Файл: Совершенствование теплового процесса листовой прокатки..pdf

мого поперечного

сечения

в соответствии с допущением, приведен­

ным в разделе 2,

величину

t (р = 1; т ) = tHa4 + ф (т) назовем

тем­

пературой наружной поверхности.

В работах [ 1 , 9 ] подробно изложено решение уравнения (19)

при

граничном условии (20) для валков, имеющих только

наружное

охлаждение

(граничное

условие на поверхности

осевого

отверстия

"д^Р ~др'^ =

^ ) ' и Д л я в а

л к о в > имеющих наружное

и внутреннее

Рис. 7. Изменение

температуры на границе основной и активной зон валка во время про­

катки:

с 0 — тангенс угла,

образованного первым отрезком ломаной с осью т, т. е. скорость измене­

времени к смежному (£ + 1)-тому, град/ч;

\^ (i > 1) — момент времени, соответствующий

этому

переходу, ч

ной

поверхности tH34 + ф (т) должен

быть представлен для этого

решения в виде ломаной линии (рис.

7), число отрезков которой

определяется требуемой точностью

расчета.

В результате получены следующие выражения для температур­

ного

поля валков.

речному сечению, в момент времени т„ (где т„ — абсцисса

конца п-

ного отрезка ломаной линии ф (т) (рис. 7), равна:

п— 1

* (Р, тл ) = + £ с«Л(Р,т п —Tj);

(21)

1=0

при

я = 1 /(р, T1) = / 4 „ + c0 F1 (p, х1 — т0 ),

где ct

— коэффициенты, характеризующие

скорость

изме­

нения температуры на наружной поверхности

данного поперечного сечения в различные проме­

жутки

времени,

град/ч (их

физический

смысл

пояснен

на рис. 7);

F1 (Р> х п —

Т;) — значение

функции

температурного

поля Fx

(р, т)

Ft

при

т =

хп — т,.

Функция

(р, т)

по

физическому смыслу

представляет

собой

ростью 1 град/ч;

если

в начальный момент (т =

0) температура по

всему сечению была нулевой

(/ н а ч

= 0).

Для случая наружного охлаждения выражение F\ (р, т) имеет

следующий

вид

(для

комбинированного

охлаждения — см.

[1]):

^ ( Р . х )

=

т +

т

/ з +

S А ( о ;

ехр(—/2 V;t)

(22)

где

/2

fan

=

2(5}

v ? ( { 2 } v / + * { 3 } v < j '

— /-ный корень

выражения

{1}

=

J0

(X)

Y,

(Xk) -

J,

(Xk) Y0

(X),

-

(23)

т. е. /-ное по порядку

значение X,

при

котором

{1} = 0 ;

{21 =

J1

(Xk) Уг (X) -

JX.(X)

Y1

(Xk);

\3\

=

J0

(X)

Y0

(Xk) -

J0

(Xk)

Y0

(X);

{5\

=

Jb

(Xp) Y1

(Xk) -

Jx (Xk) Y0 (Xp);

(индекс vt

при

выражениях

\2\,

\3\,

{5}

показывает,

что

в эти

выражения вместо X подставлена величина

vt); J0

(х) и J (х) — функ­

ции Бесселя

I рода нулевого и первого порядков;

Y0 (х)

и Yt

(х) —

функции

Бесселя I I рода

нулевого и первого порядков;

т — число

учитываемых

корней

выражения

j 1},

зависящее

от требуемой точ­

ности расчета и определяющее число

учитываемых членов

суммы

бесконечного

ряда

в правой

части

функции

(22).

членами

ряда

(т = 2, что соответствует двум первым значениям vh

v1 и v 2 ) .

Для

разработки математической модели нестационарного

членов

ряда (т = 6,- что соответствует шести первым значениям vt:

v 1 ( v 2 ,

. . ., ve ). Это позволяет определять колебания

теплового

про­

филя

с точностью до 0,001 мм и разбивать изучаемый

интервал

вре­

мени

на весьма короткие промежутки (до 1—3 сек).

3*

35

Для

иллюстрации и лучшего понимания материала, изложенного

в последующих главах этой книги, на рис. 8 представлен

график

функции

F\ (р, т) для стального валка с диаметром бочки

400 мм

Рис. 8. График функции Ft (р, т) для

Рис. 9. Схематизированный график

стального валка

изменения температуры на поверхности

рабочего валка при прокатке

изменения температуры

в точках

поперечного сечения, находящихся

на различной

глубине

(вплоть

до поверхности осевого отверстия,

при р = k =

0,2).

двадцать минут после начала

прокатки (т„ = V 3 ч), если

изменение

температуры на поверхности валка задано схематизированным

гра­

фиком рис. 9 ' (4аЧ •— 20° С).

Последовательность

расчета

1.

Из графика

граничного

условия

рис. 9 находим:

а)

значения моментов времени х{,

являющихся

абсциссами

гра­

ниц

отрезков ломаной

ср (т): т 0 = 0;

т х =

0,0667

ч; т 2

—.0,15 ч;

т 3

=

0,175 ч; т4 =

0,2

ч; т 5 =

0,2833 ч; т6

= 0,3083 ч;

т7 = т„

=

=

0,3333 ч;

т7

= 0,3333 — 0,175 = 0,1583 ч;

б

t (р = 0,6; хп = 0,3333 ч) = tm4 + S

X

1=0

f l ( p = l , T ) = T .

(24)

t (р =

1, т„) = tm4

+ Ф (т) = / н а ч

+

£ ct

(тя

— т,);

(25)

tHa4 + с0

i = 0

При

Я = 1 2 (р =

1, Tj) =

(тх

+

т 0 ) .

6. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ

НАПРЯЖЕНИЯ

И ИХ СВЯЗЬ

С РЕЖИМАМИ

ПРОКАТКИ

Как было отмечено выше, при расчете температурных

напряжений

наибольший интерес

представляют

тангенциальные

а(

и осевые

аг

нормальные напряжения на внешней и внутренней

поверхностях

основной зоны валка, которые являются максимальными.

Кроме того, было показано, что температурное поле в основной

зоне

валка осесимметричное, поэтому

для

расчета

напряжений

at

и az могут быть использованы формулы для толстостенных

цилин­

дров

[1] . Указанные

зависимости

для at

и а г на внешней (р =

1,

г =

R)

и внутренней

(р =

k\ г =

г0) поверхностях

имеют вид:

Г

R

dr — t,

Еал

2

\t(r)r

R2-rl

R

*Л

(26)

Еал

'r0

Zro

\t(r)rdr

— tl

'0

r„

где E

модуль упругости

[для стали эта величина

равна 216 Гн/м

(2,2-10е кГ/см2 ), для серого чугуна

75—130

Гн/м2

(0,76 -

— 1,33)-10е кГ/см2 и для

белого чугуна

180

Гн/м2

(1,82 •

•106 кГ/см2 )];

коэффициент

Пуассона,

для стали и чугуна приблизи

тельно

одинаковый и равный

0,3;

a„

коэффициент

линейного

расширения

[для

стали

равен

(10,6—12,2)-10~6

г р а д - 1 ,

для

чугуна

равен

(8,7—11» 1) -

•10"6

г р а д -

1

] .

R

Выражение

—2

2

2

\ t (г) г dr

в

формулах

(26)

представ-

Я — г

о

г 0

по сечению валка (обо­

ляет не что иное, как среднюю температуру

значим ее t); tR

— температура на внешней поверхности валка (ос­

новной

зоны),

равная

t6 — температуре

на границе

активной и ос­

новной

зоны;

tr„ — температура

у

поверхности

осевого отверстия.