ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 123
Скачиваний: 0
3) безразмерный параметр частотной модуляции |
|
|
n = T„A/. |
|
(8) |
Тогда в соответствии с (4)—(8) |
|
|
Пв = Af Y 1 + 16/па«а, |
(9) |
|
/еукор=1 (я2/32) я2 + |
1/2 , |
(Ю) |
/Ѵор = |
*> |
(11) |
15 |
О |
15 |
Рис. 1.4.2. Амплитудно-частотные спектры линенно-модулированных по часто те колокольных радиоимпульсов (а) и огибающие откликов оптимального фильт ра (б) при различных значениях девиации частоты (я = 0, я = 2, л == 20).
Пунктиром показана огибающая исходного радиоимпульса.
При п > 1
я п « |
А/, |
(12) |
^гукор ~ |
0>55 л, |
(13) |
^укор |
0,79 /z. |
(14) |
На рис. 1.4.2, а представлены амплитудно-частотные спектры ра диоимпульсов длительностью ти при различных значениях девиации
*> Если установить уровень отсчета длительности ти и полосы П радиоим пульсов е—я^4 ж 0,46 и при этом определить я по формуле (8), то соотношения
(9), (10), |
(11) |
заменяются |
более простыми: П = Д/ "j/l + (1/я)2, Аукор = |
= ~\/(я2 -j- |
1)/2, |
/гукор = " і / ,г2 |
Н~ 1- |
60 |
§ 1.4.1. |
частоты (я = 0, я = 2, я = 20). На рис. 1.4.2, б показаны огибающие радиоимпульсов: на входе оптимального фильтра (пунктир) и на его выходе при я — 0, я = 2, я = 20 (сплошные линии). За единицу масш таба времени принята длительность входного радиоимпульса на уров не 1/е.
Использованныя выше переход от (1) к (2) эквивалентен пренебрежению в вы ходном напряжении оптимального фильтра низкочастотным частотно-модули- роваииым импульсом на нулевой несущей. Амплитуда последнего, как показал
более полный анализ, |
в (2 !~\/пп) е~~8р~ менее |
амплитуды |
сжатого импульса. |
|||
Здесь р = |
уЯ ц , |
/о — несущая,а Пи — полоса, |
измеряемая |
на уровне 1/е. Уже |
||
при р = |
I |
и « = |
20 амплитуда дополнительного импульса составляет 10-4 от |
|||
амплитуды |
основного. Лишь при р — 0,5, когда спектр |
входного колебания |
||||
доходит |
до |
нулевой |
частоты (на уровне 1/е), |
амплитуда дополнительного им |
||
пульса достигает |
1/30 от амплитуды основного. |
|
||||
§ 1.4.2. ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО РАДИОИМПУЛЬСА, ЧАСГОТНО-МОДУЛИРОВАННОГО ПО ЛИНЕЙНОМУ ЗАКОНУ
Комплексную амплитуду радиоимпульса на входе оптимального фильтра запишем в виде
|
U ё Ьі~ |
для |
I і I ^ ти/2, |
( 1) |
|
0 |
для |
111> т и/2, |
|
где U — U, b = яД//т„ = |
яя/т?,. |
Здесь А /— частотная девиация |
||
за время длительности радиоимпульса, |
а я = ТцД/. Входной |
радио |
||
импульс имеет спектральную плотность комплексной амплитуды |
|
|||
|
Тп/2 |
|
|
|
G(f )= |
5 U(t)e~i27l!tdt |
|
||
или
G(f) =
"1/2«
где
«! = У «/2 + fta У 21я ;
«а = —Ѵ~пІ2 -j- ftu У 2/я ;
С (и) = ^ cos (ny2/2) dy,
0
и
S (и) = § sin (пу2/2) dy.
