Файл: Хачатурян, А. Г. Теория фазовых превращений и структура твердых растворов.pdf

следующим

из определения

случайной величины

ca(R)- Е сли

R ф 0, то,

по определению,

среднее <c a( R ) c a (0)>

есть вероят­

А в

узле R' =

0 и в узле R. Величина этой вероятности равна

произведению

вероятности

са

попадания атома А

в

узел R'

и

условной вероятности п (АR| АО)

попадания

атома

А

в узел

R

при

условии,

что в

узле

R'

=

0 с достоверностью находится

атом А :

<сА (R ) с а (0)> — сА п (AR | Ж)).

(16.9)

Подставляя

(16.9)

в (16.7),

получим:

Ca п (4R I 40) — ei при

R ф 0,

(16.10)

са (1 — сА)

при

R = 0.

a(R) =

в ( R )

(16.11)

са (! -

са )

писать

в форме

п (^R 140)

при

R ^

о,

св

а (R ) =

св

(16.12)

1

при

R =

0,

где св

= 1 — са — атомная

доля компонента В.

Так как

п (4R

I 40)

+ п (£R I 40)

= 1

(16.13)

и(ВК| 40)

при

R Ф 0,

св

а (R ) =

при

( 1 6 4 4 )

1

R = 0.

< I *а (к) |2> = 2

2 е~іш" в т = Ne (к),

(1645)

R

Н'

где

R" = R — R',

8 (к) = 2 е (R*) e~ikR’.

(16.16)

R"

6 А. Г. Хачатурян

161

I(q) = N \ f A - f B\4(k).

(16.17)

ношением

(16.11),

связывающим

параметры корреляции е (R)

и параметры ближнего

порядка

а (R).

В

результате

получим:

/ (q) = N I / а -

/в I2 ед (1 -

сА) 2 а (R) е-«*.

(16.18)

R

Так как а (0) = 1, то, выделяя из (16.18) слагаемое с R = 0,

перепишем

(16.18)

в окончательной

форме:

/ (q) = N I / а -

/ в I2 са (1 - СА) Гі +

2

а ( R ) «г«*] .

(16.19)

L

RyiO

J

условные

вероятности лг (^4 R | ^40) обнаружить атом

сорта А

в узле R, если в узле R' = 0

с достоверностью находится также

атом сорта

А. Вероятность лг

(^4R |^40), по существу,

представ­

сорта А во Енешнем поле, создаваемом атомом сорта А, находя­

щимся с достоверностью в узле решетки R' =

0. Поэтому для вы­

числения условной вероятности лг (^4 R | ^40)

можно воспользо­

число заполнения узла

R' = 0

задано: н (Л 0|Л 0) = 1 .

Тогда

имеем:

/г(Л R I Л0) = {ехр [ _ _ | Г + І 1 М +

+ 2

-F V

r) п (AW I Л0)] + 1}"1.

(16.20)

И'тЧ)

cA,

t . e.

при

R

oo

п(ЛИ| Л0) —> ca-

Таким образом, при R

oo уравнение (1(5.20)

переходит в урав­

нение

СА = [ехр ( _ - ^

+ т . СА] +

і

(16.21)

где при R —►оо

F (0) =

2

F (R — R') —>2

F (R")-

(16.22)

Л'ФО

R"

Из (16.21)

следует,

что

-іѵ. і =

exp { - Ш

. ел}.

(16.23)

Подставляя

(16.23)

в

(16.20), получим:

п ( ^ R И 0 ) =

ех р

+

+

2 '

-1

(16.24)

R'?4>

’

Величину F(0) в (16.22) при произвольных R можно представить

в

виде

F (0) = 2

^ ( R

- R ') = ^ (K )+

2 ’f (r

-

r ')-

(16-25)

R'

RVO

Подставляя

(16.25) в (16.24),

получим:

n (HR I 40) =

I

exP

(1 — Ca) +

+ S'

?(Rx~R)-

<лк'I*4°)-

J

+ii~1•

(16-26)

R '«

’

Нелинейное уравнение (16.26) позволяет определить условную

вероятность

п (4R

| 40)

для

любого

узла

R

и,

следовательно,

Умножая правую

и левую

части

уравнения

(16.27) на

ехр (—ikR) и учитывая, что

V (0) = 0,

произведем суммирование

по R по всем узлам решетки

Изинга,

кроме нулевого. В резуль­

тате получим выражение

Ѵ(к)

-

са (! -

(1 -

са )(А -

В

ca )2—$t L +

(16.29)

ЬпАА(к) =

1 + са (1 — са) V (к)/хТ

где

ЬпАА (к) = 2

' ön

I Л0) e"ikR>

(16.30)

Rt4)

V (к) = 2 ^ ( R ) e _ikR.

1 _

1

V

1

(16.31)

ДГ “

~N А l + c A( i - c A)V(k) jv.T '

R

N — число узлов в

решетке

Изинга.

Из определения (16.10)

следует, что

I cAbn (4 R I Л0)

при

R =f=0,

(16.32)

1 сА (1 — сд)

при

R = 0.

В результате получим:

I (q) =

N\ / а — /в Р t + Сл(1 _ Са) у (к)/хГ •

(16.35)

Формула

(16.35)

была

впервые получена М. А. Кривоглазом

[19] и затем в работе Клэппа и Мосса [97].

Dx ж 1, то

Так как

с точностью

до нескольких процентов

интенсивностью

диффузного

рассеяния

в точке обратного

пространства,

расположен­

ной

на

расстоянии

(1/2я)к

от ближайшего

к

ней

узла

обратной решетки,

и

фурье-

компонентой V (к) энергии

смешения.

Это вызывает

осо

бый интерес в связи со сле­

дующим

обстоятельством.-

Как было показано

в §

10, в

Рис. 33. Зависимость параметра ближ­

приближении

самосогласо­

него порядка

a(R),

отвечающего бли­

ванного поля термодинамика

жайшим соседям

в ГЦК

решетке,

от

неидеального

твердого

рас­

температуры;

Тс — температура фазо­

вого перехода.

Сплошные

линии — за­

твора полностью определяет­

висимости, полученные с помощью фор­

ся несколькими энергетичес­

мулы (16.34)

для случаев

w jw x =

0

кими параметрами. Этими па­

(взаимодействие

ближайших

соседей)

раметрами

являются

фурье-

и w jw i =

— 0,25 (взаимодействие бли­

жайших и следующих за ближайшими

компоненты V (ks),

отвечаю­

соседей). Крестиками отмечены значе­

щие

волновым

векторам

ния,

полученные

методом

Монте-Кар­

звезд, определяющих упоря­

ло

для

w2/wi — 0,

кружками — для

доченные распределения ато­

w jw i =

— 0,25 [98]. Величины ші и ш2

— энергии смешения

соответственно

в

мов (10.9) (иными словами,

первой

и

второй

координационной

фурье-компоненты V (к), взя­

сфере.

тые

в

кристаллографически

в которых при

неэквивалентных точках обратного пространства,

упорядочении

появляются сверхструктурные

отражения).

Интересно

отметить,

что,

несмотря на существенные

упроще­