где N 0 — спектральная плотность мощности белого шума, называя эту часть небелой частью помехи. Как и сигнал, последняя разлагает ся в ряд по неслучайным функциям со случайными независимыми ко эффициентами.
Если ограничиться в разложении Uun (/) числом т, а в разложе нии А (/) числом п слагаемых, придем к задаче обнаружения совокуп ности п полезных колебаний на фоне т мешающих и белого шума. От ношение правдоподобия этой задачи находится с помощью рекуррент ных соотношений [(31), §1.1.3]. Описывая обнаружение одиночного когерентного сигнала на фоне белого шума и т мешающих сигналов,
они определяют отношение |
Іі/т = pm+1(U)/Pm (U) |
плотностей |
вероят |
ности ѵ-мерных |
реализаций |
при |
наличии |
т + 1 и т сигналов. |
В предельном случае ѵ |
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
1 |
п |
^ |
|
U *(t)LUm{t,s)U (s)dtds— C, |
(9) |
где в соответствии |
с [(29), |
(32), |
§ 1.1.3] |
|
|
|
L i/т (t, s) |
_________R m + l ( t ) K m + \ |
(S)_________ |
( 10) |
|
/ |
СО |
|
|
' |
|
|
|
Nо ( Wo+ I |
Um+1 (x) Rn,+ I |
(x) dx |
|
Функции R m+1(t) = R (t) определяются из рекуррентных соотно шений [(31), § 1.1.3]. В случае необходимости бесконечные пределы интегрирования могут заменяться конечными.
Интересующие нас соотношения при п Ф 1 для
|
со |
|
In Іц/т — |
^ U* (і) Lnj,n (t, s) U(s) dt ds -f const |
(11) |
и Ln/m(t, s) найдем, используя тождество, очевидное в случае ко нечномерных реализаций,
Рт+п (и) _ Рт+і (и) Рт+2 (и) |
Рт+п (и) |
Pm (и) |
Pm (и) Pm+l(u) |
Рт+п-П “) |
В других обозначениях это тождество будет
П
ІП l n / m ~ 2 Іп/ідш+ѵ—i) COnst.
v = 0
В соответствии с (9)—(11) для предельного бесконечномерного чая отсюда получим соотношение, аналогичное (10),
|
п |
*ni+v К г+ ѵ (s) |
|
L n /т (t,s) = |
|
ОО |
|
V= 1 N0 |
( üjn+v (т) Rrn+v (x) dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выражение (11) |
можно привести |
к виду |
|
|
|
In Іп/т = ~ |
2С Qv |
S |
|
2 |
+ |
cost, |
(13) |
U(i)Rtn+At)dt |
|
|
2 ѵ=1 |
|
|
|
|
|
где Qv — весовые |
коэффициенты, |
|
|
|
|
|
|
1/Qv —- N 0 N0 + |
5 Um+v(t)Rm+v(t)dt |
|
(14) |
Функции |
R m+V(i) |
по-прежнему |
определяются |
соотношениями |
1(31), § 1.1.3], |
такими же, что и при обнаружении |
одиночного сигна |
ла со случайными амплитудой и начальной фазой. |
|
|
|
ult).
-- 1 е X г \ ^
-г—* W
( t )
xSaâpa■ |
*1 |
|
*■бодра ■ |
|
|
Mt0- |
ч'НЬ 'U |
—* |
|
fT7UVV£t/U |
|
детектор |
I |
|
детектор |
I |
ШI |
J |
L_» Весовой ln L U (t) -— |
|
|
Весовой |
|
Су кгічс • |
|
|
——- суч«а |
|
квадра- |
Г 4 тор |
|
|
moo |
|
|
квадро. |
L T |
|
тиѵньTlUVHtjtLL'й. |
4 |
|
тцчньиі |
|
детектор |
|
детектор |
|
|
a) |
|
|
і) |
|
|
Рис. 2.2.5. Схемы оптимальных обнаружителей некогерентных сигналов:
а —с корреляцнонно-фнльтровымк каналами когерентной обработки; б —с оптимальными фильтрами в каналах.