0
,(2)
( 3 )
(4 )
( 5 )
( 6 )
Интегралы Френеля Щи) и 5 (и) определяются таблицами функций или спиралью Корню (рис. 1.4.3). Вычисление совокупности значений
§ 1.4.2. |
61 |
ult Uo, необходимых для вычисления точек кривой | G (/) |, облегчается, если построен вспомогательный график рис. 1.4.4, соответствующий соотношениям (3), (4) при п — const. На спирали Корню (рис. 1.4.3) показано возможное расположение точек, соответствующих отдель ным значениям параметров ult и2. Векторы, соединяющие начало координат с этими точками, имеют своими проекциями на координат ные оси значения С (п12) и 5 («1>2). Длина отрезка, соединяющего точ ки щ, и2 (см. рис. 1.4.3), определяет величину модуля выражения, стоящего в формуле (2) в фигурных скобках, а значит, с точностью до
Рис. 1.4.3. Спираль Корню. Рис. 1.4.4. Вспомогательный график для по строения амплитудно-частотных спектров с
помощью спирали Корню.
масштабных множителей, амплитудно-частотный спектр |G(/)|. В ка честве примера подобные спектры показаны на рис. 1.4.5 для п = 20 и п ' = 100. По мере роста п форма спектра приближается к прямо угольной.
Комплексную амплитуду напряжения на выходе оптимального фильтра найдем из [(37), § 1.1.3], полагая т = 0, так как фильтр со гласован с сигналом. При этом получим
со
W (tQ-f- At) — 0,5 e-i2ltf/o 5 U(s)U*(s — At)ds. |
(7) |
— со |
|
В соответствии с прямоугольной формой огибающей радиоимпульса на входе фильтра, бесконечные пределы интегрирования заменим ко нечными. Эти пределы определим, пользуясь рис. 1.4.6. Области зна чений переменной интегрирования s, для которых произведение со множителей в подыиитегральном выражении (7) отлично от нуля, за штрихованы. Обобщая случаи At > 0 и Дг'-сО (рис. 1.4.6, б'и в), об ласть интегрирования представим в виде
(At -f- I At I—tu)/2 < s < (At— I Ai I -|-ти)/2.
62 |
§ 1.4.2. |
Вводя безразмерные единицы времени х = Д//т„, получаем
{х |
+ \ х \ — 1)/2 < s/T n < (x — | х | + |
1)/2. |
(8) |
Используя (2), |
(7), (8), получаем |
|
|
|
W { t 0+ xxil) = Q , b W x a F ( x ) ^ |
UT-, |
(9) |
где функция Е (х) описывает форму огибающей выходного радиоим пульса.
Рис. 1.4.5. Амплитудно-частотные спектры линеипо-модулированных по часто те прямоугольных радиоимпульсов для п — 20 и п = 100.
При |х | — I Д//т„ I ^ |
1 |
|
|
|
|
|
т„ (JC—I-сI + 1)/2 |
|
|
F ( x ) = |
± |
$ |
е/6 [s2- ( s - A f ) 2] |
|
|
T“ |
th(.v+ |j: | - l)/2 |
|
|
ИЛИ |
|
|
|
|
|
F |
s in [ЯЯХ (1 — I X [_)_] |
} |
|
|
|
nnx |
|
|
При IX) > 1 значение 'F (x) = 0, поскольку один из сомножителей подынтегрального выражения (7) обращается в нуль.
Если частотная модуляция отсутствует (п = 0), форма огибающей выходного радиоимпульса (рис. 1.4.7, а) является треугольной
F (х) = 1 — IXI.
