|
2) |
мешающего сигнала |
в |
отсутствие полезного |
(а = 0), когда |
параметр а случаен, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л л а д - |
in {Pl[U(t)\/p0 |
|
(6) |
|
3) |
мешающего сигнала в отсутствие полезного (а = |
0), когда пара |
метр |
а фиксирован, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л, [U{t) I а] = In {рх [17(0 I a]lp0I*7(01}- |
|
(7) |
Здесь ро [U (г!)1 — условная плотность вероятности U (/) при а = |
b = |
= |
0 (условная плотность вероятности одного шума). |
|
|
из |
В силу известных свойств логарифмов произведения п частного, |
соотношений (3), |
(5), |
(6) |
получим |
|
|
|
|
|
А [£7(01 = |
Лх [17(0 — |
(01 —At [U{t)] + Л0 [U{t)]. |
(8) |
|
В соответствии с (4), |
(6), (7) и формулой полной вероятности |
|
|
|
Лі [U(t)] = ln |
^ |
exp (Л; [U(t) \а)}р(а) da. |
(9) |
|
|
|
|
—Л) |
|
|
|
|
|
Введем следующие записи логарифмов отношения правдоподобия |
для вспомогательных задач: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Л0 W (01 = |
Re Z0 [U (01 -I- const, |
|
(10) |
|
|
Лх [U (0| a] |
= Z\ |
[U (0 I a] + const. |
|
(11) |
Здесь |
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(12) |
|
|
z 0[U(t)] = |
- ±- |
5 |
U(t)u:_(t)dt, |
|
|
|
|
|
|
|
Л'о |
|
|
|
|
|
|
Zi{U( 0 |a ] = |
|
1 |
|
j |
U(t) U[ (/, a) di |
= 2, (a) |
(13) |
|
|
|
|
|
|
V2N0 (3,+No)
— нормированные корреляционные интегралы в задачах обнаружения сигналов с полностью известными параметрами и со случайной на чальной фазой, величина — средняя энергия мешающего сигнала.
Выражения (10)—(13) следуют из [(27)—(30), (32), § 1.1.31.
Из выражений (9), (11), (13) получим
со |
|
Л; 1£7(01 = 1° 5 lexP Z?(a )] P(a) da-f-const. |
(14) |
Подынтегральное выражение (14) представляет собой с точностью до множителя послеопытную плотность вероятности параметра а (см. также § 3.1.3). В соответствии с принятым ранее условием исполь зуем для нее нормальную аппроксимацию
[exp Z\ (а)] р (а) |
С |
ехр |
(а — сім)2~ |
|
(15) |
Ѵ2п стм |
_ О |
» |
|
|
2ам |
|
|
откуда, логарифмируя и подставляя (1), получаем
2? (а) — ( а —кц)2 |
(к а м)2 + 1 п С _ |
1п £ м - |
(16) |
2а? |
2ам |
ст0 |
|
Параметры аппроксимации С, аы, а м можно подобрать, сопоставляя значения левой и правой частей равенства (16), их первые и вторые производные в некоторой произвольной точке а = ах, в окрестности которой аппроксимация справедлива. Система уравнений, определяю щая параметры аппроксимации, имеет вид
In С = Z{ (ах) + |
(а1—ССД,)2 |
(«! |
ао)2+ |
Іп ам |
(17) |
|
2ом |
2а02 |
во |
|
« 1— «м _ « 1—«о___dZ\ (gt) |
|
(18) |
ам |
а? |
да |
|
|
|
|
|
J _ _ |
J ___ д2 Z\ (a,) |
|
|
(19) |
Ом |
во |
ö a 2 |
|
|
|
|
|
Здесь уравнение (19) определяет величину |
стм, |
уравнение |
(17) — |
величину In С, а уравнение (18)— а м. Чем меньше значения сг0 и N 0, тем точнее определяется параметр а, меньше его послеопытная диспер сия о,?,, тем больше оснований для пренебрежения в (16) высшими членами разложения Zx (а) по степеням (а — а м)2, а значит, и для использования самой нормальной аппроксимации (15).
Используя эту аппроксимацию, выполним операции интегрирова
ния |
и возведения в степень, |
предусмотренные |
соотношением |
(14). |
В результате преобразований приведем (14) к виду |
|
|
Ах [U (01 = ln С = |
Z\ |
\U (t) I ax] + ДА [ü (t) | o j, |
(20) |
где |
слагаемое |
AA [U (t) | ссг] |
назовем поправочным членом. В |
соот |
ветствии с (14), (17)—(19) поправочный член будет |
|
|
|
ДА [£/(/) К ] = |
^ |
(а, — а 0)2д- Z\ (аг) |
|
|
|
|
|
|
да2 |
|
|
|
|
— 2(ccj — а 0) dZ\ (ах) |
dZ\(а 0 |
X |
|
|
|
|
да |
да |
|
|
|
X |
2 a* Z\ ( ах) - |
-1 |
---- —1п ( 1 |
:d-Zl (Kl) |
(21) |
|
1— or; |
|
|
<Эа2 |
|
|
öa2 |
|
|
|
|
величина его изменяется в зависимости от выбора ах. Поскольку левая часть равенств (20) от ссх не зависит, при этом меняется соотношение между слагаемыми в правой части (20).
