Файл: Уриг, Р. Статистические методы в физике ядерных реакторов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 94
Скачиваний: 0
быть той же самой. Если процесс является эргодическим, то сред нее по ансамблю в любое время (х (/)> должно быть равно средне
му по времени значению для сигнала xt (t). С другой стороны, полу чение тождества численных величин невозможно в данной практи ческой ситуации, и, следовательно, для таких величин должны быть установлены приемлемые значения отклонений. Необходимо также, чтобы автокорреляционная функция и другие параметры, связанные с усреднением по времени, сравнивались с соответствую щими характеристиками, зависящими от средних по ансамблю.
Случайные эргодические процессы являются важным классом процессов, так как все их свойства могут быть определены путем временного усреднения отдельных сигналов. В реальных условиях случайные переменные, характеризующие стационарное физическое явление, часто, к счастью, оказываются эргодическими. Поэтому характеристики стационарных случайных процессов могут, вообще говоря, удовлетворительно измеряться по одному наблюдаемому сигналу достаточной длительности.
Автостациоиарность. Иногда говорят, что индивидуальные вре менные отсчеты случайной переменной стационарны. Это означает, что свойства, определяемые в пределах относительно коротких вре менных интервалов по выбранному временному сигналу, от интер вала к интервалу, отличаются незначительно. Однако эти отличия больше, чем можно обычно ожидать вследствие статистического раз броса отдельных реализаций. Такой тип стационарности иногда на зывают автостационарностью, чтобы исключить путаницу с класси ческим определением.
Отдельный сигнал, получаемый при эргодическом случайном про цессе, является автостационарным. Кроме того, отдельные сигналы для большинства физически интересных нестационарных случай ных процессов также являются автостационарными. Бендат и Пирсол указывают, что если применимо предположение об эргодичности, что справедливо для большинства стационарных физических яв лений, проверка автостационарности для отдельного единичного сигнала эффективно подтверждает предположение об эргодичности случайного процесса, из которого получен выбранный сигнал. Мы будем пользоваться теорией, которая, строго говоря, справедлива только для эргодических процессов, но которая применима к пере менным процессам, являющимся автостационарными.
СПИСОК Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1. Feynman R., de Hoffman F., Serber R. «J. Nucl. Energy», 1956, v. 3, p.64.
2.Fermi E., Feynman R. P., de Hoffman F. Theory of the Criticality of the Water Boiler and the Determination of the Number of Delayed Neutrons.— USAEC Report MDDC-383 (LADC-269), Los Alamos Scientific Laboratory, December 1944.
3.De Hoffman F. Intensity Fluctuations of a Neutron Chain Reactor. — USAEC Report MDDC-382 (LADC-256), Los Alamos Scientific Laboratory, October 1946.
15
4.De Hoffman F. Statistical Aspects of Pile Theory. — In: The Science and Engineering of Nuclear Power, CD. Goodman (Ed.), v. 11, p. 116. Addison— Wesley Publishing Company, Inc., Reading, Mass., 1949.
5.Orndoff J. D. Prompt Neutron Periods of Metal Critical Assemblies. — Nucl. Sci. Engng., 1957, v. 2, p. 450—460.
6.Mogilner A. I., Zolotukhin V. G. Measuring the Characteristics of Kinetics
of a Reactor by the Statistical p-Method.—«Atomic Energy» (USSR), 1961, v. 10, N 4, p. 377— 379. (См. Могильнер А. И., Золотухин В. Г. Измере ние характеристик кинетики реактора статистическим p-методом. «Атом ная энергия», апрель, 1961, т. 10, вып. 4).
7.Bennett Е. F. The Rice Formulation of Pile Noise. — «Nucl. Sci. Engng», 1960, v. 8, p. 53—61.
8.Pal L. Determination of the Prompt Neutron Period from the Fluctuations of the Number of Neutrons in a Reactor. — Central Research Institute of Physics, Hungarian Academy of Sciences, Budapest, 1962.
