Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

4.УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

Впредыдущем параграфе матрица Л -1, удовлетворяющая условию

А"1А = /, была получена путем умножения присоединенной к А мат­

двум условиям:

1) Л-1 может существовать только тогда, когда Л — квадратная матрица (см. параграф 2 главы V);

2) Л -1 существует только в том случае, если определитель | Л | не равен нулю. (Если | Л | равен нулю, то скалярный множитель | Л | в вы­ ражении для Л -1 не определен и Л -1 не существует. Следовательно, для того чтобы существовала обратная матрица Л -1, определитель | Л | не должен быть равен нулю.)

Квадратную матрицу называют вырожденной, когда ее определи­ тель равен нулю, и невырожденной, когда ее определитель отличен от нуля. Вырожденность, таким образом, может быть присуща только квадратной матрице, но не может относиться к прямоугольной; кроме того, только невырожденные матрицы имеют обратные к ним матрицы. Так же как для существования произведения матриц необходимо их соответствие, так и для существования обратной матрицы необходимое условие —- ее невырожденность. В обоих случаях необходимое условие не всегда записывается, однако оно всегда должно быть удовлетворено.

5. СВОЙСТВА ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ

Если Л есть квадратная невырожденная матрица, то обратная к ней матрица Л -1 обладает следующими свойствами.

Свойства

1. Обратная матрица перестановочна с Л; оба произведения дают единичную матрицу Л _1Л = А А - 1 = I.

2. Обратная к Л матрица является единственной. 5Л = AS = I тогда и только тогда, когда S = Л -1.

3.Определитель обратной к Л матрицы равен обратной величине определителя матрицы Л: ( Л_1| = j-^-j.

4.Обратная матрица является невырожденной.

5. Обратной матрицей к Л 1 будет матрица Л: (Л 'Щ 1 = Л.

6. Обратная к транспонированной матрица равна транспонирован­ ной обратной матрице:

(Л')-1 = (Л-1)'.

7. Если матрица Л симметрическая, то такой же будет обратная матрица: Л' = Л, (Л-1)' = Л^1.

8. Матрица, обратная к произведению матриц, равна произведению обратных матриц, взятых в обратном порядке при условии, что обрат­ ные матрицы существуют. Если существуют Л ”1 и В ' 1, то

(.АВ)~1 = В-1А-1.

108

о

9.Если А такова, что обратная к ней матрица равна транспони­

Это свойство объясняется тем, что элементы матричного произведения А - 1А представляют собой суммы произведений элементов столбцов А на алгебраические дополнения элементов тех же самых и других столб­

(АВ)-1 - В 1А - 1,

поэтому правило инверсии применяется не только при транспониро­ вании произведений, но и при их обращении.

109

I

9. Если А - 1 = А', то АА' = А'А — /. Читатель может ограни­ читься проверкой этого свойства на примере следующей матрицы:

6. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОБРАТНЫХ МАТРИЦ

Применение обратных матриц столь многочисленно и разнообразно, что здесь мы можем привести только отдельные примеры. Для иллю­ страции мы выбрали четыре примера.

а) СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ

Мы уже пользовались обратными матрицами при решении уравне­ ний. Дополнительным примером может служить задача на загрузку производственных мощностей.

Пример. Предположим, что производственные мощности для из­ готовления п различных видов продукции установлены в п цехах. Пусть bi представляет собой суммарную мощность цеха i и atj — часть производственного аппарата цеха i, которая необходима для производ­ ства единицы продукции вида /. Тогда, обозначив через Xj количество выпущенной продукции, получим следующие уравнения, показыва­ ющие, как можно использовать имеющиеся мощности без перегрузки и недогрузки:

Следовательно, если А означает матрицу потребностей в мощностях, х — вектор выпуска продукции, а b — вектор мощностей, то Ах = Ь. Решая это уравнение относительно х и пользуясь обратной к А матри­ цей, получим объемы продукции, которые удовлетворяют данному соотношению, т. е. х = А~ХЪ.

б) МЕЖОТРАСЛЕВОЙ БАЛАНС ПРОИЗВОДСТВА И ВЫПУСКА ПРОДУКЦИИ

Межотраслевой баланс (система «затраты — выпуск продукции») был разработан Леонтьевым [6] как средство анализа взаимозависимости различных секторов экономики. В 1949 г. министерство торговли США официально опубликовало первую составленную им таблицу межотрас­ левого баланса (таблицу «затраты — выпуск» продукции для 1947 г.). Таблицы для 1958 г. появились недавно; в настоящее время разраба­

110

тываются новые таблицы*. Далее мы покажем основные действия с мат­ рицами, связанные с применением межотраслевого баланса.

Рассмотрим экономику, состоящую из п секторов; в каждом секторе производится один вид товаров. Пусть х* — валовой выпуск товара £, atj — количество продукции £, используемое при производстве единицы продукции /, y t — конечный спрос на продукцию i.

Валовой выпуск каждого вида продукции должен быть равен сумме продукции, использованной при производстве всех видов продукции, плюс конечный спрос на эту же продукцию; иначе говоря,

П

Xt = 2 аи Xj -1- yt, i “ 1, 2, ... , п.

i=~-1

Вматричном обозначении

х — Ах у,

где векторы х, у и матрица А определены следующим образом:

х = {*;}, У = {Ui} и А = {ai;} г, / = 1, 2, ..., п.

Матрица А называется матрицей технологических коэффициентов (коэффициентов прямых затрат). Все ее элементы, по определению, не­ отрицательны, такими же будут элементы х, если элементы у также не­ отрицательны.

Предположим, что в течение., некоторого периода времени коэффи­ циенты а.ц остаются постоянными, тогда, решая приведенное уравнение относительно х, мы можем определить валовой выпуск всех секторов

(x), необходимый для обеспечения любого уровня конечного спроса

(y). Произведем перестановку членов уравнения

(/ — А)х = у

и, умножая на (/ — Л)^1, полагая, что матрица (/ — Л) является не­ вырожденной, получим

Пример. Рассмотрим крайне упрощенное четырехсекторное описа­ ние экономики, в котором выделены две отрасли (сельское хозяйство и промышленность), один первичный фактор производства (труд) и го­ сударственный сектор, который потребляет продукцию обеих отраслей и использует труд. В этом простом примере государственный сектор ничего не производит для экономики и его потребление представляет собой конечный спрос на товары, производимые в этих секторах. В процессе производства каждая отрасль потребляет некоторое коли­ чество продукции другой отрасли, а также труд; рабочая сила нуж­ дается в продукции обеих отраслей и, наряду с этим в затратах труда для своего воспроизводства. Трудовые ресурсы могут быть свободно

*В 1969 г. опубликованы таблицы межотраслевого баланса США за 1963 г. (см. Survey of Current Business, v. 49, № 11, November, 1969). — Прим, nepee.