Условные вероятности правильного обнаружения и ложной трево ги будут
со со
D = ^ Ф2П |
W |
Е = |
5 фап ( — |
) Ф ~ ' |
(17) |
Но |
^ Р о п ' |
|
|
Ho |
V Рп / |
|
|
Здесь рсп и Рп —- дисперсии релеевских величин, |
соответственно при |
наличии сигнала и помехи или одной помехи; |
р0 — порог. |
Если спектр флюктуаций 5 (/) прямоугольный, их полоса частот |
равна П, а длительность |
сигнала |
Т, |
то |
при |
я > |
1 |
в |
соответствии |
с теоремой Котельникова величина |
2я = 77(1/2/7), |
откуда |
|
я = |
ТП. |
|
|
|
|
(18) |
Для помехи в виде белого шума в соответствии с 1(18), § 2.2.6] и по аналогии с [(9), (10), § 2.2.7] имеем
Рсп/Рп = |
1 + 0,5 д2/п, |
(19) |
где q = У 23 cp/N0 — параметр |
обнаружения сигнала |
длительности |
Т без флюктуационных искажений. |
|
Если величина я д о с т а т о ч н о в е л и к а , то |
характеристи |
ческая функция ф (Я) быстро убывает с увеличением Я. Поэтому наибо лее существенна ее аппроксимация в области малых значений Я, а для этого можно воспользоваться первыми членами разложения функции 1пф(Я) в ряд Тейлора
In ф(Я) = —я ln (1 -f /рЯ) = —я
где|Ѳ|г$7 1. При этом согласно (15)
со
р(р.)= ^ е/(Ц-лр)?„ е -лр"-Х=/2е/н0р3?Л/3^.
Для наиболее вероятных значений р, ä ; яр имеем р « p/я, так что пока затель степени третьего сомножителя изменяется обратно пропорцио нально я2. Это позволяет (в согласии с законом больших чисел) прийти к нормальному закону
со
р (Р )= (j e-/(K -ripU е-пр-”Х-72^ =
-----ОО
= (1/ У Ш p ) e - ^ ~ 'lp)'-/2np\
При этом
F = 0,5 [l-f-Ф (х0 -(- У я )],
П = 0 , 5 [ Ц - Ф ( х о У р п / р с п + 1 / я ) ] ,
где х0 = р,,/]/ярп — параметр, выбираемый соответственно заданно му уровню ложной тревоги, а Ф (х) — интеграл вероятности [(48 а),
§ 1.1.31.
§2.2.9. ПРИМЕР РАЗРЕШЕНИЯ ПАЧЕК ПЕРЕКРЫВАЮЩИХСЯ НЕЗАВИСИМО ФЛЮКТУИРУЮЩИХ РАДИОИМПУЛЬСОВ
ПО ВРЕМЕННОМУ ПОЛОЖЕНИЮ
Пусть пачка, состоящая из п = 2 одинаковых независимо флюк туирующих когерентных радиоимпульсов, должна быть обнаружена на фоне белого шума п аналогичной пачки, сдвинутой относительно первой на тп/4 (рпс. 2.2.12). Тем самым постановка задачи § 1.2.2 расширяется на случай независимых флюктуаций элементов сигнала.
