Выражение для коэффициента использования энергии найдем из
[(10), § 2.2.1], заменяя индекс т + 1 = 2 на т + 1 = 3. Оно приво дится к виду
|
со |
со |
|
|
* = |
$ k(f)\G (f)?dfl 5 |
\Q (f)?df. |
(11) |
Здесь к (/) — коэффициент |
использования энергии |
узкополосного |
сигнала |
|
|
|
|
k (!) = |
Копт (/, Ѳ3)/С*[{f) = |
F0J(Q31/). |
(12) |
Рис. 2.2.3. Оптимальная характеристика направленности линейной антенны при наличии двух источников мешающих колебаний.
В силу (9), (10), (12)
k(f ) л (1 F2(Ѳд., Ѳз 1/)— }
|
-2хх xg F (0ь Ѳ2 I f )F (Ol Ѳз | /) F(QZ, Ѳ3 [ /) + x2 (1 + Щ) F2(02, Ѳ3 ] /) |
(13) |
|
—Xi x2 F“(0x, 02 I/) |
|
|
График зависимости k (f) от fl cos QJc при fl cos ѲJe = 0,5, cos 03 = 0 представлен на рис. 2.2.4. На том же рисунке нанесен график выигры ша В (f)= к (J)lk0(/) оптимальной обработки по сравнению с согласо ванной [107]. Здесь k0 (/) — коэффициент использования энергии при согласованной обработке
ko (/) = [1 + Иі (/) Г- (Ѳт, Ѳ,|/) + х 2 if) F 2 (Ѳ2, Ѳ3 |/) Н . |
(14) |
Выигрыш, являющийся одним из показателей качества обработки, оказывается наибольшим, когда второй (мешающий) источник при ближается к первому (также мешающему). Если мешающие источники разносятся в пространстве, то для рассматриваемого случая сплошного
раскрыва выигрыш обычно понижается. Выигрыш мог бы увеличиться, если при том же самом угловом разносе мешающих источников | Ѳ2 — 0Х| увеличить длину сплошного раскрыва I или перейти к разрывному раскрыву, состоящему из двух сплошных, первоначальной длины I,
Рис. 2.2.4. Графики коэффициента использования энергии и выигрыша для ли нейной антенны в случае двух источников мешающих колебаний в зависимости от углового положения источника 2 при фиксированном положении 1.
с разносом L > 1 между центрами (см. §2.1.4 и [1471). Во многих случаях, однако, существенна не столько величина выигрыша, сколь ко возможность повысить качество обнаружения в конкретной поме ховой ситуации.
§ 2.2.4. ОБНАРУЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ВИДОВ НЕКОГЕРЕНТНЫХ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ ГАУССОВЫХ ПОМЕХ
Выше рассматривалось обнаружение когерентных сигналов, на лагающихся на белый гауссов шум, и другие когерентные (гл. 1.1, 1.2, 2.1) или некогерентные (§ 2.2.1—2.2.3) сигналы. Дальнейшее ис следование вопросов даже знакомых из трех последних параграфов, будет затруднено без анализа обнаружения некогерентных сигналов. Характерными примерами таких сигналов являются: некогерентная пачка радиоимпульсов, некогерентный многочастотный сигнал, нор мальный (гауссов) процесс с произвольной автокорреляционной функ
цией. |
о б н а р у ж е н и е |
В качестве первого примера рассмотрим |
п а ч к и «о (t) и е п е р е к р ы в а ю щ и х с я |
р а д и о и м п у л ь |
с о в с н е з а в и с и м ы м и с л у ч а й н ы м и н а ч а л ь н ы
м и ф а з а м и на фоне белого гауссова шума.' Хотя каждый из радиоимпульсов когерентен, пачка в целом имеет случайную фазовую структуру и представляет собой некогерентный сигнал. Используя дискретизацию колебаний (см. § 1.1.2), ее можно описать многомер ным вектором
|
ЛІ |
|
uc = |
av (uv COS cpv -)- Uvi. sin cpv). |
(1) |
|
V=r |
|
Здесь uv — вектор колебаний ѵ-го когерентного |
радиоимпульса; |
uVJ_ — вектор сдвинутых по фазе на 90° колебаний; аѵ и срѵ — случай ные амплитудные множители и начальные фазы, имеющие некоторую совместную плотность вероятности р (а1г фъ ..., ам, флі)-
По теореме полной вероятности плотность вероятности реализа ции вектора и сигналом и шумом в данном случае будет
Рі (и) = |
$ |
Рі (и I a L, фь ... , ам , Флі) X |
|
|
( “ і . Фі........... ам- |
ФЛІ) |
|
X р{ал, фь ..., ам, <pM)da1dq>1 ... daMdepM- |
(2) |
