Составляя разность уравнений, сокращая ее на е и переходя к преде лу е 0, в соответствии с (19) находим интегральное уравнение для двумерной решающей функции L (t, s) при произвольной автокорреля ционной функции помехи
со |
|
Ц фоп (А т) L (т, 0) Ф п (0, s) dx dB = Фсп (/, s) — Фп (t, s). |
(23) |
— со |
|
Аналогичная функция L (t, s|A ), получаемая из (23) при изме
нении мощности сигнала и н е б е л о й |
(т. е. не имеющей особен |
ностей) части помехи |
в А раз, определяет постоянную С в (18). |
В виду важности |
формул (8) и (23) |
ниже приводится другой, |
более общий их вывод. |
|
§ 2.2.5. О НЕПОСРЕДСТВЕННОМ ПЕРЕХОДЕ ОТ ДИСКРЕТНЫХ НОРМАЛЬНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ К НЕПРЕРЫВНЫМ
Пусть задан нормальный случайный процесс с комплексной ам
плитудой колебаний |
U (t). Введем некоторую выборку U произведе |
ний Ui = U (А) Ati |
комплексных амплитуд заданного процесса в точ |
ках отсчета і = 1, 2, |
.... ѵ на интервалы Дtt = tt |
между отсчетами. |
Считаем для определенности, что точки отсчета равномерно запол няют интервал —772 < ^ < 772. Используем известное выражение плотности вероятности выборки дискретного нормального случайного
комплексного [43] процесса |
с нулевым математическим ожиданием: |
|
|
р (U) = (4зт)—ѵ IФ [—1ехр ( ---- — U* ф - ‘ |
. |
|
(1) |
Здесь |
Ф |
= I Ф j/іI = |
~y |
\M [UiU%]\ — матрица |
корреляционных |
моментов; |
| Ф | — ее определитель; |
Ф - 1 — обратная матрица; |
U — |
матрица (вектор-столбец) |
выборки U; U*— сопряженная ей по Эрми- |
ту, т. |
е. |
транспонированная |
комплексно-сопряженная |
матрица |
(вектор-строка). Условиям |
наличия |
сигнала и помехи |
или |
одной |
помехи соответствуют различные корреляционные матрицы Ф сп |
и Ф п . |
В силу (1) |
логарифм отношения |
правдоподобия определяется |
выра |
жением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
In / = ln |
Pn (u) |
= _L и* LU—С. |
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Здесь |
L — решающая |
матрица |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L = = ф “ 1 — Фе“ 1, |
|
|
( 3 ) |
а С — постоянная, не |
зависящая |
от |
конкретной |
принимаемой реа |
лизации U, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С = - і - І п [ | Ф сп|/|Фп |]. |
|
|
(4) |
Умножая (3) на Ф сп слева п на ф „ справа, получаем для L уравнение
Ф сп ^ Ф п = Ф оп — Фц- |
(5) |
По мере того как интервал Ді'-э-О, набор дискретов все лучше н луч ше описывает непрерывный процесс. Матричное уравнение (5) пере
ходит при этом в |
интегральное для двумерной решающей функции |
|
|
L( т,Ѳ)= lim |
L ik, |
(6) |
а именно при ѵ -> |
оо (а далее и Т—уоо) в уравнение вида |
|
со |
|
|
|
|
$$ Фсп V, Т) L (х, Ѳ) Фп (Ѳ, s) dx dd = |
Фсп (t, s) —Фп (t, s). |
(7) |
— со |
|
|
|
|
Уравнение (7) совпадает |
с предыдущим |
[(23), §2.2.4], где |
|
|
Ф (7, |
s) - ± -М [0 { £ ) |
U* (S)], |
(8) |
причем в правой и левой частях (8) должны быть проставлены оди наковые индексы «сп» или «п».
Выражение (2) после |
предельных переходов представим |
в виде |
|
со |
|
In / •■= — |
Ц и* (t) L(t, s) U(s) dt ds — C, |
(9) |
---- CO
что также совпадает с [(8), §2.2.4]. Значение С в (9) можно находить по формуле [(11), § 2.2.4], не занимаясь прямым преобразованием (4)*>. Значение L (s, s | М), входящее в эту формулу, можно определить как решение (7) при мощностях сигнала и небелой части помехи, изменен ных в Л раз. Бесконечные пределы интегрирования в (7), (9) могут быть заменены на конечные (—772, 772).
