8. По относительному изменению кривизны фронта волны, па дающей на прямолинейный раскрыв /:
Приведенные в табл. 2.1.1 выражения позволяют проанализиро вать особенности различных случаев разрешения при различном соот ношении параметров, по которым сигналы разрешаются. Ограничимся здесь анализом разрешения при малом отличии значений параметров полезного и мешающего сигналов, последний считаем, по-прежнему, достаточно интенсивным по сравнению с уровнем шума (qx > 1). В этом случае достаточно использовать разложение в ряд Тейлора нормированных корреляционных функций р12 (а) и р1Д (а, а х), при веденные в табл. 2.1.2 с точностью до квадратичных членов. В той же таблице и в таком же приближении приведены значения вспомогатель
ных функций ер (оо, ccj), ф (оо, а х), т| |
(«і ), вычисленных по формулам |
(2), (8), (13), (15). Наконец, таблица |
содержит величины 0 и /г при |
(Уо 'Ф:>°Г и оо 4ч °і-
Для всех рассмотренных в таблице случаев малой разности значе ний параметров, как и в примере §2.1.4, коэффициент использования энергии является квадратичной функцией этой разности [56, 153, 193]
k = |
Роа Ы |
(25) |
где ро — числовой множитель |
(я/2, я/4, |
1/4 и т. д.). Соотношение |
(25) неприменимо при разрывной форме огибающих сигналов, напри мер для прямоугольной формы (см. § 1.2 4), когда k —линейно-ломаная функция аг.
Коэффициент использования энергии, связанный с коэффициентом приращения дисперсии помехи 0, существенно зависит от а п р н о р-
н о й |
н е о п р е д е л е н н о с т и |
значений параметра, |
характери |
зуемой |
соотношением дисперсий |
Оо |
и af. |
Если ст0 > аь |
то для рас |
смотренных случаев 0 = 1; если |
же а0 = |
0, значение 0 = |
0. Поэтому |
по приближенным данным приведенного расчета коэффициент ис пользования энергии при априорно неизвестном параметре интенсив ного мешающего сигнала в два раза меньше, чем при априорно извест ном.
Г л а в а 2.2
ЗАКОНОМЕРНОСТИ РАЗРЕШ ЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ С РАЗЛИЧНОЙ СТЕПЕНЬЮ КОГЕРЕНТНОСТИ
На основе предшествующего материала в § 2.2.1—2.2.3 рассма триваются простые, но важные случаи обнаружения когерентного сигнала на фоне излучений источников шумовых помех, угловые коор динаты которых отличаются от соответствующих координат источника сигнала. В последующих параграфах учитываются случаи, когда и сам полезный сигнал некогерентеи (см. § 2.2.4—2.2.10). Рассматриваются
различные варианты анализа обнаружения полезных нормальных слу чайных процессов на фоне аналогичных мешающих (см. § 2.2.4— 2.2.6). В §2.2.7—2.2.11 обсуждаются примеры, когда сигнал, подле жащий обнаружению: 1) некогерентен — корреляция колебаний на рушается за пределами интервала, обратного полосе частот; 2) ча стично когерентен — сама структура колебаний задана и за преде лами указанного интервала, но интервал корреляции меньше дли тельности сигнала. В зависимости от соотношения этих двух интерва лов, флюктуации могут быть быстрыми и сравнительно медленными. Рассматривается и промежуточный случай, когда флюктуации мед ленные, но еще не настолько, чтобы сигнал можно было считать ко герентным.
Общие методы анализа обнаружения при гауссовой статистике § 2.2.5 используются для анализа не только временных, но и простран ственно-временных сигналов (см. § 2.2.11), когда наряду с временной приходится учитывать пространственную когерентность или некоге рентность. В заключение вводятся неизвестные параметры мешающих сигналов, дополнительные к амплитуде и начальной фазе. Рассматри вается модель их марковского изменения во времени. Она приводит при угловом разрешении к самонастраивающимся антенным системам и решеткам (см. §2.2.12—2.2.14).