Алгоритм оптимального обнаружения в данном случае |
найдем из |
[(13), § 2.2.6], |
полагая число независимо флюктуирующих мешающих |
сигналов т = |
2, а суммарное число полезных и мешающих сигналов |
|
|
|
|
//г + я = 4. |
Среднюю энергию мешаю |
|
Мешающие |
щих сигналов считаем много большей |
|
|
|
|
спектральной плотности шума. Итак, |
|
|
|
|
полезными являются сигналы U3(i) = |
|
|
|
|
= |
и 0 (/), |
и 4 (I) = |
Uo(t— T), |
мешаю |
|
|
|
|
щими — сигналы |
{/, (/) = |
CU0\t -|- |
|
|
|
|
+ |
т„/4], |
U, (I) = СU0 [t - |
Т + |
т„/4]. |
|
|
|
|
Используя [(31), § 1.1.3], по аналогии |
|
|
|
|
с |
§ 1.1.2 |
последовательно |
|
получим |
|
|
|
|
|
R\ (t) = CU0[t + ^,/4], |
|
г=о |
|
|
|
|
— с U0[t— т + ти/^] |
|
Рпс. |
2.2.12. |
Пояснение разреше |
н далее при С > |
1 |
|
|
|
ния |
пачек |
с перекрывающимися |
|
R 3(0 = |
U0 (/) —0,75 £70 [t -f-Tn/4], |
независимо |
|
флюктуирующими |
|
|
радиоимпульсами. |
|
|
|
|
|
|
( 1) |
|
|
|
|
R 4(t)— U0(i—T)—0, l5U0 [t |
T |
|
|
|
|
4]. |
Сопоставляя выражение (1) с аналогичными выражениями § 1.1.2, убеждаемся, что обработка каждого из радиоимпульсов пачки такая же, как если бы он разрешался (§ 1.1.3) в отсутствие других радиоим пульсов этой пачки. Последнее связано с ортогональностью произволь ного радиоимпульса полезной пачки: 1) любому другому радиоим пульсу этой пачки; 2) радиоимпульсу мешающей пачки частично пе рекрывающемуся с любым из полезных, кроме рассматриваемого.
Когерентно обработанные радиоимпульсы пачки подвергаются весовому квадратичному суммированию в соответствии с [(13), § 2.2.6], откуда
j' |
U (t) R% (t) dt |
U4 (t) Ri {t) dt |
2 N QI n Іі /2 = - |
|
|
No+ |
"f U3(t ) Rt (t) dt |
N0 + J Ui (t ) Ri ф dt |
Если средние энергии мешающих радиоимпульсов значительно пре восходят спектральную плотность шума N a, коэффициент использо-
ваиия энергии полезных импульсов определяется лишь перекрытием с мешающими. Если бы каждый из полезных импульсов пачки разре шался (с учетом этого перекрытия) независимо от другого, значение
коэффициента использования энергии, как и в § 1.2.2, |
было бы k = |
= 1 — (3/4)2 |
0,44. Эта же величина характеризует |
коэффициент |
использования энергии рассматриваемой пачки радиоимпульсов после квадратичного накопления.
§2.2.10. ПРИМЕР РАЗРЕШЕНИЯ ШУМОВЫХ ПРОЦЕССОВ
СНЕОДИНАКОВЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ МОЩНОСТИ ПО СПЕКТРУ
ЧАСТОТ
Пусть требуется на фоне белого гауссова шума со спектральной плотностью Na II мешающего гауссова шумового процесса со спектральной плотностью Sj (f) установить наличие или отсутствие полезного гауссова шумового процесса со спектральной плотностью S2 (/). Решение принимается по реализации прини маемого колебания, заданной на интервале времени Т, значительно превышаю щем величину, обратную полосе частот полезного колебания.