Вместо непосредственного решения интегрального уравнения (7) для функ ции L (t, s) часто ее представляют в виде
L(t, s) = Sen {t,s) - SßCTl{t, s). |
(10) |
Здесь SSn (t, s) и <2?cn (t, s) — функции, которые определяются интегральными уравнениями, содержащими одинарные, а не двойные интегралы. В самом деле матричное уравнение (3) сводится к виду
L= Я а- 2 с п , |
(11) |
где S?n и 5?сп определяются матричными уравнениями |
|
|
Ф п # п = І , |
(12) |
Фсп сп = I • |
(12) |
Здесь I = II бдд II — единичная матрица. В свою очередь, бhh — символ |
Кроне- |
кера (б/,;, = 1 при /і = к и 8кк = |
0 при h Ф к). |
|
*> Такие преобразования см., |
например, в [70, 115]. |
|
Используя правило перемножения матриц и приведенное выше определение для выборки U, будем иметь
V
2 |
ФпѴь, ti)S5a (ti,tk)At = 6,lk/At. |
(14) |
І = |
1 |
|
Введем функцию разностного аргумента f (ijt — tk) = б/^/Д/; заметим, |
что |
|
V |
|
|
S Н * Л -Щ А /= 1 . |
(15) |
|
Л= 1 |
|
Это значит, что введенная функция / (т) при At -> 0 обладает свойствами дельтафуикцпн
f (т) — 0 при т Ф 0 и |
СО |
[ (x)dx = 1. |
|
j |
|
— оо |
|
|
|
Система алгебраических уравнений (14) (к = |
1, |
.... ѵ) |
переходит при этом в ин |
тегральное уравнение для функции £5а (t, s): |
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
J Фп (^. і:)5?п(т, s) dx= 8 (f— s). |
(16) |
— CO |
|
|
|
|
Из аналогичного уравнения определяется и функция |
Sßоп (т, |
s): |
со |
|
|
|
|
J- Фсп(^. Т) S5cn(x, s)dx = 8(t — s). |
(17) |
—со
§2.2.6. ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ РЕКУРРЕНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ § 1.1.3 ПРИ СИНТЕЗЕ ОБНАРУЖИТЕЛЕЙ НОРМАЛЬНЫХ СЛУЧАЙНЫХ
КОЛЕБАНИЙ
Пусть комплексная амплитуда ожидаемого колебания А (/) U0 (() имеет вид произведения комплексной амплитуды U0 (0 некоторого детерминированного сигнала и случайного модуляционного множителя А ((), описывающего мультипликативную помеху. При наложении аддитивной помехи суммарное напряжение будет
Ucn (0 = и п (0 + А (0 и 0 (0. |
(1) |
Считая помехи независимыми, находим автокорреляционную функцию суммарного колебания в виде
Фсп (Ѳ, т) = Ф п (Ѳ, т) + |
Фл (Ѳ, г) и 0 (Ѳ) и \ (г). |
(2) |
Здесь соответственно |
|
|
Фсл(Ѳ. Т) = ~ М |
{Ucn(Ѳ) Псп (т)}, |
|
Фп(0,т) = ^-7И{г7п(Ѳ )^(т)}, |
(3) |
Фа (Ѳ,т) = \ м {А (Ѳ)Л*(т )} |
|
— автокорреляционные функции суммарного и мешающего |
процес |
сов и модулирующего множителя. |
|
|
Флюктуацпонный множитель А (/) часто сводится к сумме неслу чайных функций со случайными независимыми комплексными коэф фициентами a h реальные п мнимые части которых являются независи
мыми случайными величинами с математическими ожиданиями |
нуль |
и с дисперсиями = М ( |а ; | 2/2). При этом |
|
|
Л (0 = 2 “ і Фі (0 = Ц а і у % ф і (0- |
' |
(4) |
Здесь о,- — комплексные случайные коэффициенты, нормированные так, чтоЛ4 {| сіі 12}=2. Согласно (4) искаженный флюктуациями сигнал А (/) U0 (/) приводится к сумме неискаженных флюктуациями пар циальных когерентных колебаний с независимыми случайными ко эффициентами о;:
і |
(5) |
где |
|
ui ( t ) = V h b ( t ) u 0(t). |
(6) |
При этом |
(7) |
|
Если функции ф,- (/) ортоиормнроваиы на некотором интервале
—Т 0І2 < t <; Т0І2, перекрывающем область существования сигнала, а коэффициенты а ; являются нормальными комплексными случайными величинами, то эти величины можно считать независимыми. Действи тельно, умножая (4) на ф* (/) и интегрируя по /, получаем
Тс!2 |
аі — \ |
A{t)yt{t)dt, |
—То/2 |
так, что |
|
Тс/2 |
|
М {ссг а*} = ^ ^ |
ФА (0, т) ф* (0) фу (т) dQ dr. |
-То/2 |
|
Используя (7) и условие ортонормированности функции фг (/)
То/ 2
\ ' h w ^ n o d t = \ 1 п р и і. |
{’ |
J |
|
[0 |
при |
іф і, |
- Т о / 2 |
|
|
|
|
|
будем иметь |
|
|
|
|
|
|
М {аг af } = |
h |
при |
t = |
/, |
|
О |
при |
і ф /• |
|
|
Согласно (8) гауссовы величины а г и а у при і Ф / независимы. Переходя к аналогичным разложениям для помехи, выделим от
личную от белого шума ее часть с корреляционной функцией, не имеющей особенностей,
Ф,щ (0> т) = Фп (0, т) — ЫйЬ (/ — т),
