Файл: Ширман, Я. Д. Разрешение и сжатие сигналов.pdf

Полученное выражение (3) представляет собой линейное интеграль­

щие различным собственным числам Xt п Xj, взапмоортогональны. Отыскивая систему двумерных собственных функций (1) для квад­

нулю). В качестве одной из таких функций для отрезка | і | < 772 возь­

мем собственную для отрезка |/| < Т функцию фх (/) = Djsin

Коэффициент Dj установим пз условия нормировки, определяемого

Сопоставив порознь члены, не содержащие и содержащие cos (яѲ/71),

Ненулевые решения однородной системы (6) получаются при зна­ чениях X, удовлетворяющих характеристическому уравнению

r - ( / i 0+ A ) ™ - M 0^ f o , 5 - - l ) T 2 = o.

найдем неизвестные коэффициенты (4). Искомая система функций окончательно принимает вид

В соответствии с (7) и [(6), § 2.2.6] уточняются опорные напряже­ ния корреляторов (см. рис. 2.2.5, а) или импульсные характеристики оптимальных фильтров (см. рис. 2.2.5, б). На рис. 2.2.8 представле­

ций ф; (Л во времени. Детерминированная фазовая модуляция сигнала

весом. Слагаемые, для которых Эіср/іѴ0 - < < 1, суммируются с неоди­ наковым весом, пропорциональным 9 icp/N0. Это содействует устране­ нию замираний, когда средний уровень сигнала велик. Одновременно

Приведенные соображения дополним расчетными соотношениями, определяющими качественные показатели обнаружения [154]. По­ скольку в данном случае /?m+v (t) = Um±v(t), а число мешающих

сигналов т = 0, по формулам Г(6), (7а), (14), (18), §2.2.6] и (7), (7а)

получим

q"-hiT

где q%= 25срЛѴ0 — параметр обнаружения при отсутствии флюктуационных искажений, а ѵ = 1, 2, 3. Пользуясь (9) и ((25), (26), §2.2.6], можно вычислить условную плотность вероятности ложной тревоги F для произвольного уровня порога р0, либо, наоборот, вы-

Рис. 2.2.8. Схематическое изображение парциальных колебании, соответст­ вующих аппроксимации ’автокорреляционной функции рис. 2.2.7.

брать Ро. если задана величина F. Используя (10) и [(25), (26), § 2.2.6], находим при этом условную вероятность правильного обнаруже­ ния D.

Особенностью проведенного анализа была ортогоналнзация решений ин­ тегрального уравнения (3) в квадрате | Ѳ| < 772, |т | < 772. Однако полученный ранее оптимальный алгоритм [(13), § 2.2.6] не требует обязательно такой ортогонализации, он использует лишь независимость флюктуаций парциальных коле­

баний. Парциальные составляющие флюктуационного множителя У А0,

V Â cos (nt/T), 1/ Ах sin (nt/T) можно установить по виду автокорреляционной функции (2). Парциальные составляющие сигнала при этом будут:

В рассматриваемом случае мет смысла накладывать какие-либо специальные ограничения на закон изменения амплитуды колебании U0 (t) во времени с целью несколько упростить анализ. Однако для получения сопоставимых результатов

Ri(t)=Uy(i), Rz{t) = Ui[t),

Согласно (12) характер когерентной обработки в одном из каналов (третьем) зависит от отношения сигнал/помеха. Вид огибающих 7? (I) показан на рис. 2.2.9 при условии, что Ау = 4 0 — 0,5. Построение проведено для двух крайних слу­ чаев Эср2 » N и 3 СР2 ■€ N0.

Рис. 2.2.9. Схематическое изображение решающих функций в случае разложе­ ния ожидаемого сигнала по неортогональным колебаниям.

Качественные показатели обнаружения — условные вероятности F и D вычисляются в соответствии с формулами [(25), (26), § 2.2.6]. Предварительно по формулам (11), (12) должны быть вычислены зна­ чения Сіу (t) и /?ѵ (t), а по формулам [(14), (18), § 2.2.6] — величины

Qv и рѵ.

На рис. 2.2.10 построена кривая обнаружения D (q) при F = ІО-6 (сплошная кривая) применительно к обнаружению прямоугольного радиоимпульса, искажаемого флюктуациями, когда время корреля­ ции флюктуаций близко к его длительности ти = Т (кривая 1, рис. 2.2.6). Кривая справедлива при любом из рассмотренных методов оптимизации: с ортогонализацией и без ортогоиализации независимых флюктуаций составляющих сигнала. В обоих случаях обработка ока­ зывается оптимальной [154].

В целях сравнения на рис. 2.2.10 штрих-пунктиром нанесена кри­

вая обнаружения

1 £) _ р {А-Ч%кй!2_