ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 151
Скачиваний: 1
3. В Ы В О Д В Ы Р А Ж Е Н И Я Д Л Я О Б Р А Т Н О Й М А Т Р И Ц Ы
Уравнение (1) главы IV показывает, как можно разложить опреде
литель матрицы А = |
{atj}, i, j = 1,2, |
..., п в виде следующей суммы: |
П |
|
|
| А | 2 |
ац ( —1)^+' | M tj | |
для любого i, |
!=1 |
|
|
где | Л4jj | представляет собой минор элемента а^,'т. е. определитель, полученный из | Л | путем вычеркивания i-й строки и /-го столбца. Про изведение (— называют алгебраическим дополнением аи .
Оно является минором элемента atj, взятым с соответствующим зна ком, поэтому алгебраическое дополнение часто называют знаковым ми
нором. Обозначим через |
|
алгебраическое дополнение аи и получим |
||||||||||
|
|
|
|
Р» = (— \)i+i\Mu\- |
|
|
|
|||||
Пример. Рассмотрим снова матрицу, которая фигурировала в при |
||||||||||||
мере рыночного равновесия в начале этой главы: |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
‘ |
1 |
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А = |
ТО |
-1 |
|
|
|
|
(7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ее определитель равен: \А | = |
— I |
- 2 |
= |
|
-3, а |
алгебраические до- |
||||||
полнения элементов имеют вид: |
|
|
|
|
|
|
||||||
Рп = |
(- 1 )1+1(-1 ) = |
— и |
|
Р» = |
( - 1 )1+2(10) = |
-1 0 ; |
||||||
Р21 = |
(—1)2+1(0,2) = |
-0 ,2 ; |
|
р22 = |
(-1 )2+2(1) = 1. |
|||||||
Рассмотрим теперь матрицу алгебраических дополнений |
|
|||||||||||
|
|
|
Р п |
P l 2 |
|
— 1 |
|
- 1 0 ' |
|
(8) |
||
|
|
|
Р 21 |
И-22. |
|
— 0 , 2 |
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и результат |
ее транспонирования |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Р и |
|
Р 2 1 |
|
— 1 |
—0,2 |
|
|
||
|
|
|
Р 12 |
Р-22 . |
|
— 10 |
1 |
|
|
|
||
Произведение транспонированной матрицы на матрицу А дает |
||||||||||||
Пи |
Р21 |
«11 |
«12 " |
|
- 1 |
— |
0 , 2 ' |
' |
1 |
0,2 |
' — 3 |
0 |
P'12 |
р22 |
«21 |
«22 . |
|
— 10 |
1 |
.10 --1 |
0 |
- 3 |
|||
и поскольку |
| А | |
= —3, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Р и « 1 1 ~Т Р 2 1 « 2 1 |
Р и « 1 2 “Ь Р 2 1 « 2 2 |
|
1 |
О |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
Р 12 fljx ~Т Р 22 « 2 1 |
P l2 |
« 1 2 |
Л" Р 2 2 |
« 2 2 . |
0 |
1 Л 1 |
|
||||
|
|
|
|
|||||||||
Этот результат служит двум целям. Во-первых, он очень быстро приводит к получению обратной матрицы. Так, умножая обе части вы-
103
ражения (9) на скаляр 1/| А | (обратную величину определителя А), мы получим единичную матрицу:
(М И'гг Й11 а 12 |
1 'M i |
0 - |
Р-12 Р22. Й21 ^22 |
~~мТ О |
1--- |
Таким образом, на основе предварительного определения Л -1, а имен но А - 1А = /, получим
1 |
Вп |
Р 21 |
1 |
rB u |
P l 2 |
А - 1* — |
|
|
|
|
|
M l |
9 j2 |
^22 j |
M l |
И-21 |
Р 22 |
т. е. матрица |
|
|
|
|
|
|
|
- 1 |
— |
0,2 |
( 10) |
|
|
— |
10 |
1 |
|
|
|
|
обратна к матрице А, заданной выражением (7). Она получена путем замены каждого элемента А на соответствующее алгебраическое до полнение, транспонированием полученной матрицы и умножением на обратную величину определителя. Таким образом, мы получим фор мальное определение матрицы, обратной к квадратной матрице (если обратная матрица существует): матрица алгебраических дополнений, транспонированная и умноженная на обратную величину определителя.