Наряду с исследованным выражением А г [U (/)], в исходное (8)
входит выражение А х [U (і) — U2 (/)]. Для |
него справедливо соот |
ношение, аналогичное |
(20), |
|
Ах W ( t ) - U 2(t)} = |
Z { { U { t) - U 2{i) |а о ]+ |
ДА [ U ( t ) - U 2 (0|а,1 . |
|
|
( 22) |
Значение а 2 может быть взято как равным, так и неравным а х. В за висимости от выбора значений а х и а 2 реализуются различные варианты оптимального или квазиоптпмального разрешения.
Пусть, например, значения а х и а 2 |
выбираются из различных |
условий |
|
ДАХ[U(t)\ а х] = |
О, |
ДЛа W (t) — Uа ( 0 |а а1 = О,
т. е. полагаются в общем случае неодинаковыми. Тогда выражение
(8) сводится к алгебраической сумме
Л [U (01 « Z\ W |
(t) - U2 |
(t) I ct2] - |
—Z\ [£/ (0 I a x] |
+ Re Z0 |
[U (t)]. |
Слагаемые этой суммы описывают выходные напряжения трех прием ников — двух квадратичных для оптимального приема мешающего сигнала (за вычетом и без вычета полезного) и одного линейного для оптимального приема полезного сигнала в отсутствие мешающего. В каждом из первых двух приемников производится своя о ц е н к а параметра а (с учетом доопытной информации, если она существенна), выходной эффект приемника выдается для соответствующего оценоч ного значения ссх или а 2. Любое из этих значений обращает в нуль выражение (21):
— первое из них а ь когда Z (ал ) определяется выражением (13) не посредственно;
— второе а„, когда U (t) в выражении (13) заменяется на U (t) —
-U2 (t).
Значения аъ а 2 можно выбрать также одинаковыми, приравнивая
нулю разность ДА [U {t) — (J2 (t) | a] — ДА \U [t) | а]. Используя ко рень a 2 полученного уравнения
|
ДА IU (t) — U2 (t) I a i] |
= ДА IU (0 (ail, |
(23) |
приходим |
к единой обработке |
|
|
|
|
A [U (01 = Z*[U (t) — U2 (t) I a x] - |
|
|
—Z\ W (t) |aj] |
+ |
R eZ 0 IU (t)]. |
|
С учетом |
(12), (13) эта |
обработка |
преобразуется к виду |
|
|
|
со |
|
|
|
|
А [Щ*)1 = |
— Re X U(t) R* (t, a j dt -f const. |
(24) |
|
|
No |
|
|
|
Здесь R (t , a x) — решающая функция, |
соответствующая обнаружению |
когерентного сигнала при наличии одного мешающего сигнала со случайными амплитудой и начальной фазой для фиксированного зна чения его параметра а = аг.
Она определяется соотношением [(31), § 1.1.3] при і — 1, а в не
сколько видоизмененной форме может быть представлена как |
|
R V, а,) = Щ{і) - |
РІ, а К) U, (Д ах). |
(25) |
Здесь |
ql = V 2 3 J N Ü и q%= }/23,/A 0 |
— отношения сигнал/шум |
для |
мешающего и полезного сигналов; |
рх>2 (а) — нормированная |
взаимокорреляционная функция |
|
|
со |
|
р 1 ’2 ^ |
= у г і ж |
J |
а) и '~^ du |
(26) |
где |
|
|
|
|
I |
1Ui iß, «) I2 dt, |
3, |
1 I U2{t) ]2 |
dt, |
a выше было принято b\ = 2.
Возможен ряд случаев, когда применимы более простые способы
определения значения а ь |
Так, при а0= сгм = 0 решением уравнения |
(23) будет а* |
= а 0, т. е. |
в этом случае допустимо использовать д о- |
о п ы т н у ю |
о ц е н к у |
п а р а м е т р а . При а0 > ам и интенсив |
ности мешающего сигнала, |
значительно превосходящей интенсивность |
полезного, в |
качестве |
можно принять |
о ц е н к у |
м а л ь и о г о |
п р а в д о п о д о б и я |
(см. также |
определяется уравнением
dZj_ (а)
да
ам а к с и -
§3.1.4). Она
(27)
к которому сводится (23), когда интенсивность мешающего сигнала существенно превышает интенсивность полезного.