При д^>1 огибающая описывается кривой, близкой к sin и/и. Это соответствует приближению амплитудно-частотного спектра к прямо-
§ 1.4.2. |
63 |
угольнику (см. § 1.2.5). Заметно резкое сужение длительности импуль
са при п — 100 и п = 20. При п = 2 |
(рис. 1.4.7) сужение еще только |
|
начинает намечаться. |
|
найти |
Полуширину укороченного импульса по нулям *0 можно |
||
как минимальный отличный от нуля корень уравнения |
( И ) |
|
плх0(1 —*0) = ѵя |
(ѵ = 0, 1, ...), |
|
откуда для х0 < 1/2 имеем |
||
|
|
|
При п ^ |
4 |
укорочения по нулям |
|||||
|
|
|
еще нет и уравнение (11) имеет един |
|||||||
|
|
|
ственный |
корень |
*0 = 1 , |
соответ |
||||
|
|
|
ствующий |
V = 0. |
При |
п > 4 |
||||
|
|
|
проявляется |
укорочение |
и |
для |
||||
|
|
|
нулевого |
уровня |
отсчета длитель |
|||||
|
|
|
ности импульса, поскольку урав |
|||||||
|
|
|
нение (12) имеет корни, соответст |
|||||||
|
|
|
вующие V = |
1. При п > 8 появля |
||||||
|
|
|
ются также и корни, соответствую |
|||||||
|
|
|
щие V = |
2, |
однако величина каж |
|||||
|
|
|
дого из этих корней больше преды |
|||||||
Рис. 1.4.6. |
К расчету |
комплексной |
дущей; длительности импульса она |
|||||||
амплитуды |
напряжения |
при воздей |
не |
определяет. |
Ширина |
сжато |
||||
ствии прямоугольного радиоимпуль |
го |
радиоимпульса |
по |
нулям |
при |
|||||
са на оптимальный |
фильтр. |
п ^ |
4, таким образом, |
равна |
|
|||||
|
|
|
|
2х0= 1 — У 1—4/п. |
|
(13) |
||||
К о э ф ф и ц и е н т у к о р о ч е н и я |
выходного радиоимпуль |
|||||||||
са по первым нулям по сравнению с радиоимпульсом на входе опти мального фильтра:
/гукоР = 1/2*0 = п!4 + У «2/ 16— п/4. |
(14) |
Коэффициент укорочения по сравнению с радиоимпульсом на выходе согласованного фильтра в отсутствие частотной модуляции:
^укор = /г/2 + |
У » 2/4 — п . |
(15) |
При п > 1 имеем (рис. 1.4.7, а и б) |
|
|
&укор « 0 |
,5 м*’, |
(16) |
^укор |
П . |
(17) |
*> Если, как в [72], ввести уровень отсчета F =С,64, то коэффициент уко рочения на этом уровне (относительно входного импульса при л > 1) будет равен п.
64 |
§ 1.4.2. |
F i x )
n - tOO
i,0 X
Рис. 1.4.7. Огибающие напряжения на выходе оптимального фильтра для пря моугольного радиоимпульса при различных значениях частотной девиации (п = 0, п = 20, п = 100). Закон изменения частоты линейный.
Формулы данного параграфа, как и § 1.4.2, получены в пренебрежении час- тотно-модулированным радиоимпульсом на нулевой несущей. Чем больше зна чения коэффициента р — f0/Af, характеризующего превышение несущей f0 над частотной девиацией Д/, и коэффициента п, тем меньше отношение ам плитуды импульса иа нулевой несущей к амплитуде сжатого импульса. При р = = 0,5 для п = 16 и п = 50 она составляет около 10 и 4% соответственно, при
р = 2 для п = 16 и п = 50 — около 2 и 0,9%.
§ 1.4.3. ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ НЕКОТОРЫХ РАЗНОВИДНОСТЕЙ ЧАСТОТНО-МОДУЛИРОВАННЫХ РАДИОИМПУЛЬСОВ
В ряде типов генераторов модуляция частоты связана с амплитуд ной модуляцией. Поэтому имеет смысл учесть влияние последней на результат фильтрации. Пусть при линейной частотной модуляции за время длительности входного радиоимпульса тп его амплитуда изме няется в е—г раз, а комплексная амплитуда будет
( 1)
3 Зак . 1303 |
65 |
Комплексную амплитуду радиоимпульса на выходе оптимального фильтра найдем, пользуясь формулой [(7), § 1.4.2] и рис. 1.4.6
Щ /0 + ххп) = 0,5 U2 (sh r/r) F (х) e“ /2ltf°
где
F(x) = sin [(/mx-4 /V) (1—I XI)] |
T |
(2) |
nnx 4- J'Г |
sh г |
|
Графики функции | F (x) | для г = 0 и г = 1 при n — 20 приведены на рис. 1.4.8. Как видно из рисунка, модуляция амплитуды сигнала ка чественно не меняет хода огибающей напряжения на выходе фильтра, согласованного с сигналом. Характерно, однако, что радиоимпульс
Рис. 1.4.8. Огибающие напряжения на выходе оптимального фильтра при изме нении амплитуды входного импульса по экспоненциальному закону (закон из менения частоты — линейный).
