Файл: Ширман, Я. Д. Разрешение и сжатие сигналов.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 159

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

2)

мешающего сигнала

в

отсутствие полезного

(а = 0), когда

параметр а случаен,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

л л а д -

in {Pl[U(t)\/p0

 

(6)

 

3)

мешающего сигнала в отсутствие полезного =

0), когда пара­

метр

а фиксирован,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Л, [U{t) I а] = In {рх [17(0 I a]lp0I*7(01}-

 

(7)

Здесь ро [U (г!)1 — условная плотность вероятности U (/) при а =

b =

=

0 (условная плотность вероятности одного шума).

 

 

из

В силу известных свойств логарифмов произведения п частного,

соотношений (3),

(5),

(6)

получим

 

 

 

 

 

А [£7(01 =

Лх [17(0 —

(01 —At [U{t)] + Л0 [U{t)].

(8)

 

В соответствии с (4),

(6), (7) и формулой полной вероятности

 

 

 

Лі [U(t)] = ln

^

exp (Л; [U(t) \а)}р(а) da.

(9)

 

 

 

 

—Л)

 

 

 

 

 

Введем следующие записи логарифмов отношения правдоподобия

для вспомогательных задач:

 

 

 

 

 

 

 

 

Л0 W (01 =

Re Z0 [U (01 -I- const,

 

(10)

 

 

Лх [U (0| a]

= Z\

[U (0 I a] + const.

 

(11)

Здесь

 

 

 

 

со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(12)

 

 

z 0[U(t)] =

- ±-

5

U(t)u:_(t)dt,

 

 

 

 

 

 

 

Л'о

 

 

 

 

 

 

Zi{U( 0 |a ] =

 

1

 

j

U(t) U[ (/, a) di

= 2, (a)

(13)

 

 

 

 

 

 

V2N0 (3,+No)

— нормированные корреляционные интегралы в задачах обнаружения сигналов с полностью известными параметрами и со случайной на­ чальной фазой, величина — средняя энергия мешающего сигнала.

Выражения (10)—(13) следуют из [(27)—(30), (32), § 1.1.31.

Из выражений (9), (11), (13) получим

со

 

Л; 1£7(01 = 1° 5 lexP Z?(a )] P(a) da-f-const.

(14)

Подынтегральное выражение (14) представляет собой с точностью до множителя послеопытную плотность вероятности параметра а (см. также § 3.1.3). В соответствии с принятым ранее условием исполь­ зуем для нее нормальную аппроксимацию

[exp Z\ (а)] р (а)

С

ехр

сім)2~

 

(15)

Ѵ2п стм

_ О

»

 

 

2ам

 

 

224

§ 2. 1. 11.


откуда, логарифмируя и подставляя (1), получаем

2? (а) — ( а —кц)2

(к а м)2 + 1 п С _

1п £ м -

(16)

2а?

2ам

ст0

 

Параметры аппроксимации С, аы, а м можно подобрать, сопоставляя значения левой и правой частей равенства (16), их первые и вторые производные в некоторой произвольной точке а = ах, в окрестности которой аппроксимация справедлива. Система уравнений, определяю­ щая параметры аппроксимации, имеет вид

In С = Z{ (ах) +

(а1—ССД,)2

(«!

ао)2+

Іп ам

(17)

 

2ом

2а02

во

 

« 1— «м _ « 1—«о___dZ\ (gt)

 

(18)

ам

а?

да

 

 

 

 

 

J _ _

J ___ д2 Z\ (a,)

 

 

(19)

Ом

во

ö a 2

 

 

 

 

 

Здесь уравнение (19) определяет величину

стм,

уравнение

(17) —

величину In С, а уравнение (18)— а м. Чем меньше значения сг0 и N 0, тем точнее определяется параметр а, меньше его послеопытная диспер­ сия о,?,, тем больше оснований для пренебрежения в (16) высшими членами разложения Zx (а) по степеням (а — а м)2, а значит, и для использования самой нормальной аппроксимации (15).

Используя эту аппроксимацию, выполним операции интегрирова­

ния

и возведения в степень,

предусмотренные

соотношением

(14).