Соотношение (9) содержит общий результат, согласно которому оп ределитель | А | представляет собой сумму произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения:
П |
П |
|
|
1А | - 2 аи \хи = 2 аи \х,и . |
(11) |
||
/ = 1 |
i = |
1 |
|
Этот результат объясняет происхождение диагональных элементов | А | |
|
в уравнении (9). Подобно этому нули в (9) |
являются следствием другого |
общего правила, согласно которому для |
любого определителя сумма |
произведений элементов одной строки (или столбца) с алгебраически |
|
ми дополнениями элементов другой строки (или столбца) равна нулю1: |
|
П
аи цк}^-0 при i^=h
/= 1
и
П |
|
|
|
2 |
auVih = 0 при i=h k. |
|
(12) |
г=1 |
|
|
|
1 Выражение (11) справедливо, поскольку, по определению |
оно идентич |
||
но разложению | А [ на миноры, приведенному в параграфе 2 главы IV. Для |
того |
||
|
|
П |
при |
чтобы убедиться в справедливости (12), заметим, что выражение 2 |
|||
|
|
/=1 |
|
i Ф h представляет собой аналог разложения определителя, содержащего стро |
|||
ку элементов а^, а,2, •••, |
Щп> 3 в остальных п — 1 строках те элементы |
| А |, |
|
с помощью которых определены алгебраические дополнения р/ц, |
p/j2, .... |
р |
|
104
Общую технику определения Л -1 можно более четко показать на матрицах размером 3x3. Возьмем матрицу
1 |
2 |
3" |
|
А = 4 |
5 |
6 |
(13) |
7 |
8 |
10 |
|
Для нахождения обратной к ней матрицы необходимы алгебраические дополнения всех элементов этой матрицы. Начнем с первого столбца. Алгебраические дополнения его элементов составят соответственно
5 |
6 |
|
2 |
3 |
( - D 1+1 8 |
10 ■ 2 |
( - 1)2+1 8 |
10 = 4 |
|
и |
2 |
3 |
|
|
|
= —3. |
|
||
Г_ |
1)3+1 |
6 |
(И ) |
|
|
5 |
|
|
|
Аналогично для второго столбца алгебраические дополнения элементов равны:
4 |
|
6 |
2, |
|
1 |
3 |
- |
— 11 и (— 1) |
1 |
|
(15) |
|
( - 1) 7 |
|
10 |
( + |
1) 7 |
10 |
4 |
|
|||||
а для третьего столбца: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
5 |
= |
—3, |
|
1 |
2 |
|
6 и ( + 1) |
1 |
2 |
— 3. |
(16) |
( 1- 1) 7 |
8 |
( - |
1 |
|
|
4 |
5 |
|||||
|
|
) 7 8 |
|
|
|
|
||||||
Рассмотрим теперь матрицу алгебраических дополнений
~2 ■2_ —3
4 |
— 11 6 , |
—3 |
6 —3 |
полученную путем замены в матрице А каждого элемента на его алгеб раическое дополнение, как это было сделано в (8); таким образом, столбцы новой матрицы состоят из величин, полученных в результате операций (14), (15) и (16). Транспонируем новую матрицу и умножим
Однако, |
поскольку эти алгебраические дополнения относятся |
к элементам а/ц, |
|||
йдг, •••. |
при этом эти строки охватят все |
строки А |
за |
исключением (а/ц, |
|
вд2........ |
aim). Поэтому среди |
них окажется и строка (ощ, аг-2........ |
ain), другими |
||
словами, |
п |
представленное |
в форме |
определителя, будет |
|
выражение 2 |
|||||
1=1
иметь две одинаковые строки и, следовательно, будет равно нулю. Анало гичным образом можно показать, что второе выражение в (12) представляет собой детерминант, содержащий два одинаковых столбца и поэтому также рав ный нулю. Таким образом, соотношения (12) справедливы, что и требовалось доказать.
