Файл: Уриг, Р. Статистические методы в физике ядерных реакторов.pdf

Микроскопические методы шумов. Изучение шумов в реактор­ ных системах может вестись либо на микроскопическом, либо на мак­ роскопическом уровне. На микроскопическом уровне детектируются индивидуальные цепочки, которые образуются в ядерном реакторе, и изучение проводится с помощью статистических методов. Ранние теоретические работы в этой области, выполненные Фейнманом [1,2], Ферми [2] и Хофманом [1 — 4 в Лос-Аламосе в 1947 г., привели к экспериментам росси-альфа на быстрой критической сборке, описанным позже Орндоффом [5 . Другие микроскопические методы были развиты Фейнманом [1, 2], Могильнером и Золотухи­ ным [6], Беннетом [7], Палом [8, 9], Пачилио [10] и др. [11— 14].

Некоторые из этих методов используют отклонение статистического распределения от пуассоновского, другие непосредственно свя­ заны с определением вероятности детектируемого события. Во всех случаях существо математической обработки зависит от типа эк­ спериментального оборудования и от того, какое событие, приводя­ щее к утечке нейтронов из системы, детектируется.

Макроскопические измерения шумов. Макроскопический подход к измерению реакторных шумов был предложен Муром [15, 16]

ипроверен экспериментально Коном [17, 18] спустя примерно 10 лет после начала работ по микроскопическим исследованиям шумов. Применение Муром к реакторным шумам метода Ланжевена осно­ вано на ранних работах по броуновскому движению, согласно ко­ торым шум в системе рассматривался как реакция системы на слу­ чайную или стохастическую возмущающую функцию, т. е. шум яв­ ляется реакцией системы на входной сигнал, носящий статистиче­ ский характер по отношению к последующему процессу. Если дина­ мические характеристики системы известны, можно установить кор­ реляцию или провести измерение спектральной плотности для пара­ метров системы.

Возмущающая функция может быть случайной флуктуацией либо одной из переменных, либо одного из параметров системы. Например, возмущением, приводящим к флуктуациям плотности нейтронов в подкритическом реакторе, могут быть флуктуации в ско­ рости испускания нейтронов посторонним источником, иными сло­ вами, одна из переменных системы. С другой стороны, возмущающее воздействие, приводящее к флуктуациям в реакторе нулевой мощ­ ности, может быть вызвано изменением доли запаздывающих нейт­ ронов, числа нейтронов, испускаемых при делении, эффективного времени жизни нейтронов, т. е. параметрами системы. В отдельных системах присутствуют иногда возмущающие функции обоих типов,

ивсе они должны учитываться. Однако в большинстве практических ситуаций доминируют одна или две возмущающие функции, всеми остальными можно пренебречь. Например, такая переменная, как реактивность, может преднамеренно изменяться произвольным образом со среднеквадратической амплитудой от 10 до 100 раз большей, чем следующая, наиболее значительная возмущающая функция.

10

Применимость этих методов зависит от правильности понимания динамического поведения исследуемой системы, т. е. от того, на­ сколько рассматриваемые процессы адекватно описываются мате­ матическими моделями. От случая к случаю степень упрощения модели процесса меняется в зависимости от целей, преследуемых ис­ следователем. Часто оказывается достаточным описать передаточную функцию, используя односкоростное представление с сосредоточен­ ным параметром и пренебрегая запаздывающими нейтронами. В дру­ гих случаях оказывается недостаточным использование модели, ос­ нованной на трехмерном транспортном уравнении Больцмана с вре­ менной зависимостью, описывающей поведение нейтронов в 30-груп- повом приближении при разбиении реактора на 100 зон. Эффекты обратной связи и другие нелинейности могут быть введены в ма­ тематическую модель и линеаризованы, поскольку среднеквадрати­ ческая амплитуда возмущающих функций случайных шумов обычно настолько мала, что линеаризация допустима.

§ 1.3. Случайные процессы и переменные

Рассмотрим явления, происходящие в ядерных системах. Поведение системы обычно контролируется измерением некоторых «наблюдаемых» параметров (давлений, температур, уровня мощ­ ности и т. д.).Эти характеристики, измеряемые датчиками или пре­ образователями, которые превращают измеряемый параметр в фи­ зическую величину (электрический ток, механическое перемещение и т. д.), легко осмысливаются экспериментатором, записываются регистрирующей системой. Таким образом, временное изменение представленного явления может быть изучено. Следовательно, к входному и выходному сигналам системы уместно относиться как к переменным величинам и определять их как случайные или детер­ минированные в соответствии с их природой. Вообще явление клас­ сифицируется как случайное, если его поведение описывается толь­ ко статистическими параметрами.

Рассмотрим временные диаграммы параметра системы (мощ­

обязательно последовательных) 24-часовых периодов. Такой ряд диаграмм назовем ансамблем сигналов, а каждую диаграмму—от­ дельным (выборочным) сигналом. Совокупность всех возможных от­ дельных сигналов, обусловленных случайными рассматриваемыми явлениями, называется стохастическим процессом. Термин «про­ цесс» означает совокупность отдельных сигналов, достаточно боль­ ших, чтобы недвусмысленно установить статистические свойства измеряемой величины.

Такой ансамбль сигналов, который представлен на рис. 1.1, может быть получен путем индивидуальных измерений или разде­

11

лением одиночного сигнала на произвольное число частей. В боль­ шинстве практических случаев разница в значениях между терми­ нами «процесс» и «переменная величина» весьма мала. В последую­ щем термин «процесс» будем использовать при рассмотрении ансамб­ ля отдельных сигналов. Поскольку большая часть результатов тео­ рии случайных шумов основана на предположении эргодичности или, по крайней мере, стационарности (оба понятия будут определены позже), которые могут быть установлены только при наличии ансамб.