9.Pal L. Statistical Fluctuations of Neutron Multiplicaton. — In: Procee dings of the Second United Nations International Conference on the Peace
ful Uses of Atomic Energy, Geneva, 1958, v. 16, p. 687; United Nations,
N. Y., 1959.
10.Pacilio N. Short Time Variance Method for Prompt Neutron Lifetime Mea surements. — «Nucl. Sci. Engng», 1965, v. 22, p. 266.
11.Matthes W. Statistical Fluctuations and Their Correlation in Reactor Neut ron Distribution. — «Nukleonik», 1962, v. 4, p. 213.
12.Harris D. R. The Sampling Estimate of the Parameter Variance/Mean in Reactor Fluctuation Measurements. — USAEC Report WAPD-TM-157, Westinghouse Electric Corp., Bettis Plant, August 1958.
13.Bryce D. H. Measurement of Reactiving and Power Through Neutron De tection Probabilities. — In: Noise Analysis in Nuclear Systems. Gaines ville, Fla., Nov. 4—6, 1963, Uhrig R. E. (Coordinator); AEC Symposium Series, 1964, N 4 (TID-7679).
14.Furuchashi A., Izumi S. A Proposal on Data Treatment in the Feynman
Alpha Experiment. — «J. Nucl. Sci. Tech.», Tokyo, 1967, v. 4, p. 99.
15.Moore M. N. The Determination of Reactor Transfer Functions from Measu rements at Steady Operation. — «Nucl. Sci. Engng», 1958, v. 3, p. 387— 394.
16.Moore M. N. The Power Noise Transfer Function of a Reactor. — «Nucl. Sci. Engng», 1959, v. 6, p. 448—452.
17.Cohn С. E. Determination of Reactor Kinetic Parameters by Pile Noise Analysis. — «Nucl. Sci. Engng», 1959, v. 5, p. 331—335.
18.Cohn С. E. A Simplified Theory of Pile Noise. — «Nucl. Sci. Engng», 1960,
v.7, p. 472.
19.Bendat J., Piersol A. Measurement and Analysis of Random Data. John
Wiley and Sons, Inc., N. Y., 1966. (См. Бендат Дж., Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. Пер. с англ. М., «Мир», 1974.)
ГЛАВА 2. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ ПРИ АНАЛИЗЕ СЛУЧАЙНЫХ ШУМОВ
§ 2.1. Введение
Анализ случайных шумов основывается на статистических методах. Действительно, чтобы понять, как теория случайных шумов используется для анализа динамических систем, необходимо знание фундаментальных концепций статистических методов. По скольку по статистическим методам существует обширная литера тура, в настоящей главе рассматриваются вопросы, только непосред ственно относящиеся к анализу случайных шумов, приводится не обходимая в дальнейшем терминология и не делается попыток при водить строгие математические выводы.
§ 2.2. Средние значения и моменты вероятности
Термин «среднее значение» обычно используется для обозначе ния средней величины или первого момента функции плотности вероятности. Однако он может использоваться и для представле ния других средних величин, таких, как среднеквадратическое зна чение (второй момент функции плотности вероятности) или другой функции, взвешиваемой с плотностью распределения, например ха рактеристической функции, имеющей экспоненциальный весовой множитель перед функцией плотности вероятности.
Для дискретной переменной первый и второй моменты (среднее и среднеквадратическое значения) соответственно при функции плот ности вероятности р (хг) равны:
N |
xiP (xi) |
N |
|
|
2 |
|
|||
1** = ‘-=£-----------= |
' S \ x i p{xi) = E(x) |
(2. 1) |
||
2 |
|
P(*i) |
- |
|
2 |
xi P (xi) |
У |
|
|
№ = -П7------- = У , x? P (Xi) = E (x% |
(2.2) |
|||
2 |
|
P ixi) |
M |
|
i=0 |
|
|
|
|
ГОС. ПУБЛИЧЙАЙ
HAV4:-!0-T-r.Kif!H4ECKAU
'.TFt! А С С С Р
где Е (х) и Е (х2) — математические ожидания х и ха соответственно. Знаменатель равен единице, поскольку N — полное число событий в дискретном случайном процессе. Подобные выражения могут быть написаны для моментов высших порядков х3, х‘\ х6 и т. д. Эти соот ношения для Ца; и я|ц. (так же, как и для высших моментов) справед ливы только для больших величин N, т. е. среднестатистическая величина и математическое ожидание сходятся только при N- ^-oo.
