и используя |
[(5), § |
2.2.5], |
|
приходим |
|
к и н т е г р а л ь н о |
м у |
у р а в и е и и ю |
для решающей функции |
|
|
|
|
|
7у 2 |
1/2 |
|
Т / 2 |
1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
j СІТ |
5 |
СІЦ |
j |
5 |
Ф сп(*> X > Х ’ |
V ) L (X . |
'4' |
fl. |
C lX |
|
—772 |
—1/2 |
|
— T/2 |
—I/2 |
|
|
|
|
|
|
|
ХФП(А, {, s, |
|
|
X, |
s, |
1)— Фп ({, |
X, |
s, l ) . |
(2) |
Л о г а р и ф м |
о т н о ш е н и я |
п р а в д о п о д о б и я |
[(2), |
§ 2.2.5] принимает |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т/2 |
|
1/2 |
T/2 |
|
1/2 |
|
|
|
|
|
ln I = --- ^ |
dt |
^ dx |
ds |
^ u*(t, |
x) X |
|
|
|
|
|
—T/2 |
—1/2 |
—T/2 |
—1/2 |
|
|
|
|
|
|
X L (t, |
X, |
s, |
£,)U(s, |
£,) dt, —C. |
|
|
|
( 3 ) |
Здесь U (t, x) — комплексная амплитуда реализации принимаемых колебаний, С — постоянная, не зависящая от принимаемой реализа ции. По аналогии с [(11), § 2.2.4]
|
|
|
T/2 |
1/2 |
|
|
= |
К І ~ |
$ dt |
I L (t, X, t, x\A)dx, |
(4 ) |
|
|
0 |
—T/2 |
—1/2 |
|
где L (/, X , t , |
x\A ) — решение интегрального уравнения (2), вычислен |
ное при т = |
й = |
1,і] = |
^ = х и |
дополнительном условии, |
что в кор |
реляционные функции сигнала и небелой части помехи введен мно житель А .
Формулы для сплошного поверхностного раскрыва аналогичны при
веденным (2), (3). Величины х, г), | в (2), (3) |
следует при этом рас |
сматривать как векторы, дифференциалы dp, |
— как элементы по |
верхности раскрыва; пределы интегрирования соответственно изме няются.
Для а н т е н н о й р е ш е т к и (или антенной системы произ вольного вида из М элементов) можно аналогично написать с и с т е м у и н т е г р а л ь н ы х у р а в н е н и й :
М |
Т/2 |
Т/2 |
2 |
$ dx |
5 Фспіх(*; t)L xx(t, Ѳ) X |
иД=І |
—Т/2 |
—Т/2 |
хФпяДѲ, s)d0 = ®cniÄ(*f s)— <baik[t, s)
|
(7, |
£ = |
1 ,..., M), |
|
|
( 5 ) |
определяющую |
р е ш а ю щ и е |
ф у н к ц и и |
LK%(т, 0). |
При этом |
л о г а р и ф м , |
о т н о ш е н и я |
п р а в д о п о д о б и я |
будет |
|
|
м |
Т/2 |
Т/2 |
|
|
|
|
1 п /= т |
2 |
$ |
—Т/2 |
m |
) x |
|
|
ИД=І—Г/2 |
|
|
|
|
x L x x (t, |
s) Ux(s)ds— C. |
|
(6) |
Здесь UH(/), Ux (s) — комплексные амплитуды реализаций прини маемых колебаний на элементах антенной системы (решетки), а
м \ т/ 2
|
с=ЛА° 2 |
$ т |
$ Lu(Si s{A)ds• |
(7) |
|
Х= 10 |
—Т/2 |
|
Функции |
(t, s| А) находятся |
из системы уравнений вида (5) при |
дополнительном условии, |
что |
коррреляцноииые функции |
сигнала |
и небелой части помехи умножаются на А.