В результате преобразований приведем (14) к виду

 

 

Ах [U (01 = ln С =

Z\

\U (t) I ax] + ДА [ü (t) | o j,

(20)

где

слагаемое

AA [U (t) | ссг]

назовем поправочным членом. В

соот­

ветствии с (14), (17)—(19) поправочный член будет

 

 

 

ДА [£/(/) К ] =

^

(а, — а 0)2д- Z\ (аг)

 

 

 

 

 

 

да2

 

 

 

 

— 2(ccj — а 0) dZ\ (ах)

dZ\(а 0

X

 

 

 

 

да

да

 

 

 

X

2 a* Z\ ( ах) -

-1

---- —1п ( 1

:d-Zl (Kl)

(21)

 

1— or;

 

 

<Эа2

 

 

öa2

 

 

 

 

величина его изменяется в зависимости от выбора ах. Поскольку левая часть равенств (20) от ссх не зависит, при этом меняется соотношение между слагаемыми в правой части (20).

Наряду с исследованным выражением А г [U (/)], в исходное (8)

входит выражение А х [U (і) U2 (/)]. Для

него справедливо соот­

ношение, аналогичное

(20),

 

Ах W ( t ) - U 2(t)} =

Z { { U { t) - U 2{i) |а о ]+

ДА [ U ( t ) - U 2 (0|а,1 .

 

 

( 22)

8 Зак. 1303

225


Значение а 2 может быть взято как равным, так и неравным а х. В за­ висимости от выбора значений а х и а 2 реализуются различные варианты оптимального или квазиоптпмального разрешения.

Пусть, например, значения а х и а 2

выбираются из различных

условий

 

ДАХ[U(t)\ а х] =

О,

ДЛа W (t) Uа ( 0 |а а1 = О,

т. е. полагаются в общем случае неодинаковыми. Тогда выражение

(8) сводится к алгебраической сумме

Л [U (01 « Z\ W

(t) - U2

(t) I ct2] -

—Z\ [£/ (0 I a x]

+ Re Z0

[U (t)].

Слагаемые этой суммы описывают выходные напряжения трех прием­ ников — двух квадратичных для оптимального приема мешающего сигнала (за вычетом и без вычета полезного) и одного линейного для оптимального приема полезного сигнала в отсутствие мешающего. В каждом из первых двух приемников производится своя о ц е н к а параметра а (с учетом доопытной информации, если она существенна), выходной эффект приемника выдается для соответствующего оценоч­ ного значения ссх или а 2. Любое из этих значений обращает в нуль выражение (21):

— первое из них а ь когда Z (ал ) определяется выражением (13) не­ посредственно;

— второе а„, когда U (t) в выражении (13) заменяется на U (t) —

-U2 (t).

Значения аъ а 2 можно выбрать также одинаковыми, приравнивая

нулю разность ДА [U {t) (J2 (t) | a] — ДА \U [t) | а]. Используя ко­ рень a 2 полученного уравнения

 

ДА IU (t) — U2 (t) I a i]

= ДА IU (0 (ail,

(23)

приходим

к единой обработке

 

 

 

 

A [U (01 = Z*[U (t) — U2 (t) I a x] -

 

 

—Z\ W (t) |aj]

+

R eZ 0 IU (t)].

 

С учетом

(12), (13) эта

обработка

преобразуется к виду

 

 

 

со

 

 

 

 

А [Щ*)1 =

— Re X U(t) R* (t, a j dt -f const.

(24)

 

 

No

 

 

 

Здесь R (t , a x) — решающая функция,

соответствующая обнаружению

когерентного сигнала при наличии одного мешающего сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой для фиксированного зна­ чения его параметра а = аг.

Она определяется соотношением [(31), § 1.1.3] при і — 1, а в не­

сколько видоизмененной форме может быть представлена как

 

R V, а,) = Щ{і) -

РІ, а К) U, ах).

(25)

226

§ 2. 1. 11.


Здесь

ql = V 2 3 J N Ü и q%= }/23,/A 0

— отношения сигнал/шум

для

мешающего и полезного сигналов;

рх>2 (а) — нормированная

взаимокорреляционная функция

 

 

со

 

р 1 ’2 ^

= у г і ж

J

а) и '~^ du

(26)

где

 

 

 

 

I

1Ui iß, «) I2 dt,

3,

1 I U2{t) ]2

dt,

a выше было принято b\ = 2.

Возможен ряд случаев, когда применимы более простые способы

определения значения а ь

Так, при а0= сгм = 0 решением уравнения

(23) будет а*

= а 0, т. е.

в этом случае допустимо использовать д о-

о п ы т н у ю

о ц е н к у

п а р а м е т р а . При а0 > ам и интенсив­

ности мешающего сигнала,

значительно превосходящей интенсивность

полезного, в

качестве

можно принять

о ц е н к у

м а л ь и о г о

п р а в д о п о д о б и я

(см. также

определяется уравнением

dZj_ (а)

да

ам а к с и -

§3.1.4). Она

(27)

к которому сводится (23), когда интенсивность мешающего сигнала существенно превышает интенсивность полезного.