§ 2.2.1. ОБНАРУЖЕНИЕ УЗКОПОЛОСНОГО КОГЕРЕНТНОГО КОЛЕБАНИЯ НА ФОНЕ МЕШАЮЩЕГО НЕКОГЕРЕНТНОГО
Пусть на линейный раскрыв (см. §2.1.4) наряду с когерентным полезным поступают от некоторого источника некогерентные мешающие колебания. Представим эти колебания как наложение детерминиро ванных колебаний со случайными амплитудами bt и начальными фа зами фь в частности для центра раскрыва £ = 0 в виде
« в (0,0 = 2 0 г ^ ( 0 е / (а д » '- Ѵ , |
(1) |
І |
|
где, как и ранее, bf — 2. Если случайный процесс (1) стационарен, его автокорреляционная функция имеет разностный аргумент. Отсю да приходим к соотношению
[ и в (0 , t)u*B (0, s)] = CD0 ( t — s) е'2л1° ((_s), |
(2) |
где Ф0 (t — s) — автокорреляционная функция комплексных |
ампли |
туд мешающих колебаний |
|
< M * - s ) = 2 ü i(0 ü ? ( s ) . |
(3) |
і |
|
Взаимокорреляционная функция колебаний ив (£, t), ив (11. s)> со здаваемых в точках £ и г) раскрыва, может быть представлена в ана
логичной форме. Ее значение, нормированное по отношению к уровню шума, определяется выражением
~ - M [ u B(Z, t)tiB Ol, Д1 = ф(5, ip t, s) d 2n!o 2Nо
где cp (£, 11, t, s) — взаимокорреляционная функция комплексных амплитуд мешающих колебаний
|
|
Ф(S, 11, t,s) = - ^ - Ф 0(/— Tt—s + T,,)e~'2llMT£~Tli) . |
(4) |
Здесь |
ц , |
т,, — запаздывания колебаний на пути от источника |
до |
точек Z , 11 |
раскрыва. Для линейного раскрыва и плоской волны мешаю |
щих |
колебаний имеем ть — т,, = (É, — іі) cos Ѳ/с (0 — угол между |
направлением на источник колебаний и линией раскрыва). |
|
Если |
мешающее колебание является наложением плоских |
волн |
(/ = 1, |
..., т), вместо (4) получим |
|
|
|
1 |
"1 |
|
|
ф(£. іі , t , s ) = — Ѵ с р д (^ — s) — |
|
|
— (5— 11) COS 0;/c] е-1'2лЬ (£-4)cos V е . |
(5) |
Рассмотрим случай обнаружения на фоне одного мешающего ко лебания (т = 1). Полагаем, что шум дельта-коррелирован по вре мени и вдоль раскрыва. Запаздываниями комплексных амплитуд на раскрыве пренебрегаем.
Воспользуемся интегральным уравнением [(2), §2.1.4]. В этом
уравнении положим |
|
|
|
ф (5і іі, t, s) = — Ф It— s) е~і2л I£—10 cos '’«А» |
|
No |
|
|
E (I, t) —E (t) e—!2л%cos ѳ^ я°, |
|
где Ѳх, Ѳ2 — угловые координаты |
источников мешающего |
и полез |
ного колебаний. Соотношение [(2), |
§ 2.1.4] принимает вид |
|
1 |
1/2 |
(5—я ) cos 0і/Хо ( і ц X |
|
R ( Z , t ) - \ --------^ |
е—] 2 л |
|
N° —1/2 . |
|
|
oo |
|
|
|
X ^ Ф (/— s) R{r\, s) ds = £'(/) e~i2n%cos 0»A». |
(6) |
— CO |
|
|
|
Введем оптимальную частотно-угловую характеристику |
К0ПТ(/, Ѳ) |
согласно [(12), §2.1.4]. Уравнение этой характеристики получим из (6). Для этого уравнение, комплексно-сопряженное уравнению (6), умно жим на (1//) еі2п!^~%cos6/c) е~~і2л>°(.
Полученное равенство проинтегрируем по | от —II2 до 1/2 и по t от
— оо до оо, заменяя одновременно во втором слагаемом t — s на т.