105
ее на скаляр, равный обратной величине определителя. Как и в (10), результирующая матрица представляет собой матрицу, обратную к А:
|
|
Г |
2 |
4 |
- 3 |
|
(17) |
|
|
Л- 1- — |
|
2— 11 |
б |
|
|||
|
|
" 3 [ - 3 |
6 |
—3 |
|
|
||
Умножая слева (13) на (17), покажем, |
что А - 1А = |
/: |
|
|||||
2 4 - 3 |
1 2 |
3 |
|
- 3 0 о |
||||
2 — 11 |
6 4 |
5 6 |
|
0—3 о |
||||
|
|
7 |
8 |
10 |
|
о |
о |
3 |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
(18) |
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
Отсюда (17) есть обратная |
к А матрица. |
|
|
2x2, диа |
||||
По тем же самым причинам, что и в примере с матрицей |
||||||||
гональная матрица выражения (18) содержит в качестве ненулевых элементов определитель | А | (в данном примере | А | равен —3). Зна чения 0 и —3 были получены из (11) и (12). Например, суммируя про
изведения алгебраических дополнений элементов |
первого столбца |
с этими элементами, получим определитель в соответствии с (11): |
|
2 (1) + 4 (4) — 3 (7) = —3 = | А | . |
(19) |
Умножая алгебраические дополнения (14) на элементы второго и треть его столбцов Л и суммируя результаты, получим в соответствии с (12)
нули: |
(2) + 4 (5) — 3 (8) = О |
2 |
|
и |
(20) |
2(3) + 4(6) — 3(10) = 0. |
Полученные суммы произведений (19) и (20) являются элементами пер вой строки матрицы-произведения (18). Взяв алгебраические дополне ния элементов других столбцов Л, как показано в (15) и (16), получим сходные результаты для второй и третьей строк матрицы-произведения
(18).
Как показано в (18), матрица Л -1 (см. (17)) такова, что А - 1А = /. До сих пор мы исследовали лишь одно свойство матрицы Л-1. Не было показано, ни что ЛЛ-1 также равно /, ни что Л -1 — единственная матрица, для которой А~1А = АА~1= /. Мы уже упоминали эти свой ства (свойства (а) и (б)). Далее мы немного остановимся на них, однако сейчас пересмотрим метод получения Л -1.
Начиная изложение, мы рассматривали матрицу Л:
аи |
а12 |
а13 |
Л = аи |
а21 |
0-23 |
а31 |
а32 |
азз |
106
затем сформировали новую матрицу, заменив каждый элемент А его алгебраическим дополнением:
Р а |
Pl2 |
P'13 |
Р 21 |
P'22 |
Раз |
Р 31 |
P'32 |
P'33 |
После транспонирования она равна
P'11 P
Pl2 P
P'13 P
2 1 |
P 3 1 |
(21) |
22 |
P.32 |
|
2 3 |
Рзз |
|
Умножив на нее скаляр ^ , получили матрицу, обратную к А:
P ll |
P 2 1 |
P 31 |
Pl2 |
P 2 2 |
Р з2 |
Pl3 |
P 2 3 ' |
Рзз |
. Умножение А слева на эту матрицу дает единичную матрицу, посколь ку в матричном произведении каждый диагональный элемент равен сумме произведений элементов столбца А на их алгебраические допол нения и, следовательно, равен | А | (см. соотношение (11)). Умножение
на скалярную величину т-^-. делает результат равным единице. Кроме
того, недиагональные элементы матричного произведения представляют собой суммы произведений элементов столбцов А на алгебраические дополнения элементов других столбцов, приводимые в определителе | Л |, и поэтому равны нулю (см. соотношение (12)). Отсюда Л _1Л == / (произведение А А ~1 будет рассмотрено далее).
Матрица (21), а именно матрица Л, в которой элементы замещены их алгебраическими дополнениями, а затем произведено транспонирова ние, называется присоединенной или иногда взаимной с Л матрицей. Таким образом, обратная матрица Л^1 может быть представлена как
присоединенная к Л матрица, |
умноженная на скаляр Д -,. |
||||
Пример. Определитель матрицы |
|
IА I |
|||
|
|
||||
2 |
5 |
|
|
2 |
5 |
Л = 3 |
9 |
равен |
|Л |
3 |
9 - 18— 15 = 3; |
присоединенная матрица |
имеет вид |
|
|
||
Таким образом, обратная к Л матрица равна:
А~* = |
1 |
[ |
9 |
—5' |
|
3 |
— |
3 |
2 ' |
107