Файл: Уриг, Р. Статистические методы в физике ядерных реакторов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 102
Скачиваний: 0
§ 2.3. Вероятностные распределения при радиоактивном распаде
Биномиальное распределение. Явление радиоактивного рас пада можно проанализировать с помощью элементарной теории вероятностей. К тому же радиоактивный распад позволяет наглядно показать вероятностные распределения: биномиальное, Пуассона и Гаусса (нормальное) [1].
Если имеется большое число N0 радиоактивных атомов с вероят ностью распада р, то может быть оценена вероятность распада т атомов за время t. Рассмотрим в данный момент только т атомов из N 0. Вероятность того, что первый из этих т атомов распадается, равна р; что распадается первый и второй—ра; что распадается пер вый, второй н третий — р3 и т.д. Вероятность того, что распадутся все т атомов, равно р'п. Если ровно т атомов распадаются, то остав шиеся (N0— т) атомов не должны распасться. Вероятность этого равна (1 — p)N°~m, так как вероятность избежать распада равна 1 — р. Следовательно, для данной группы из т атомов вероятность точного распада т атомов за время t равна р'п • (1 — p)N«~m. Од нако именно эта группа из т атомов является не единственной груп пой атомов, которая может распадаться. Первым из распадающихся атомов, входящих в число т атомов, может быть любой из N 0 ато
мов, вторым—любой из N0— 1 атомов |
и т. д., т-м— любой из |
N0— т + 1 атомов. Произведение этих выражений |
|
N0(N0- \ ) ( N Q-2)...(N 0- m + \ ) = mn |
(N0- L ) = N°' (2.15) |
1=0 |
(I*о— т)\ |
дает общее число схем, по которым могут распасться т атомов из N0 за время t. Поскольку произведение включает также порядок выбора т атомов, необходимо его разделить на число перестановок из т атомов, равное т\ Следовательно, вероятность р (т) того, что т атомов из N0 распадутся за время t, равна
Р М = |
N0\ |
p)w»- |
(2.16) |
XN0-m )\m ! |
Это выражение для р (т) обычно называют биномиальным распре делением вероятности, так как коэффициент в квадратных скоб ках является коэффициентом перед величиной хт в биномиальном разложении (1 + х)ык Вероятность 1 — р того, что атом не распа дается за время t, определяется отношением числа нераспавшихся атомов N к начальному числу атомов N0:
N/N0 = 1 - р = q, |
(2.17) |
где р — вероятность того, что атом не распадается за время t.
20
Скорость распада ядер в момент времени t пропорциональна числу остающихся ядер:
dN/dt = — KN, |
(2.18) |
где %— коэффициент пропорциональности, являющийся характер ной константой распада для радиоактивного материала. Решение уравнения (2.18) дает
N/N0 = e~u . |
(2.19) |
Комбинируя уравнения (2.16), (2.17) и (2.18), получим
|
р = 1 —М/М0= 1 —e - w = l —q, |
(2.20) |
|
• р(т)--= |
N0'. |
— XA(Mn — m\ — |
|
AN0—m)\ m\ j(l —e~w)m(e~w)( |
|
||
|
Np\ |
I pmq(N0—m) |
(2.21) |
|
L(jv0— m)\m\ J |
|
|
а. Средняя скорость распада. Математическое ожидание скорости распада радиоактивного материала может быть получено с помощью закона биномиального распределения. Подставив уравнение (2.21) в (2.1), получим среднее значение т, среднее число распадов за время t:
N0 |
No |
т |
N0\ |
pin g(No — m)_ |
(2.22) |
|
V mp(m) = |
2 |
|||||
(Na— т)\ mV |
|
|||||
т=О |
т —0 |
|
|
|
Это выражение можно вычислить, используя биномиальное разло жение выражения (px-|-p)w°:
(px-\-q)N° = 51 |
----- — ----- 1рт |
хт = |
V хтр(т). |
(2.23) |
|
m=oUM>—т)\т\ J |
|
|
т = 0 |
|
|
Дифференцирование его по х дает |
|
|
|
|
|
|
No |
tnxm~ l р(т). |
(2.24) |
||
M0p(px-|-(7)'V° - 1= 2 |
|||||
|
т — 0 |
|
|
|
|
Для х = 1, что приводит уравнение (2.23) |
к разложению единицы, |
||||
N 0 P(P + q)N°~l = N ap = |
2 |
тр(т) = 11т. |
(2.25) |
||
|
|
т= 0 |
|
|
|
Используя уравнение (2.20), получим среднее |
число распадов за |
||||
время t: |
|
|
|
|
|
|
Vm = N0p = N0{l —e ~ w). |
|
(2.26) |
||
При рассмотрении времен, коротких по сравнению с периодом полураспада радиоактивного материала, применимо приближение
e“ w ~ l — %t, |
(2.27) |
тогда
(2.28)
При рассмотрении времен, больших, чем одна сотая периода полураспада, должно использоваться уравнение (2.26).