Алгоритм оптимальной обработки (13) сводится [152]: |
1. |
К вычислению модульных значений корреляционных интегра- |
лов JооJ |
U(t) Rm+v (t) dt \ . Они находятся как амплитуды выходных на- |
— оо |
|
пряжений корреляционно-фильтровых схем обработки (рис. 2.2.5, а),
опорные |
напряжения которых |
имеют |
комплексные |
амплитуды |
Rm+v (()■ |
Их можно найти далее как амплитуды напряжений на вы |
ходе оптимальных'фильтров (рис. |
2.2.5, б), |
комплексные |
амплитуды |
импульсных характеристик которых определяются выражениями
Rm+v (to ’ t).
2.К последующему весовому квадратичному суммированию ампли
туд напряжений ѵ = 1, |
..., п. |
о б н а р у ж е н и я |
К а ч е с т в е н н ы е |
п о к а з а т е л и |
можно установить, исходя из следующих соображений.
Поскольку амплитуды напряжений на выходе линейных схем обра
ботки V = |
1, ..., п распределены |
по закону Релея, то квадраты этих |
амплитуд |
рѵ ^ 0 имеют экспоненциальное распределение |
|
|
Р(рѵ) = |
т—e-fi,/Pv, |
(15) |
где pv — математическое ожидание величины рѵ. Включая в рѵ ве совой множитель Qv, получаем
|
|
|
|
|
Т/ 2 |
т/2 |
|
|
|
|
|
|
Pv = |
Qv |
^ dt |
^ /?ш+ѵ(/)Ф (/, s)Rm+v(s)ds. |
(16) |
|
|
|
|
—Т/2 —Т/2 |
|
|
|
|
Здесь |
Ф (t, |
s) = |
-у М IU (t) U* (s)] — автокорреляционная |
функция |
принимаемых колебаний. |
Полагая по условию М [а*] = 2, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
'маис |
|
|
|
|
Ф (t, s) = N0S(t— s) + |
Ъ |
U, (t) Щ (s), |
(17) |
гДе |
«макс = |
m |
+ |
n, |
если |
Ф (t, |
s) = |
Фоп (t, s), и гмако = |
m, если |
Ф (t, |
s) = Фп (t, |
s). Тогда |
|
|
|
|
|
Рѵ — Qv j |
^ |
Rm+V(t)\z d t+ |
^макс |
|
|
2 |
5 |
Ut (t)Rtn-v(t)dt |
(18) |
|
|
|
|
|
|
|
t= l |
|
|
Подробнее рассмотрим случай, когда парциальные сигналы (6)
ортогональны.
Выходное напряжение каждой из схем обработки (рис. 2.2.5, а или рис. 2.2.5, б) является суммой п случайных независимых ве личин:
|
П |
|
И-= |
2 |
!1Ѵ |
(19) |
|
V = |
J |
|
Плотность вероятности р (р) |
этого напряжения найдем, вводя |
х а р а к т е р и с т и ч е с к у ю |
функцию |
|
ф(?,)= J |
p (p )e~ ^ < ip . |
|
— oo |
|
|
|
Поскольку случайные величины |
pv независимы, |
то |
|
П |
|
р (р) dp = |
П |
р (рѵ) dpv |
(20) |
|
ѵ= 1 |
|
и характеристическая функция их суммы равна произведению ха рактеристических функций слагаемых
ѵ= I
Всоответствии с (15) каждая из этих функций определяется дробью
Произведение (21) при различающихся |
между собой |
значениях |
Рѵ можно свести к сумме простых дробей: |
|
|
Ч>(Ч- У |
Г '1™ ■ |
(23) |
—J |
1-1-]РІ 1 |
|
|
і= 1 |
|
|
|
где |
|
|
|
Я(^)= [ 1 г1(^ Г |
|
(24) |
1 |
п |
|
|
П (і - Р ѵ/РіГ 1 П |
(1 _ р ѵ/Рі)-х. |
(25) |
ѵ= 1 |
|
|
|
Путем обратного преобразования Фурье характеристической функ ции (23) найдем плотность вероятности
Р Ы = 2 [Н(1/РіУРіі ехр(— р/Рі),
і= 1
интеграл от которой в пределах от р0 до оо характеризует вероятность превышения порога р0 [154]:
П |
|
Р = 2 Н (1/Рі)exp (—p0/Pj). |
(26) |
І~ 1 |
|
Выражение (26) определяет условную вероятность ложной тревоги Р — F, когда действует одна помеха, и условную вероятность правиль ного обнаружения Р = D, когда действует сигнал и помеха. В каждом из случаев в (18) войдет свое значение гмаис: т или