Поделив левую и правую части равенства (2) на плотность вероят ности реализации вектора и одним шумом, найдем отношение правдо
подобия |
|
|
|
|
|
/( и) |
= |
5 |
^ (и I ah фь .... ам, флі) X |
|
|
|
(Ol. Фі. |
. ам- Флі) |
|
|
|
X р (öi, фь •••, ам, флі) daA dept ... d a M с?флі, |
(3) |
где |
/ (и I ах, Фі, |
..., ам, |
флі) — отношение правдоподобия при |
извест |
ных |
параметрах |
пачки. |
Если |
флюктуации всех этих параметров — |
случайных амплитудных множителей и начальных фаз импульсов — независимы, то
|
|
|
|
|
ЛІ |
|
|
|
р (ßi, Фі....... ам, флі) |
= |
П р (аѵ) |
р (фѵ). |
|
|
|
|
|
Ѵ = 1 |
|
|
Используя [(27), § 1.1.3] при |
rm+1 = uc, получаем |
|
|
|
ЛІ |
|
|
|
|
|
ln /(u )= 2 |
ln /v(u), |
|
(4) |
|
|
|
v=l |
|
|
|
где /ѵ (u) — отношение |
правдоподобия |
при |
обнаружении ѵ-го оди |
ночного |
когерентного |
радиоимпульса. |
|
|
фазами и нулевыми |
Для |
пачки с равновероятными |
начальными |
флюктуациями амплитудных |
множителей, |
когда р (фѵ) = 1/2л и |
р (аѵ) — 8 (аѵ — 1), аналогично [(28), |
§1.1.3] |
получим |
|
|
|п,’ - |
,п/* ( £ |
) Ч й - |
(5) |
Здесь |
Zv — модульное |
значение |
ѵ-го корреляционного |
интеграла |
|
|
I |
U{t)U*{t)dt, |
(6) |
|
|
—оо |
|
|
U (t) |
и Uv (t) — комплексные амплитуды принимаемого и ожидаемого |
сигналов; Эѵ — энергия |
ѵ-го импульса. |
|
Согласно (4)—(6) операции обнаружения сводятся к когерентной (фильтровой, корреляционной, корреляционно-фильтровой) обработке
каждого принимаемого радиоимпульса, к детектированию по |
закону |
In / 0 (s) и последетекторному суммированию, после которого |
произ |
водится сравнение с порогом. Детектирование близко к квадратичному для слабых сигналов.
Для пачки с равновероятными начальными фазами и р е л е е в- с к и м и и е з а в н с и м ы м и а м п л н т у д н ы м и м н о ж и-'
т е л я м я, когда р (аѵ) — аѵе~0ѵ/2, имеем
где Эѵ — средняя энергия ѵ-го когерентного импульса. В этом слу чае при любой интенсивности обнаруживаемого сигнала оптимальным
является квадратичное детектирование. |
|
М н о г о ч а с т о т н ы й |
с и г н а л, как и пачечный, |
пред |
ставляется в векторной форме в виде линейной комбинации (1). |
При |
наличии разноса н равновероятных независимых начальных фазах отдельных спектральных составляющих придем к обработке (4)—(6), когда амплитуды колебаний различных частот фиксированы, и к обра ботке (4), (6), (7), когда они являются независимыми релеевскими величинами.
Остановимся подробнее на только |
что рассмотренном случае г а- |
у с с о в о й |
с т а т и с т и к и , |
когда срѵ — равновероятные, а йѵ— |
релеевские величины, так что входящие в (1) |
произведения си, cos срѵ |
и av sin срѵ |
будут независимы и подчиняются нормальному закону. |
В этом случае и при п р о и з в о л ь н о й |
о р т о г о н а л ь н о й |
с и с т е м е |
ф у н к ц и й |
иѵ (t) |
и |
иѵ± (t) |
(ѵ = |
1,2, |
..., М) также |
придем к полученным ранее результатам (4), (6), (7). |
|
Изменяя |
порядок суммирования |
и |
интегрирования |
в последних |
соотношениях (заменив |
в |
(7) Z%= |
Z v Z%), далее |
находим |
|
1 п /= -1 - |
Ц (I* (t) L(t,s) U (s) dtds — C, |
(8) |
где L (t, s) — двумерная |
решающая |
функция, |
а С — константа: |
|
|
|
|
м |
|
Uv it) U* (s) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 9 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
= I Wo + I I uv (0Г- dt |
|
Al |
Г |
со |
|
С = 2 |
ln |
1 -ь \ I Uv {t)f dt/N0 . |
(10) |
V— 1 |
|
-'J0° |
|
Наряду с функцией L (t, s) введем функцию L (t, s| А) путем замены
каждого из напряжений Uv (і) в (9) на | / А Uv (t), что эквивалентно изменению мощности всех парциальных колебаний сигнала в А раз. Выразим константу С через эту функцию. Для этого воспользуемся тождеством
1 dx ln (1 -fa) — а I
о 1-р a X ’
в котором положим
со
a = av = ^ I Uv (t)\2 dt/N0.