б. Среднеквадратическое отклонение измерений скорости счет
Среднеквадратическое отклонение и дисперсия числа распадов за время t могут быть получены из биномиального разложения урав нения (2.23) путем определения второй производной по х:
W0(W0 — 1) р2(рх+ ?)*»-2 = |
2J т{т— \)х"'~2р{т), (2.29) |
|||||
|
т=0 |
|
|
|
|
|
которое для х — I переходит в выражение |
|
|
|
|||
No(No — 0 Р2 = У) |
т (т — 1)р(т) = ^ |
т2р(т)— |
^ |
тр(т). |
||
т—0 |
|
щ—0 |
гп=0 |
(2.30) |
||
|
|
|
|
|
|
|
Используя уравнения (2.1) и (2.2), выражение (2.29) можно |
||||||
привести к виду |
|
|
|
|
|
|
|
N o(N 0— l ) p 2 = ^ m — И-m- |
|
|
(2-31) |
||
Дисперсия, определяемая уравнением (2.6): |
|
|
|
|||
|
= — (Am, |
|
|
|
(2.32) |
|
получается путем комбинации уравнений (2.26) и (2.31): |
|
|||||
dm = N0 (N0— 1) р2 + p,m— 1*5, = |
|
|
|
|||
= ^0 р 0 —Р) = NoPq = И'т (1 — р) = Н-т 7- |
|
(2.33) |
||||
Для радиоактивного |
распада, для которого р дается |
уравнением |
||||
(2.20), уравнение (2.33) преобразуется к |
виду |
|
|
|
||
|
a^ = p,me - « . |
|
|
|
(2.34) |
|
Если время наблюдения мало по сравнению с периодом |
полурас |
|||||
пада, т. е. Kt мало, уравнение (2.34) |
переходит |
в |
|
|
||
ИЛИ |
dm = Цт, |
|
|
|
|
(2.35) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Qm = V \ ^ , |
|
|
|
(2.36) |
|
т. е. среднеквадратическое отклонение числа распадов за время i рав но корню квадратному из среднего числа распадов, которые про исходят за данный интервал времени.
22
Распределение Пуассона. Биномиальное распределение, опи сываемое уравнением (2.21), упрощается при наложении следующих ограничений:
|
|
|
т -С А70; |
|
|
(2.37) |
||
|
|
|
w „ » i ; |
|
|
(2.38) |
||
и приближении |
|
|
М « 1, |
|
|
(2.39) |
||
|
еи « |
1 +W ; |
|
|
(2.40) |
|||
|
|
|
|
|||||
х ! '^5 (2ях)‘/2 е~х хх (формула |
Стирлинга); |
(2.41) |
||||||
( l |
т \Н0 |
« |
,. |
/ , |
т yv<> |
(2.42) |
||
— — |
lim |
|
1 — — |
= е ~ м; |
||||
V |
Nq J |
|
n-+oo\ |
|
Nо / |
|
(2.43) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В результате |
получаем |
выражение |
|
|
||||
|У" e—
p (m) — — —j— . (2.44) m\
известное как распределение Пуассона, которое справедливо для N0, больших 200, и U, меньших 0,01. Это распределение почти сим метрично вблизи цт , если исключить значения т , удаленные от рт, и становится все более симметричным при возрастании рт . Основное преимущество распределения Пуассона состоит в том, что оно пол ностью определяется с помощью единственного параметра рпг
Гауссово, или нормальное, распределение. Если наложить до полнительные ограничения
|
/л > 2 0 0 , |
|
(2! 45) |
|
|
| Рт — |
|
|
(2. 46) |
и использовать приближение |
|
|
|
|
In |
Pm —'» |
Pm—т |
(Pm—"О2 |
(2.47) |
|
га |
т |
2т2 |
|
уравнение (2.44), описывающее распределение Пуассона, сведется к
р{т) = (2ярт )- 1/2 ехр [— (рт —т )2/2рт ]. |
(2.48) |
Это распределение называется нормальным распределением, или распределением Гаусса, и является симметричным относительно среднего значения рт .
