имеем систему линейных алгебраиче ских уравнений, после решения которой получаем значения тем ператур (средних на каждом участке) на внешнем контуре сече ния лопатки и на контурах охлаждающих каналов. Точность решения зависит от числа участков, на которые разбиваются внешний и внутренний контуры. Необходимое их количество определяется характером неравномерности граничных условий.
Если внешний контур разбить на п участков, а контуры кана лов — на т, то задача сведется к решению системы п + т ли нейных алгебраических уравнений с п + т неизвестными:
(фп — 2я) ti -f- ф12^2 + • • • + ФiJn + |
Фх. л+х^л+х + ' ' ’ |
Фгх^х + (фг2 — 2я) t2 |
• • • -f- ф2ntn+ |
*• ‘ + Ф2 , п+т^п+т ~ ~ |
Ф 2 в (/п |
Ф гэх^ охл 1 |
Ф гвг^охл 2 |
' |
' ФгхА^ охл k = = |
ФлХ^Х + Фл2^2 + *• • + |
(флл — 2я) tn + |
• • • + Ф„, n + m tn + m — (VIII.28) |
фя+m, 1^1 + |
Фл+m, 2^2 + |
• • • 4~ Фл+m, л^л + |
' *• ~Ь (ф; |
где |
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
ПП
Фи. = tJ lnri d s + 1 т 1пr‘-* - - -h J X ln r i d s>
2 |
n |
Ф,.*= j ^ f A l n r , d s + . . . + J ^ l n r ^ s . |
Индекс i означает, что температура |
определяется для i-й и точки |
контура, а номера 1, 2, . . ., л, л |
+ 1, . . ., л + т указывают |
участок, для которого вычисляются интегралы.
Если контур разбить на такое количество участков, чтобы каждый криволинейный участок можно было считать отрезком прямой, и, кроме того, разбивку произвести таким образом, чтобы на каждом из участков, где температура принимается постоянной, можно было считать а = const и к = const, то вычисление инте гралов, входящих в уравнение (VIII.29), значительно упрощается и они определяются в конечном виде [137].
После определения коэффициентов ср решаем систему (VI 11.28) методом исключения по схеме Гаусса с выбором главного эле мента.
В результате получаем значения контурных температур на внешнем контуре профиля и на стенках охлаждающих каналов.
Температура во внутренних точках сечения определяется по
значениям контурных температур: |
|
|
---- 2гГ |
~Ь Ф/а^, + • • • + |
Ф |
— |
' Фп^Л |
Ф/S, ^ОХЛ 1 |
ФпАхЛ 2 |
‘ ’ ‘ |
Фгзк^охл. к]» (VIII.30) |
где /Si, ts , . . ., |
ts |
— У*е |
известные значения температуры |
на внешнем и внутренних контурах.
Во втором приближении задачу решаем с учетом зависимости коэффициента теплопроводности от температуры металла. Со гласно распределению температур, полученному в первом при ближении, задаем значения К (/) в расчетных точках и коэффи циенты ср в уравнениях (VIII.29) вычисляем с учетом зависимости
МО.
Изложенный метод определения поля температуры в сечении лопатки с внутренними охлаждающими каналами запрограмми рован на ЭВМ М-220. Программа позволяет определять темпера туру в любом количестве точек на контурах (но не более 125) и любом количестве внутренних точек (без ограничения). Весь расчет состоит из трех частей:
1) получения линейной алгебраической системы (VIII.28);
2) решения полученной системы (определения температуры на внешнем контуре профиля и стенках охлаждающих каналов); 3) определения температуры во внутренних точках сечения
по уравнению (VI 11.30).
Для хранения коэффициентов системы используется магнит ный барабан. В оперативной памяти машины хранятся программа расчета и вся исходная информация.
В качестве исходной информации требуется задать следующие величины: координаты х, у точек деления контуров на участки
/2
Рис. 121. Схема деления лопатки на участки и порядок ну мерации точек
(порядок нумерации точек показан на рис. 121), значения коэф фициентов теплоотдачи а и теплопроводности X в них, температуру потока (газа) /п и температуру охлаждающей среды tox„. Для определения температуры во внутренних точках сечения необ ходимо задать координаты х', у ’ этих точек. Значение X в первом приближении задается одинаковым для всех расчетных точек, во втором приближении задается функция X = X (t) по значениям температуры в расчетных точках, полученным в результате рас чета в первом приближении. Следует отметить, что все исходные граничные условия (распределение а по профилю лопатки и зна чения аохл на стенках каналов) могут быть получены расчетным путем [78, 216].