Учитывая стационарность процессов, представим автокорреляционные функ ции суммарных колебаний (помехи и сигнала совместно с помехой) в виде
Фп«. s)= |
I |
Snt/leWf'-Od/, |
|
-----СО |
|
|
|
( 1) |
|
с о |
|
Фсп(*. s)= |
J |
Scn(F) е/2л^й —s) df |
|
-----СО |
|
S„(n = M0 + S1(/); |
■Sen (f) = (/) “Г (f ) ■ |
Пользуясь (1), из интегрального уравнения [(23), §2.2.4] или [(7), §2.2.5] находим решающую функцию оптимальной обработки принимаемых колебаний L (t, s), пренебрегая ограниченной протяженностью интервала Т. Интегральное уравнение принимает вид
Я П s cn ([О 5п (ѵ) е |
'2л |
т)+ѵ(Ѳ |
s)] L (т, 0) du dv dxdQ = |
= |
J |
52 (p) е;2я-и |
dp. |
(3) |
|
-----CO |
|
|
|
Умножим обе части равенства (3) на функцию е~ |
Fs\ проинтегрируем каж |
дую из этих частей равенства по t в бесконечных пределах (что приведет к появ лению дельта-функций), затем по р (воспользуемся при этом фильтрующим свой
ством этих функций). Аналогичное интегрирование проведем по s и ѵ. |
Тогда по |
лучим |
|
СО |
|
ScnU)Sa (F) J L ^ , Q ) e ~ i 2n^ - m U rdQ = S„(f)5(F - f) . |
(4) |
---- СО |
|
Обе части полученного равенства (-1) умножим па дробь е'2л(^ —Fs)/50n(/)Sn(F) и проинтегрируем по f и F в бесконечных пределах. При этом найдем
|
L(t, |
s) = |
' |
^2 (fl |
е'2nf |
(5) |
|
^ Scii(f)Sn(f) |
|
|
|
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
Вводя, как II в § 2.2.8, |
функцию |
|
|
|
Sz(f) - |
е/2л^тdr, |
( 6) |
■Sen (f) Sri (/) |
|
выражение для L (t, s) приводим к виду
СО |
|
L(t, s) — J ц* (к —t) 11 (к — s) dl. |
(7) |
— СО
Используя выражение f(18), §2.2.4] или [(9), §2.2.5], окончательно нахо дим логарифм отношения правдоподобия
|
In / = |
тj/ 2 |
(Л,) I2 rfA, const. |
(8) |
|
|
—г /2 |
|
|
|
где і/ (X) — комплексная амплитуда |
напряжения, прошедшего через фильтр |
|
с амплитудно-частотной характеристикой |
|
|
$ 2 і ! ) __ _ |
1 / |
__________ ; $ 2 (/)__________ |
(9) |
|
Sca(f)Sa (f) |
~ |
V |
[No + S ^ n U N o + S L t n + S z i m |
|
|
Согласно (8) это напряжение подлежит квадратичному детектированию с после дующим накоплением за время Т.
Если спектральная плотность мешающих колебаний Sj (/) -> 0, выражение
(9) не отличается от [(14), §2.2.8]. Если, наоборот, эта спектральная плотность весьма интенсивна на отдельных участках спектра, то согласно (9) целесообразно образовать провалы частотной характеристики на таких участках. Условие оп тимизации обнаружения стохастического сигнала в присутствии небелого шума
(9)перекликается в этом отношении с аналогичным условием оптимизации [(26),
§1.2.2] для когерентного сигнала.
§2.2.11. ОБЩИЕ АЛГОРИТМЫ И ПРИМЕРЫ РАЗРЕШЕНИЯ ГАУССОВЫХ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫХ СИГНАЛОВ ДЛЯ СПЛОШНЫХ РАСКРЫВОВ, АНТЕННЫХ РЕШЕТОК ИЛИ АНТЕННЫХ СИСТЕМ
Начнем со |
с п л о ш н о г о |
л и н е й н о г о |
р а с к р ы в а |
—//2 <С X <. U2. |
Аналогично с §2.2.5 введем выборку значений £/г = |
= U {tu X;) AtАх. Каждое из значений Ui представляет собой произведе ние комплексной амплитуды U (tt, x t), отсчитываемой для і-й комбина ции момента времени и точки съема напряжения, на интервалы дискре
тизации Аt и Ах по времени и раскрыву. |
|
|
Используя |
[(1)—(5), |
§ 2.2.51, устремим интервалы дискретизации |
At —>- 0, Ал; - у |
0. Вводя |
р е ш а ю щ у ю |
ф у и к ц и ю |
|
|
А(т, г], |
Ф, £ )= |
lim |
Lih |
(1) |
|
|
|
<г т,^г— |
|
|