Приведенные соотношения являются достаточно общими и при менимы как для некогерентных, так и для когерентных гауссовых сигналов. Когерентностьили некогереитность может быть при этом как
временной, так |
н пространственной, как |
полной, так и частичной. |
В качестве |
п е р в о г о п р и м е р а |
рассмотрим случай обнару |
жения пространственно-когерентных (т. е. имеющих жесткую прост ранственную структуру) колебаний в виде плоской волны. Сами коле бания будем считать шумовыми (т. е. полностью некогерентными по времени) с равномерной спектральной плотностью мощности N а в ко нечной полосе частот Я. Колебания принимаются антенной решеткой на фоне независимых белых шумов ее элементов (і = 1, .... М) со спектральной плотностью мощности N0. Длина решетки I много мень ше протяженности элемента разрешения по дальности с/Я, т. е. справедливо условие ПЦс <К 1. Угловая координата источника сиг нала Ѳс, как и на рис. 2.1.4, отсчитывается от линии раскрыва про тив часовой стрелки. Вводя символ Кронекера бг„, получаем
|
ФпіьСг. s) = N0öih8(x — s), |
|
|
|
(8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
. 2nl |
i —k |
n |
|
|
|
|
|
s i n |
[ я Я ( т — |
s)] |
— I ---------------cos 0„ |
|
ФспщСв 5) = Фпщ(И s) + N |
V |
Xo M—1 |
L |
(9) |
|
|
|
|
|
я ( т — s) |
|
|
|
|
|
|
Подставим (8) |
и (9) |
в (5), полагая 777 |
» |
1 |
и |
|
|
|
|
I |
(х |
щ= 33iflSm [яЯ (T~ s^ |
|
|
|
|
|
ih{ ’ |
' |
N0 я (т—s) |
|
|
|
|
|
Переменную суммирования |
здесь |
и далее обозначаем |
произвольно. |
Тогда получим |
|
|
М |
|
, 2я/ l - m►r л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Na£ ih + N c |
2 |
X mhe |
|
• C O S O p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
iVc e |
-J. 2я / i —k cos Op |
|
|
|
M). |
|
(10) |
|
л' - |
! |
(/, k = l , ..., |
|
Система (10) удовлетворяется решением вида. |
|
|
|
|
|
|
|
. 2яI i— k |
n |
|
|
|
|
|
|
|
= |
— у -------------- cos Op |
|
|
|
|
|
|
|
p |
ho |
M— I |
c |
|
|
|
|
|
|
|
-- ^00 U |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя это решение в (10), получаем выражение для коэффициен та £ ю:
. £ 00(лг0 + м л д = лгс,
так что окончательно
|
|
N с |
|
sin [ п П ( і - в ) \ n |
. 2л/ і — к |
cos 0„ |
L ih{t, s) = |
|
Л/_ , |
|
|
я (t—s) |
|
|
( И ) |
|
(IVoH-AflVc) |
|
|
Пользуясь |
соотношением |
|
|
|
|
|
|
S IП |
Я Л ' |
|
sin [n (x —y)] |
sin Щ dy, |
(12) |
|
ZIX |
|
n (x —y) |
my |
|
приводим |
выражение |
(6) |
для |
логарифма |
отношения |
правдоподобия |
к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Nr. |
Т/ 2 |
|
|
|
|
1п / = - |
|
Uzn(t) I2 dt —С, |
(13) |
|
|
|
|
2N0(N0 + MN0) |
|
|
|
где |
|
|
|
- т і 2 |
|
|
|
|
Ü M t) = |
S |
Us (s)s---lnn(^ |
-lds, |
(14) |
а |
|
|
Л/ |
j 2Я/ |
|
|
|
|
Us (t)= |
cos 0o |
(15) |
|
2 |
Uh(t)e Ъ M' |
1 |
|
Выражения (13)—(15) |
соответствуют |
|
выполнению следующих |
операций: |
|
|
|
|
|
|
|
1)когерентное суммирование (15) принимаемых элементами решет ки колебаний с учетом имеющих место разностей фаз из-за разностей хода (антенная обработка);
2)полосовая фильтрация полезных шумовых колебаний в преде лах заданной полосы частот П (обработка в приемнике, например на промежуточной частоте);
3)квадратичное детектирование и некогерентное (последетекторное) накопление.
Порядок выполнения операций 1,2 когерентной обработки можно заменить на обратный.
Если полосовая фильтрация производится до суммирования, вве дем выходное напряжение фильтра, следующего за k-u элементом ан тенны,
Ukn (t) |
\ Uh{s) |
(16) |
|
-со |
" ( i s ) |
Логарифм отношения правдоподобия (13) приводится к виду
|
|
м |
. 2 л / і — к |
|
1п |
А'с |
у , |
I---------- cos Ѳс |
|
Ä.QМ ~~ 1 |
X |
" 2N0 (Na + MNC) |
|
|
|
|
, *= 1 |
|
|
|
со |
|
|
|
X |
I |
U*n(t) Ukn (/) d t—C. |
(17) |
Соответствующая ему обработка может быть сведена к весовому ко
герентному |
с у м м и р о в а II II ю |
к о р р е л я ц и о н и ы х м о- |
м е н т о в |
напряжений на выходе |
полосовых фильтров, взятых во |
всевозможных их парных сочетаниях.