С = Л Ч |
X |
I L ^ |
s \A ')ds’ |
(11) |
О |
—со |
|
|
В результате получим |
м |
|
|
|
|
|
СО |
( 12) |
ѵ== 1 |
N0+ A |
J \Uv {t)\*dt |
|
1 , . 00
где
Найденное выше выражение (8) определяет логарифм отношения правдоподобия для произвольной реализации нормального случайного процесса U (t), если известны двумерная решающая функция L (t, s) и константа С. Константа С, выражаемая через решающую функцию L (t, s IЛ), оказывается несущественной в ряде задач обнаружения, но существенна при измерениях (см., например, § 3.2.2).
Покажем, что решающие функции L (t, s) я L (t, s\ А) непосредст венно связаны с к о р р е л я ц и о н н ы м и функциями комплексных
амплитуд сигнала и помехи. В частности, |
введем такие функции для |
одного сигнала |
м |
|
j |
|
Фс (t, s) = —— М [Uc (t) Щ (s)] |
= 2 |
tfv (t) m (S), |
(13) |
2 |
v=l |
|
для одной помехи в виде белого шума |
|
|
|
ф ш ( * , 8 ) = 1Ѵ0б(* — |
s) |
(14) |
и для аддитивных сигнала и шума |
|
|
|
|
м |
Uv(t)m(s). |
|
Ф с ш М = Аг05 ( г - 5 ) + 2 |
(15) |
|
ѵ= 1 |
|
Обращая внимание на сходство выражений L (t, s) |
и Фсш (/, s) |
п учитывая ортогональность функций Uv (і), вычисляем интеграл |
со |
j\l |
|
|
\ |
ф сш {І, т) L (т, 0) гіт = -і- V |
£/v(t) Щ (0). |
(16) |
о |
Nо |
1 |
|
— со |
V = |
|
Умножая интеграл (16) на Фш (0, s) и интегрируя по 0, находим интегральное уравнение для двумерной решающей функции при по мехе в виде белого шума
со
ЦФ с г Л ^ Щ 'б Ѳ)ФШ(Ѳ, s)dxdQ =
—со
= Фсш (*>«) —Фш М - |
(17) |
Уравнение (17) нетрудно о б о б щ и т ь |
на случай, когда не |
только подлежащий обнаружению, но и мешающий нормальный слу чайный процесс имеет автокорреляционную функцию произвольного вида.
Введем отношения правдоподобия
^спш = Рспш (и)/Рщ (*0> Лщ Рпт (^0/ Ріа (^)
применительно к вспомогательным случаям обнаружения сигнала с по мехой и одной помехи на фойе белого шума со спектральной плот ностью е — 0. Логарифм искомого отношения правдоподобия
ln I |
lim (In /спщ In /пш), |
|
|
е->0 |
|
используя предыдущие результаты, приведем к виду |
|
|
со |
|
1п/ = — |
Ц U *(t)L(l,s)U (s)ds— C, |
(18) |
—оо |
|
где |
|
|
L (t, s) = |
lim [LcnI1I (l, s) — Lam (t, s)l; |
(19) |
|
e->0 |
|
C = lim (Сспш — Спш). |
(20) |
|
£ -*■0 |
|
Функции Lcnni (t, s) и Lnm (t, s) определяются при этом из уравнений
8 |
I Фспш(*,'')ІСІІШ(т,Ѳ)& = ФСІіт(;,Ѳ ) -в 6 ( і- Ѳ ), |
(21) |
|
— оо |
|
|
оо |
|
8 |
jj фпш (S, 0) І пш (0, х) dQ = Фпш (s, т) — еб (S—т). |
(22) |
|
-00 |
|
Умножая уравнение (21) на Ф ^, (0, s), а комплексно-сопряженное урав нение (22) наФспш(^, т), проинтегрируем первое по 0, а второе по х.