Подобные выражения для средней и среднеквадратической вели чины для непрерывной переменной записываются соответственно:
/ |
хр (х) dx |
со |
|
|
ц* = —£■— ------- = f |
xp(x)dx = E(x) |
(2.3) |
||
|
J р (х) dx |
— 00 |
|
|
и |
|
|
|
|
f х2 (х) dx |
оо |
|
|
|
= |
|
J |
х2 р (х) dx = Е (х2). |
(2.4) |
Г |
р (х) dx |
—со |
|
|
Значения квадратного корня из среднеквадратической величины т|?2,
дисперсии |
о2- и среднеквадратического отклонения |
ах могут быть |
получены |
как |
(2.5) |
|
Ф.-с= (Фл-)1/2; |
|
|
о!- = Ф?-—р.д-; |
|
|
СХ, = (ф2 - Ц 2.)>/2. |
(2.6) |
Другое статистическое усреднение, которое полезно применять в теории случайных шумов, основано на методе использования ха рактеристической функции Мх (ju), которая представляет собой экспоненту с комплексным показателем, взвешиваемую функцией плотности вероятности непрерывной случайной величины:
j' |
е10А’ р (х) dx |
со |
|
Ma (jw) = ^ - |
---------- = |
Г ei0A р (х) dx, |
(2.7) |
” |
P(x)dx |
-со |
|
где j — мнимая единица, v — действительная величина. Посколь ку уравнение (2.7) имеет вид интеграла Фурье*, при соответствую
*Обычный вид интеграла Фурье может быть получен путем замены v на т
их на со.
18
щих обстоятельствах можно применить обратное преобразование Фурье для получения плотности вероятности
1 |
00 |
(2.8) |
р(х) = — |
Мх (jv) e ~ iaxdv. |
|
2л |
J |
|
При дискретных значениях случайной переменной х уравнение (2.7) имеет вид:
A U j») = 2 /> ( * J e JO*»*- |
(2-9) |
т |
|
Если взять производную от характеристической функции по v
d[MxUv}} = . J x e pxp (x) dx |
(2.Ю) |
—оо
иопределить обе части при v = 0, то интеграл получается равным среднему значению
Ц.-с = |
. |
dMx (jo) |
(2. 11) |
|
J |
dv |
|||
|
= o |
Видно, что первый момент случайной переменной х может быть по лучен дифференцированием характеристической функции по v с последующей подстановкой в результат v = 0. Высшие моменты случайной переменной определятся путем последовательного диффе ренцирования характеристической функции по о и вычислении ре зультата при о = 0 :
nn dn [Mx (]y)} |
(2 . 12) |
^ = ( - j ) |
|
dvn |
о = 0 |
Такой процесс обычно называется генерацией моментов.
Для двух случайных переменных совместная характеристиче ская функция совместного распределения вероятностей непрерыв ных случайных переменных х и у имеет вид:
00 |
оо |
|
|
ЛЦРх, jo2) = ^ |
^ |
у) р (х, у) dxdy. |
(2.13) |
•— оо |
• оо |
|
|
По аналогии с одномерным случаем, используя двумерное преоб разование Фурье, можно получить плотность совместного распре деления вероятности двух случайных переменных по их совместной характеристической функции М (j vx, jo2), т. е.
00 00
Р (*>*/)= -^ 7 j j M{jv1,]v^e-^t*-}v,ydv1dvi.. (2.14)
19