а. Центральная предельная теорема. Важность нормального распределения для большинства физических задач непосредственно связанас использованием центральной предельной теоремы, которая гласит, что сумма независимых случайных переменных при доста точно общих условиях подчиняется примерно нормальному распре-
23
делению независимо от исходных распределений переменных. По скольку многие наблюдаемые физические явления—результат вза имодействия многочисленных переменных, нормальное распреде ление представляет хорошее приближение для многих обычно встре чающихся функций распределения. Эта теорема бывает весьма по лезной во многих практических случаях. Например, в ядерном ре акторе результирующая плотность нейтронов в данной точке может обусловливаться нейтронами, которые родились в результате цепо чек распадов, фактически не коррелируемых.
Рис. 2.1. Гауссово (нормальное) распределение вероятности.
б. Среднеквадратическое отклонение. Для больших значений цт среднеквадратическое отклонение определяется по формуле, анало гичной уравнению (2.36) для биномиального распределения:
* Г = У ^ |
(2.49) |
Подстановка уравнения (2.49) в (2.48) дает наиболее привычную форму записи нормального распределения:
р(т) = - = - ехр |
(Щп —'П)2 |
(2.50) |
2а* |
||
П.У2п |
т |
|
Кривая нормального распределения полностью определяется сред ним значением рт и среднеквадратическим отклонением от слу чайной переменной т. Кривые распределения по нормальному за кону для больших и малых значений дисперсии представлены на рис. 2.1. Надо иметь в виду, что площадь под кривой функции плот ности вероятности равна единице независимо от величины диспер сии. Если среднее значение рт равно нулю, кривые нормального рас пределения (см. рис.’ 2.1) симметричны относительно точки т = 0. Интегрирование функции плотности вероятности от рт — а до цт + + а дает вероятность того, что т будет лежать вблизи рт на рассто-
24
янии в пределах |а |. На рис. 2.1 интеграл представлен заштрихо ванной площадью. Величина а, при которой интеграл
•Ат + ° |
(2.51) |
[ p(tn)dm |
равен 1/2, называется вероятной ошибкой, т. е. половина экспери ментальных данных будет попадать в интервал около среднего зна чения плюс или минус вероятная ошибка. Можно показать, что для нормального распределения вероятная ошибка и среднеквадрати ческое отклонение связаны между собой соотношением
вероятная ошибка = 0,6745 ат |
(2.52) |
и что с вероятностью 68,27% экспериментальные данные будут по падать в интервал ± <зт возле среднего значения р.т.
Интеграл от р (т), определяющий функцию распределения ве роятности Р (т) для нормального распределения, не вычисляется аналитически. Однако подстановкой
р,т— m = Y2ou |
(2.53) |
интеграл сводится к функции ошибок, определяемой как |
|
U |
|
erf и — —Д=- Ге- "2du, |
(2-54) |
У я J |
|
о |
|
которая может быть вычислена по таблицам |
математических |
функций. |
|
§ 2.4. Корреляционные функции
Корреляция—одно из важнейших понятий в анализе случайных шумов. Корреляция устанавливает количественное и (или) качест венное отношение переменной к самой себе, к другой переменной или нескольким переменным в зависимости от времени или с изме нением времени. Чтобы показать статистическую основу этого поня тия, оно будет введено здесь с использованием некоторых статисти ческих отношений, полученных ранее в этой главе.
Рассмотрим степень зависимости между двумя действительными случайными переменными х и у. Если построить диаграмму рассея
ния для дискретных |
значений хь и |
у г случайных величин так, |
как показано на рис. |
2.2, то можно, |
применив метод наименьших |
квадратов, провести по данным точкам прямую. Если все точки по падут на эту прямую, можно сказать, что случайные переменные х и у являются линейно зависимыми или полностью коррелирован ными. Если точки так широко рассеяны, что они не выделяют ка кую-либо отдельную прямую, переменные х и у, вероятно, являются' независимыми или некоррелированными. Для случая, представлен
25