§ 2.1.12. КАЧЕСТВЕННЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ КВАЗИОПТИМАЛЬНОГО ОБНАРУЖЕНИЯ ПОЛЕЗНОГО СИГНАЛА НА ФОНЕ МЕШАЮЩЕГО СО СЛУЧАЙНЫМ НЕЭНЕРГЕТИЧЕСКИМ ПАРАМЕТРОМ
Величина А = A [U it)], получаемая в зависимости от реализа ций шума и мешающего колебания после определения оценки согласно [(24)—(27), §2.1.11], является случайной гауссовой величиной. Дис персия и математические ожидания величины А в отсутствие и при наличии полезного сигнала характеризуют потенциальные возможности его обнаружения. Расчет проведем в предположении, что обработка [(24), §2.1.1] соответствует некоторому фиксированному оценочному
значению параметра |
[136]. |
Математическое ожидание величины А (за вычетом константы) в отсутствие полезного сигнала равно нулю, а при наличии последнего в соответствии с [(24) §2.1.11] будет
|
_1_ Re |
СО |
|
|
|
|
Ао |
|
U2(t)R*(t, |
a1)dt = qly(q1, cti). |
(1) |
|
No |
00 |
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|
ф(<7ъ ai) = |
l —— 9 * |
„ |
I Pi.a («л.) |a. |
|
|
|
<7? + |
2 |
|
|
Дисперсию величины Л при фиксированном аг как при наличии, так и п от сутствие мешающего сигнала представим в виде
Re j a j d t
|
1 |
J |
U(t)R*(t, а у) dt = І |
ШЯ V W |
X* ('■ “ i) X (s, « i) X |
|
Щ |
|
|
2/Vо |
—со |
|
|
|
|
X p (а I a t) p (<|') p (b) dt ds da dip dö. |
(3) |
Здесь: U (t) — комплексная амплитуда входного напряжения [(2), §2.1.11] в от
сутствие полезного сигнала (о 0); горизонтальная черта — знак |
усреднения |
по реализациям N (/), входящим в [(2), § 2.1.11 ]; р (Ь) = |
b ë~b't2 (b » |
0); р (і|>) = |
= 1/2я, (I ф I <С л)і Р (alaі) — плотность вероятности |
истинного значения па |
раметра мешающего сигнала UL{t, а) в [(2), §2.1.11] |
для оценочного значения |
параметра а г. Принимая нормальный закон распределения, полагаем |
1 |
(tt—Ді)2 |
-сгЯ |
p (a|c£ i)= y l s , |
(4) |
|
Заметим, что в соотношении (3) мы пренебрегли зависимостью ошибки (а — о^) от значений Ь, ф, N (1), £А (О- Интегрируя (3) по t и используя [(25), (26), §2.1.11], получаем
|
со |
|
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
С [N{t) + bUr { t , a ) ^ ] R * { t , |
a1)dt = |
f |
N(t) R* (t, a t) dt + |
|
|
-----CO |
|
|
|
|
|
|
-----CO |
|
|
|
|
|
|
-ЬУгЗіЭгб е'ф Pi, 2 (a ) — |
—У " |
- p i , » ( a i) P i, i( a . |
<*i) |
|
(5) |
|
|
|
|
|
Ql ~r - |
|
|
|
|
|
|
где рЬ1 (а, ctj) — нормированная |
автокорреляционная |
функция |
мешающего |
сигнала |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P i . i ( a , a i ) = " T " |
IUi (I , |
a) |
U* (I, arf dt. |
|
|
( 6 ) |
Аналогично проведем интегрирование по s. Замечая, |
что N (і) = |
0, N (t) N* (s) = |
= 2N08 (t — s), выражение для |
cr^ приведем к виду |
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
|
Зл |
J \R{t, |
a 1)\2dl + ~ ^ - ^ [ ( a ) p ( a \ a 1)b,1p(b)dadb, |
(7) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f( a) = |
|
|
Ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
(8) |
|
Р і,г (а )- |
|
<?2 +2 |
Р і.2 (« і) Р і,і (<*> |
« і) |
|
|
Для гладкой функции / (а), описываемой |
в окрестности | a — a x | < |
3aMпервы |
ми тремя |
членами разложения |
в ряд |
Тейлора, справедливо |
асимптотическое |
приближение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
(а —(%і)2 |
da X |
f (а{) |
|
f" (ai). |
(9) |
|
1/2лГ стм |
|
|
2а* |
|
|
|
|
|
|
|
|