После преобразований получим функциональное уравнение для опти мальной частотно-угловой характеристики
Копт (Л 0) + «1 (/) F (0!, 0) Копт (/, 0Х) = F(Q, 02) G! (/). |
(7) |
Здесь F (0, 0') — характеристика направленности линейной антенны [(27), §2.1.4], согласованная для направления приема 0'; G2 (/) — спектральная плотность напряжения ожидаемого сигнала Е %(^)e'2ltf<K Наконец, хх (/) — нормированное (по отношению к шуму) значение спектральной плотности мощности мешающего колебания
, |
°° |
|
|
|
x1(f) = — |
С [Ф(т) е'2л1°т ] е~'2я1т dt. |
Поскольку Ф(—т) = Ф (т), |
функция |
хх (/) |
вещественная. |
Полагая 0 = 0Хи заменяя F (Ѳх, |
Ѳх) = |
1, |
сведем функционально- |
уравнение (7) к алгебраическому для Копт(/, |
Ѳі). Решая последнее, |
получаем |
|
|
|
|
К0ПТ(А 0Х) |
G| (П |
|
(8 ) |
|
|
1+хі (/)
Используя (7) и (8), окончательно находим оптимальную частотно угловую характеристику /Сопт(/, Ѳ) линейного раскрыва при обнару жении полезного сигнала 2 в присутствии одного мешающего гауссо ва стационарного случайного процесса 1.
К опт (/, 0) = G1 (/) |
К(Ѳ,Ѳа)— *і (Л f (Ѳі, ѳ2) К(Ѳ, Ох) |
(9) |
|
1 + * l ( / ) |
|
К о э ф ф и ц и е н т и с п о л ь з о в а н и я э н е р г и и д л я |
о б р а б о т к и (9) можно |
найти из соотношения [(14а), |
§2.1.4] |
* = I |
I |G atf)|»d/. |
(10) |
— оо |
— ех> |
|
Поскольку исходное соотношение [(14а), § 2.1.4] справедливо при про извольном т, в том числе при т = оо и т = 1, соотношение (10)
справедливо при обнаружении как на фоне мешающего случайного про цесса, так и мешающего когерентного сигнала со случайными амплиту дой и начальной фазой.
В силу (9) и очевидного соотношения F (Ѳ2, 02) = 1 в случае обна ружения на фоне случайного мешающего процесса окончательно по лучим
k — \ — F2(0Ь 0,) |
оо |
хі (/) |
|
5 |
|
|
|
X |G 2 {f)f df! |
$ I G2 (f)|2 df. |
(11) |
Аналогично §2.1.12 можно |
ввести коэффициент использования |
энергии при с о г л а с о в а н н о й |
о б р а б о т к е |
|
j' |
1G2 (/ip df |
|
|
— CO |
|
|
|
со |
|
|
со |
(/) I G2 c/)l2 df |
I’ |
IGsl/r-dZ + P ^ G . ) |
I' |
В ы и г р ы ш |
оптимальной |
обработки |
по сравнению с согласо- |
ванной |
В = |
klко, |
|
|
|
|
|
кдБ'вдб
Рис. 2.2.1. Графики коэффициента использования энергии и выигрыша опти мальной обработки по сравнению с согласованной в зависимости от разноса ис
точников мешающего и полезного колебаний.
как и коэффициент использования энергии, является показателем эффективности обработки. При щ (/) = и [107]
В: |
14- и Я (Ѳ „ Ѳо) |
[ 1 + к Я ( 0 ь Ѳя)] = |
|
= 1 |
1+ и ^ ( Ѳ і А П і - я (0Ь 02)]. |
( 12) |
Н а и б о л ь ш и й |
в ы и г р ы ш |
достигается, когда расстояние |
между разрешаемыми объектами соответствует полуширине |
характе |
ристики направленности по половинной мощности, т. е. при F2(0Х, Ѳ2) = |
= 0,5. Это иллюстрируется зависимостью ВдБ = 101g В = cpj (и), |
где |
и — I (cosѲі — cos02)A0, приведенной на рис. 2.2.1 для х = |
103. |
Там |
же приведена соответствующая кривая /едБ = 101g/е = ср2 (и) |
[107]. |