Результат решения печатается на ленте в виде последователь ности чисел (сначала печатается порядок числа, затем само число). Кроме полученных значений температуры в печать выдается для контроля и удобства вся исходная информация.
Для расчета одного варианта на ЭВМ М-220 при условии опре деления температуры в 100 точках контуров и 170 внутренних
зоо
точках профиля лопатки, т. е. при условии получения подробной картины распределения температуры, требуется 16 мин машинного времени.
На рис. 122 в качестве примера приведены результаты рас чета температурного поля в лопатке с двухконтурной системой охлаждения (s — текущая координата; L — длина обвода про филя). Распределение температуры получено для лопатки, в пер вичном контуре которой находится жидкий натрий, заполняю щий шесть внутренних каналов. Благодаря высоким значениям коэффициента теплоотдачи теплоноситель такого рода способен отвести все тепло, которое может быть передано от газа к поверх ности лопатки и затем к стенкам охлаждающих каналов.
Рис. 122. Распределение' температуры и коэффициен тов теплоотдачи по контуру турбинной лопатки
Сплошной линией на рис. 122 представлено распределение температуры (titп) по внешнему контуру лопатки, полученное на ЭВМ (плоская задача) для 40 расчетных точек контура, точками обозначены значения температуры, полученные на сеточном ин теграторе СЭИ-02 (пространственная задача).
Максимальная относительная разница температур, получаю щихся при решении задачи на ЭВМ и на сеточном интеграторе, во внутренних точках сечения (сплошная кривая на рис. 122) в области кромок не превышает 2%, в остальных же точках она составляет десятые доли процента. Это говорит о том, что о тепло вом состоянии лопатки с указанной схемой охлаждения доста точно точно можно судить по решениям двумерных задач.
По распределению температуры в сечении лопатки (рис. 122) можно судить о неблагоприятном состоянии кромок (особенно выходной), обусловленном неравномерным характером распреде ления коэффициентов теплоотдачи а по профилю (штриховая линия на рис. 122) и недостаточным охлаждением этой зоны ло патки.
Таким образом, описанный метод расчета позволяет опреде лять поля температур в плоских сечениях лопатки с внутренним
охлаждением с достоверностью, не меньшей, чем на сеточном ин теграторе, но значительно проще, быстрее и подробнее. В то время как при электромоделировании с помощью сеточного интегратора увеличение расчетных точек (количества участков) усложняет электрическую схему и в значительной мере увеличивает время расчета, добавление каждой расчетной точки при решении на ЭВМ — это доли секунды машинного времени. Число исследуе мых вариантов при решении задачи на ЭВМ определяется любым желаемым объемом сведений. Это особенно важно в начальный период проектирования, когда для нахождения лучшего решения необходимо проанализировать большое количество вариантов.
48. Численный метод расчета температурного состояния лопатки, охлаждаемой через хвостовик
Практическая необходимость определения поля температур в лопатке, охлаждаемой через хвостовик (см. схему V в табл. 8), возникает при применении одного из наиболее простых способов охлаждения ротора турбины — продувкой воздуха через щелевые зазоры хвостовика лопатки. Но такое охлаждение сопровождается
о 0,2 0,0 0,6 0,8 s /L
Рис. 123. Распределение коэффициентов теплоотдачи по контурам сечений лопатки:
— •— — периферийное сечение; ——— — среднее сечение;
-------- — корневое сечение
отводом тепла" от лопатки через ее нижний торец путем теплопроводности. Вследствие этого градиенты температур в корневом и близлежащих сечениях лопатки при интенсивном теплоотводе могут достигать больших значений и являться причиной появле ния недопустимо высоких температурных напряжений. Расчеты показывают, что при охлаждении лопаток по этой простейшей схеме у корня лопатки могут возникнуть напряжения, в полтора раза превышающие напряжения от центробежных сил [28].