на выходе фильтра модулирован по фазе. Как будет показано в § 1.6.1, это является следствием асимметрии амплитудно-частотного спектра входного радиоимпульса.
Чтобы оценить влияние нелинейности закона частотной модуля ции, рассмотрим оптимальную фильтрацию прямоугольного радиоим пульса
т = |
C/e'wm |
для |
| / | < |
т и/2, |
(3) |
0 |
для |
| / | > |
т п/2, |
||
частота которого изменяется по закону симметричной пилы |
/ = /0 + |
||||
-f- 2Ь ] / 1. |
|
|
|
|
|
Если ввести частотную |
девиацию |
Д/ = (1/2я) 26 (тн/2) и параметр моду |
|||
ляции п — т„Д/, то b = 2nnlxfu Интеграл Ц7), |
§1.4.2] после подстановки (3) |
||||
приводится к виду
W (to + ххи) = 0,5ЕУ2 xnF (х) е ~ /2nf<»4
66 |
§ 1.4.3. |
где
F(x) = |
0 ,5 ( 1 + * — 1*|) |
(4) |
j' е/2гоі[Ѳ|Ѳ|—(Ѳ—*)|0 —*|] ^0. |
0,5(-1+дг+|л-|)
Если |* |> 0 ,5 , то [ 0 — х | = х — Ѳ, а переменная Ѳ в пределах интегри рования имеет тот же знак, что и х. Тогда выражение в показателе степени при водится к виду
± /2яи [Ѳ2-f (Ѳ-.ѵ)2] = ± /яп [(20-.V)2+ л2] .
Знаки -[- и — соответствуют .ѵ О 0 и х < 0, так что
F (-V) = {С [1/2п (1 — I X |] ± jS Ѵ /Ъ і (1 - I жI)]} г±1пяхг, |
(5) |
где С (и), S (к) — интегралы Френеля [(5), (6), § 1.4.2].
Рис. 1.4.9. Огибающая напряжения на выходе оптимального фильтра при не
линейном |
законе |
изменения частоты — законе симметричной |
пилы. |
||
Если X < |
0,5, то пределы интегрирования в соотношении (4) целесообразно |
||||
разбить на три участка: |
|
|
|||
а) |
0,5 (— 1 + х + \ д:|) < Ѳ< 0,5(л:—|х |), |
|
|
||
б) 0 , 5 ( х - | * | ) < Ѳ < 0 , 5 ( * + |*І). |
|
|
|||
в) |
0,5(* + |
|х|) < Ѳ < 0 , 5 ( 1 + х - | * | ) . |
|
|
|
Показатель степени в (4) принимает при этом значения: |
|
|
|||
а) |
—/2лп [Ѳ3— (0—х)2] = —;2ял (20—х) х, |
|
|
||
б) |
± /2яп [Ѳ2 + (Ѳ— х)2]= ± jnn [(20 —х)2 + х2], |
|
|
||
в) j2nn [02 — (0 —лг)2]= /2яп (20—х) х. |
|
|
|||
Вводя переменную ѵ = |
20 — х, получаем для х < 0,5 |
|
|
||
|
—1*1 |
И |
1—И |
|
|
F(x) = j |
Г e - /2ltn-vvd v + Y I e±/,w(v>+*,)d v + - j |
j |
е>2лпхѵ dv. |
||
|
—П-|*І) |
-1*1 |
1*1 |
|
|
§ 1.4.3. |
3; |
67 |