Файл: Христиансен, Г. Б.pdf

Первое предположение достаточно близко к

действительности,

а третье — означает, что мы рассматриваем я.-а.

частицы, иониза­

шении,

что

согласно

эксперименту ХпФХа.

Однако

это

предпо­

ложение

значительно

упрощает

необходимый

математический

формализм.

х

Будем

измерять

толщину

слоя

атмосферы

в

единицах

А, = 80 г/см2,

т. е.

в

единицах

ядерного

пробега.

Обозначим

число

заряженных

пионов

с

энергией

Е

на

глубинах х

через

я(Е,

х).

Число

пионов

я ( £ , х)

изменяется

при

увеличении

глубины

на

Ах

за

счет следующих

процес­

действие

переводит

пионы

в

другой

энергетический

интервал

(число таких

пионов — п(Е,

х)

Ах);

2) я-*-р

распада

пионов (чис-

ло

таких

пионов1 1 1

я(Е,

х)

fax);

3)

рождения

новых

пионов

энергией Е

Ех

Е'>Е

с

при

взаимодействии

нуклонов с энергиями

Е0

(число

таких

пионов

есть

J

N(Е',

x)WNn(E',E)dE'Ax,

где

N(E',

x)dE'

— число нуклонов

Е'=Е

E' + dE'

на глубине

х,

с энергией Е',

и WN„.(£',

Е)

— число пионов

с энергией

Е,

рождаемых

нуклоном

с энергией

Е')\

4)

рождения

новых

пионов с энергией

Е пионами

Р

max

с

энергией

Е'>Е

(число

таких

пионов

есть

j

(лЕ'г

x)Wnn(E',

E)dE',

где Wnn{E',

Е)

Е'=Е

Е,

—число

пионов с

энергией

рождае­

мых

пионом

с

энергией

Е',

и Етах—максимально

возможная

энергия

пионов

в ш. а. л. от

первичной

частицы с

энергией

Е0).

к

Таким

образом,

уравнение

для

числа

пионов,

если

перейти

1

1

1

_

.

АхХ

АхКтлс2

Вероятность

распада пиона

на

пути Их

есть

пределу Ах->0, имеет

вид

cx0yd

dcxQE

dx X

хХ

dh

h0

Отсюда вероятность

распада

Ад:

В

где

„

=

тлс2к0

, — ,

В

Е

СХ„

д л ( Е ' х ) = — я ( £ , х)

— я (Е,

х) + ( N(E', x)WNn{E',

E)dE' -!-

дх

Ex

J,=E

P

шах

+ j

я ( £ ' ,

£ ) d £ ' .

(5.2.1)

Для нулевого поколения, представленного одним

первичным

нуклоном, мы

можем

написать

N0(E,

х) =е~х[8(Е—Е0)].

Очевид­

но,

что ло(Е,

х)

= 0. Для первого

поколения

мы поэтому

получаем

уравнение

длАЕ,

х) = _ я

( £ > х

)

*

( £ >

д )

+

f

е~*Ь(Е'-Е0)х

дх

Ex

„J

xWNjl(E',

Е)

dE',

Е'=Е

или

дщ(Е,

х)

л +

+ e - x W

,

Е).

=

J 3 N

( £

>

x )

{

Е о

дх

\

Ex J

(5.2.2)

Уравнение

вида

У' +У

Мх)

+ Ш

= 0

имеет, как известно, решение у

= e~$fidx

[с—§ f2e^fldx

dx].

Полагая

fx =

1 ~>Г~Е~]

и

f* ==~e~xW"n(E<>'

Е)>

получим

Я1(Е,

x) = e-'x-B'*\c

L

+

Wm(E0,

Е)

**'Е+\

1)

] .

(5.2.3)

(В/Е +

J

Так

как

при х-*0

я х ( £ , х)->-0,

то

С

равно

нулю.

Отсюда

/с

\

=

г

WN„(E0,

Е)

.

(5.2.3')

л1(Е,х)

е-хх

нов, то остается один лидирующий нуклон и N{(E,

х),

очевидно,

равно e-*xf(l—Е/Е0),

где /(1—Е/Е0 )

= f(k)

(f{k)

—распределение

коэффициентов

неупругости).

Подставляя

выражения

для

ni(E,

х) и N\(E,

х)

в уравнение

для

я(Е,

х),

получим

уравнение

для

второго поколения

пионов, т. е. для яг( £ ,

х).

Продолжая эту процедуру до j-того поколения, получим сле­

дующее выражение

для

Я.(Е,

x)

=

^^Ff(E),

(5.2.4)

1!

причем

для F? (Е) получается

рекуррентная

формула

[242]

F?W =

1 + / в > 1 I

f

Я-1

^ w

™ ^ d

E

' +

для

Лг{Е, х):

\

-

'Чт)т

Е,

j "

Fti(E')WNa{E',

Е)

dE'

(5.2.5)

Обращает на себя внимание следующая

особенность

формулы

первый

сомножитель

представляет

собой

просто

вероятность по

Пуассону

испытать

i столкновений

при

среднем

числе

столкновений

х.

Эта

особенность

представляется

естест­

венной

в рамках нашего

предположения

о равенстве

Хя

= 1кп='к-

Действительно,

с р е д н е е

число

частиц f-того поколения

на

глу­

стицы возникли как результат f-того

по «старшинству»

элемен­

тарного

акта,

считая от

первичного

взаимодействия. То, что в

каждом

акте

рождается много частиц данного поколения и, та­

ким образом,

возникает

определенная корреляция в

поведении

чете

флуктуации,

а не среднего значения я* (Е,

х).

В

выражении

F* (Е)

множитель

учитывает

В

1

Е

i

роль

распадных

процессов,

которые приводят к более жесткому