Постоянная С определяется из соотношения (7). В него подставля
ется величина Lih (t, s| А), |
определяемая из (11) после замены N a на |
A N с. Тогда получим |
|
С = |
ln (1 + M N C/N 0). |
Кратко остановимся на вариантах больших широкополосных или разнесенных приемных систем, когда условие ПИс С 1 не соблюда ется. Вводя разность временных запаздываний до і-й и k-ü точек прие ма Xjk, получаем вместо (9) и (17)
4 W 4 , s) = 4 W * . Q + N . f W ' — * » * - " « - ' , |
|
|
Я ( т — S — T/ ft ) |
|
M |
|
ln h |
Nc |
U*n {t—xih) (Jkn(t) d t —C. (18) |
2N0 (Na +MNC) f2* e - ,2nf*T'Ä J |
Алгоритм (18) в отличие от (17) предусматривает учет взаимных запаз дываний комплексных амплитуд ожидаемых полезных колебаний. Его можно привести и к виду (13), (14), полагая
м
#2 = Д Uh( t ^ T h) e - i2jzUrk.
Остановимся еще на одном возможном видоизменении условий пер вого примера, полагая при этом Я //с <£ 1. Пусть ожидаемый сигнал наряду с пространственной характеризуется также и временной коге рентностью, так что второе слагаемое правой части равенства (9) заменяется на
. 2 я |
• cos 0„ |
Uс (t) Ot (s) е l i M — I |
где Uс (Г) — комплексная амплитуда. Тогда сохраняется пространст венная обработка (15), а временная (14) заменяется вычислением мо дульного значения корреляционного интеграла
|
Z = 2 5 £/v (s) Uc (s) ds |
|
— со |
(см. также |
§ 2.1.4 при m = 1). |
На этом |
закончим рассмотрение алгоритмов обнаружения прост |
ранственно-когерентного полезного сигнала (в отсутствие мешающих) для случаев его полной временной некогерентности или когерентно сти.
Во в т о р о м п р и м е р е учтем частичную пространственную
некогерентность ожидаемого сигнала |
(его м у л ь т и п л и к а т и в- |
н ы е п р о с т р а н с т в е н н ы е |
и с к а ж е н и я) при полной |
временной когерентности. Причиной искажений могут быть неточности изготовления антенны, особенности распространения и излучения ко лебаний [140]. Искажения характеризуются некоторой случайной комплексной функцией А (Е) распределения поля по раскрыву. Ста тистика реальной и мнимой частей этой функции считается нормаль
ной, математическое ожидание — равным |
нулю. Используя |
далее |
(2), полагаем раскрыв линейным, |
|
|
Ф п ( 0 , £, s, E) = N 0 6 ( G - s ) 8 ( £ - E ) , |
|
ФСП(А, Е, s, £) = ФП(0, Е, S, |
£ )+ |
(19) |
+ Uc (0) СП(s) Ф а (Е, Юе ~ ,2я (С~ Е)cos ѳ<=д °. |
|
где Фл (Е, Е) — М [А (Е) Н*(Е)]/2—функция корреляции распределения поля вдоль раскрыва ((Е | < //2, j Е | < //2).
Эту функцию зададим по аналогии с [(1), § 2.2.7]
|
|
Фд (£, |
Ю— А0-f y4j cos |
( S - g ) |
(20 |
и преобразуем к виду |
|
|
|
|
|
|
Фд(£, |
І) = ѵ1ф1 (9 Ф х (ё )+ ѵ 2ф2( Е ) ^ ( Ю + ѵ 3Ф з (0 ^ Ш - |
(21) |
В последнем |
выражении |
(Е), |
(Е), |
ф3 (Е)— взаимоортогональные |
на отрезке |Е| <; //2 собственные функции, |
а ѵ2, ѵ2, ѵ3 — соответст |
вующие |
им собственные |
числа |
линейного интегрального уравнения |
с ядром Фа (9 Е). Все эти функции и числа |
можно найти для произ |
вольного соотношения |
коэффициентов |
А 0 |
и А г согласно методике |
§ 2.2.7. |
Если А 0 = А г = 0,5, |
то они определяются 1(7), § 2.2.7] |
после |
замены t |
на |
Е> X на ѵ и Т на |
/. |
|
|
|
|
Применительно к условиям (19)—(21) решение интегрального урав нения (2) имеет вид
ь(х, 11, а, 9 = [Я1(л )Я !(9+/? г0 і ) Я Ш +
+ R 3h ) R t m U c ( i ) U U 4 |
( 22) |