Рнс. 1.1. Ансамбль записей сигналов во времени.

ля отдельных сигналов, более правильно использовать термин «процесс». Однако в практике обычно приступают к анализу данных, будучи уверенными только в автостационарности процесса, которая относится только к отдельному сигналу. Следовательно, термин «пе­ ременная величина» также может применяться в этой ситуации. По­ стараемся сохранить различие между этими двумя терминами, хотя в некоторых ситуациях выбор термина может быть совершенно про­ извольным.

Классификация процессов и переменных на детерминированные или случайные в общем проста. Если переменная величина вос­ производима или ее дальнейшее поведение можно предсказать (т. е. если она может быть представлена с разумной точностью четки­ ми математическими соотношениями), она классифицируется как де­ терминированная. Например, реактивность ядерного реактора при

12

работе синусоидального котлового осциллятора— переменная ве­ личина, описываемая математически как функция времени. С дру­ гой стороны, положение отдельного нейтрона по мере его перемеще­ ния в активной зоне реактора и с учетом его времени жизни непред­ сказуемо и, следовательно, должно классифицироваться как случай­ ная переменная величина. В лучшем случае мы можем оценить сред­ нее расстояние, проходимое всеми нейтронами в реакторе. Вообще, последующее поведение случайных переменных описывается только в терминах вероятностных и статистических величин.

Заняв экстремальную позицию, можно привести доводы в поль­ зу того, что нет такого понятия, как детерминированная перемен­ ная величина, т. е. на «достаточно микроскопическом» уровне вся­ кое явление дает отсчет, который классифицируется как случайная переменная величина. Можно найти также аргументы в пользу опи­ сания многих случайных переменных величин математическими от­ ношениями и предсказание их дальнейшего поведения, если рассмат­ риваемое явление достаточно хорошо понятно. Признавая возмож­ ность этих крайних интерпретаций, в большинстве практических случаев легко удается различать детерминированные и случайные переменные величины. Позже будут описаны методы математиче­ ского определения для ситуаций, в которых такая дифференциация невозможна.

§ 1.4. Стационарные и эргодические процессы

Стационарные процессы. Функция х (t) называется случай­ ной переменной, если ее значение в любой отрезок времени может быть определено только с помощью статистических пара­ метров. Принципиальная классификация случайных переменных состоит в определении их стационарности или нестационарности. Случайная переменная называется стационарной, если ее стати­ стические характеристики не изменяются со временем. Предполо­ жение стационарности обычно оправдывается для систем, в кото­ рых основные механизмы, приводящие к возникновению флуктуа­ ций, инвариантны во времени в течение достаточного периода.

Особенностью статистических характеристик, которые должны оставаться постоянными во времени, чтобы( служить доказатель­ ством стационарности процесса или переменной, является наличие постоянной составляющей, определяющей стационарность процесса или переменной. Некоторые авторы (ошибочно) указывают, что для установления стационарности достаточно показать, что среднее значение для ансамбля сигналов и среднеквадратическое значение остаются постоянными во времени. Другие [19] считают, что для до­ казательства слабой стационарности или стационарности в общем смысле необходимо показать, что среднее значение для ансамбля сигналов и автокорреляционная функция должны быть постоянными функциями времени. Кроме того, они утверждают, что для случай­ ного процесса необходимо найти бесконечное множество моментов

13

высшего порядка и присоединенных моментов, чтобы установитьполное семейство функций распределения вероятности, описыва­ ющих процесс, и что в отдельных случаях, когда всевозможные мо­ менты и присоединенные моменты инвариантны во времени, случай­ ный процесс может быть определен как сильно стационарный или стационарный в точном смысле. Однако они также указывают, что в большинстве практических случаев установление слабой стацио­ нарности оправдывает допущение сильной стационарности.

Ясно, что даже в наиболее идеальных ситуациях сложно проде­ монстрировать сильную стационарность. Затруднительно даже на­ глядное представление слабой стационарности. Следовательно, для среднего значения и среднеквадратического значения, или авто­ корреляционной функции, должен быть установлен диапазон зна­ чений, которые могут быть приемлемы для сигнала конечной дли­ тельности*.

Эргодические процессы. Все стационарные процессы могут быть

Среднее по ансамблю в другие моменты (/2, и т. д.) может быть рас­ считано подобным образом. Если процесс стационарный, то каждая из этих средних по ансамблю должна быть той же самой, т. е. сред­ ние величины остаются постоянными независимо от времени.

Рассмотрим теперь среднее по времени значение для отдельного единичного сигнала xt (t).

т

Если отдельные сигналы, представленные на рис. 1.1, описывают стационарный процесс, то средняя по времени величина должна

* В американской литературе по приложениям теории случайных процес­ сов отсутствует общепринятое определение стационарности. Согласно приня­ тому в советской научной литературе определению, процесс является стацио­ нарным в широком смысле, если математическое ожидание соответствующей случайной функции постоянно, а второй момент (корреляционная функция) зависит только от разности временных аргументов. Процесс называется ста­ ционарным в узком смысле, если л-мерный закон распределения описываю­ щей его случайной функции при лнЭбом я зависит только от разности времен­ ных аргументов и не зависит от положения этих интервалов в области измене­ ния аргумента. В приложениях обычно имеет значение стационарность в ши­ роком смысле. Очевидно, что в случае нормальных случайных процессов оба понятия совпадают. — Прим. ред.

14