§ 2.2.7. ПРИМЕРЫ ОБНАРУЖЕНИЯ ЧАСТИЧНО РАЗРУШЕННЫХ ФЛЮКТУАЦИЯМИ СИГНАЛОВ НА ФОНЕ БЕЛОГО ШУМА
Когда время корреляции флюктуаций много больше длительности сигнала, некогерентный сигнал вырождается в когерентный со случай ными амплитудой и начальной фазой, его искажения не проявляются. На схемах (рис. 2.2.5, а и б)’сохраняется всего одна ветвь когерентной обработки, необходимость возведения в квадрат и суммирования от падает. Не возвращаясь к этому варианту, в данном параграфе обсу дим случай, когда время корреляции флюктуаций одного порядка с с длительностью сигнала в виде прямоугольного радиоимпульса с из вестным законом модуляции фазы. Поскольку структура сигнала разру шается неполностью, достаточно небольшого числа параллельных вет вей когерентной обработки (рис. 2.2.5, а, б).
Аппроксимируем автокорреляционную функцию флюктуациониого процесса A (t) функцией разностного аргумента, которая на интервале
2Т, равном удвоенной длительности сигнала, сводится к сумме |
двух |
членов ряда Фурье [152] |
|
Ч>А(т) = А0+ Ахcos -утг. |
(1) |
Представленные на рис. 2.2.6 аппроксимирующие кривые 1 (А 0 =
=Аг — 0,5) и 2 (А0 = 0,36, А х = 0,64) близки к реальным. Заменяя в (1) т на / — s и пользуясь формулой косинуса разности,
приходим к аппроксимации двумерной автокорреляционной функции, являющейся ее ортогональным разложением в квадрате 2 (|^ |< ;7 \ |s | < Т), а именно
0/1(1“, s) — А 0-I- А I cos |
t'j c o s ^ s ^ - f / l j S i n [ - ^ - if) s in ( ^ - s)- (2) |
Рис. 2.2.6. Простейшие аппроксимации автокорелляционной функции флюктуации.
Рис. 2.2.7. Области значений i, s, для которых: 1—используется аппроксимация автокорреляцион ной функции (малый квадрат); 2—функции cos (nt/T) и cos (nsIT) ортогональны постоянной составляющей (большой квадрат); 3 —модуль разности |s —1\ > Т.
В этом квадрате выражение (2) имеет три максимума: ( = s = |
0 и ( = |
= |
s — + Т . По условию ограниченной длительности сигнала |s — 1 \ < |
< |
Т выражение (2) используется только в незаштрихованной области |
(рис. 2.2.7). |
Оно применимо, |
в частности, |
в |
квадрате / ( |s |< T / 2 , |
| / | < |
772), |
|
представляющем |
фактическую |
область интегрирования |
для выражений [(11), |
(13), |
§2.2.6]. Однако в этом квадрате функция |
cos {ntIT) не |
ортогональна |
постоянной |
составляющей А 0. |
Поэтому |
дальнейшее решение можно вести двумя путями: |
|
|
1) |
вводя собственные функции линейного интегрального уравнения |
с ядром (2), |
заданным в квадрате |s| < |
772, |
|/ | < 772; |
|
|
2) ограничиваясь разложением по неортогональным функциям. |
|
Вначале рассмотрим первый путь решения. |
|
|
Если выражение [(7), §2.2.6] справедливо в квадрате | s | < 772, |
I ^| < |
772, |
а функции |
(t) с разными номерами ортогональны на ин |
тервале Т 0 |
= Т, то, умножая упомянутое выражение на ф; (т) и интег |
рируя |
по т |
от —772 до 772, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
т $/ 2 |
Фл(Ѳ, |
т)ф г(т)Фі; = |
Хгфг(Ѳ). |
(3) |
|
|
|
|
— r / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