§ 2.1.12. КАЧЕСТВЕННЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ КВАЗИОПТИМАЛЬНОГО ОБНАРУЖЕНИЯ ПОЛЕЗНОГО СИГНАЛА НА ФОНЕ МЕШАЮЩЕГО СО СЛУЧАЙНЫМ НЕЭНЕРГЕТИЧЕСКИМ ПАРАМЕТРОМ

Величина А = A [U it)], получаемая в зависимости от реализа­ ций шума и мешающего колебания после определения оценки согласно [(24)—(27), §2.1.11], является случайной гауссовой величиной. Дис­ персия и математические ожидания величины А в отсутствие и при наличии полезного сигнала характеризуют потенциальные возможности его обнаружения. Расчет проведем в предположении, что обработка [(24), §2.1.1] соответствует некоторому фиксированному оценочному

значению параметра

[136].

Математическое ожидание величины А (за вычетом константы) в отсутствие полезного сигнала равно нулю, а при наличии последнего в соответствии с [(24) §2.1.11] будет

 

_1_ Re

СО

 

 

 

 

Ао

 

U2(t)R*(t,

a1)dt = qly(q1, cti).

(1)

 

No

00

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

q2

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

 

ф(<7ъ ai) =

l — 9 *

I Pi.a («л.) |a.

 

 

 

<7? +

2

 

 

§ 2.1.12.

8*

227


Дисперсию величины Л при фиксированном аг как при наличии, так и п от­ сутствие мешающего сигнала представим в виде

Re j a j d t

1

J

U(t)R*(t, а у) dt = І

ШЯ V W

X* ('■ “ i) X (s, « i) X

Щ

 

2/Vо

—со

 

 

 

X p (а I a t) p (<|') p (b) dt ds da dip dö.

(3)

Здесь: U (t) — комплексная амплитуда входного напряжения [(2), §2.1.11] в от­

сутствие полезного сигнала (о 0); горизонтальная черта — знак

усреднения

по реализациям N (/), входящим в [(2), § 2.1.11 ]; р (Ь) =

b ë~b't2 (b »

0); р (і|>) =

= 1/2я, (I ф I <С л)і Р (alaі) — плотность вероятности

истинного значения па­

раметра мешающего сигнала UL{t, а) в [(2), §2.1.11]

для оценочного значения

параметра а г. Принимая нормальный закон распределения, полагаем

1

(tt—Ді)2

-сгЯ

p (a|c£ i)= y l s ,

(4)

 

Заметим, что в соотношении (3) мы пренебрегли зависимостью ошибки (а — о^) от значений Ь, ф, N (1), £А (О- Интегрируя (3) по t и используя [(25), (26), §2.1.11], получаем

 

со

 

 

 

 

 

 

ОО

 

 

 

 

 

С [N{t) + bUr { t , a ) ^ ] R * { t ,

a1)dt =

f

N(t) R* (t, a t) dt +

 

 

-----CO

 

 

 

 

 

 

-----CO

 

 

 

 

 

 

-ЬУгЗіЭгб е'ф Pi, 2 (a ) —

—У "

- p i , » ( a i) P i, i( a .

<*i)

 

(5)

 

 

 

 

 

Ql ~r -

 

 

 

 

 

 

где рЬ1 (а, ctj) — нормированная

автокорреляционная

функция

мешающего

сигнала

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P i . i ( a , a i ) = " T "

IUi (I ,

a)

U* (I, arf dt.

 

 

( 6 )

Аналогично проведем интегрирование по s. Замечая,

что N (і) =

0, N (t) N* (s) =

= 2N08 (t — s), выражение для

cr^ приведем к виду

 

 

 

 

 

ОО

 

 

 

 

ОО

 

 

 

 

 

 

 

Зл

J \R{t,

a 1)\2dl + ~ ^ - ^ [ ( a ) p ( a \ a 1)b,1p(b)dadb,

(7)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f( a) =

 

 

Ч

 

 

 

 

 

 

 

 

(8)

 

Р і,г (а )-

 

<?2 +2

Р і.2 (« і) Р і,і (<*>

« і)

 

 

Для гладкой функции / (а), описываемой

в окрестности | a — a x | <

3aMпервы­

ми тремя

членами разложения

в ряд

Тейлора, справедливо

асимптотическое

приближение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

(а —(%і)2

da X

f (а{)

 

f" (ai).

(9)

 

1/2лГ стм

 

 

2а*

 

 

 

 

 

 

 

 

228

§ 2. 1. 12.