Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

Мы уже имели дело с такими арифметическими действиями, как сложение, вычитание и умножение; однако о делении ничего не было сказано. В матричной алгебре деления в обычном смысле этого слова не существует. Операция деления на матрицу А заменяется операцией умножения на матрицу, обратную к матрице А.

1. ВВЕДЕНИЕ

Матрица, которая в результате умножения на матрицу А, равна единичной матрице, называется обратной к А. Она обычно обозначает­ ся символом А~1, который читается как «А в степени минус единица», или «обратная к А матрица», или, наконец, как «А обратная». Проил­ люстрируем важность обратных матриц, рассмотрев решение линей­ ных уравнений.

Пример, Предположим, экономист определил, что издержки про­ изводства на выпуск 300 единиц продукции должны составить 186 долларов. Тогда затраты на единицу продукции будут равны 186 : 300 — = 0,62 доллара. При таком расчете экономист фактически решает про­ стое уравнение: 300 х = 186, где х — скаляр. Один из путей решения

заключается в умножении обеих частей уравнения на щ . Отсюда сле­ дует - g ^ -ЗООх = щ -186, т. е. * = щ = 0,62. В общем случае для

скаляров а, b их, где а и Ъ— известные величины и а не равно нулю, уравнение

Обобщение этой задачи предполагает решение не единичного урав­ нения, а нескольких уравнений, т. е. решение системы совместных (ли­ нейных) уравнений.

Пример. В экономике и хозяйственной деятельности важную роль играет предположение, что механизм рыночной конкуренции сдвигает

9 8

цену на продукт до уровня, при котором спрос и предложения стано­ вятся равными друг другу. Предположим, что кривая спроса на автомо­ били для некоторого периода времени может быть записана в виде

хх = 12 000 — 0,2х2,

где х1— цена автомобиля, а х2 — соответствующее их количество. Предположим также, что кривая предложения имеет вид:

х1 = 300 + 0,1x2-

Перепишем эти уравнения:

Xi “I- 0,2х2 — 12 000;

Теперь они могут быть решены способом подстановки:

10 (12 000 — 0,2х2) — х2 = 3 000.

Отсюда х2 = 39 000, хх = 4200. Таким образом, цена равновесия со­ ставляет 4200 долларов. При такой цене спрос равен предложению, а именно 39 000 автомобилей.

Такой метод приемлем при решении простых, как в данном случае, уравнений. Однако тогда, когда имеют дело со многими уравнениями и неизвестными (скажем, с 8 или 10 уравнениями) получить решение таким путем будет невозможно. Между тем с помощью матриц решение можно представить в виде, аналогичном выражению (1), причем такой подход применим вне зависимости от того, сколь велико число урав­ нений и неизвестных. Если представить выражение (1) в матричной форме, тогда с помощью х в нем обозначается вектор-столбец решения, от1 представляет собой то, что мы называем обратной матрицей (для обозначения обратной матрицы применяют символ Л '1) и b — векторстолбец. Уравнение первоначально записывается как Ах = Ь, затем оно решается относительно х: х = А - гЬ, где А ' 1— матрица, обратная к А. Данная форма решения применима вне зависимости от того, ре­ шаем ли мы два уравнения с двумя неизвестными или сто уравнений со ста неизвестными.

Продолжим пример. Система уравнений (2) может быть записана в матричной форме как

Умножим слева обе стороны этого уравнения на

(Далее мы покажем, как подсчитать Л -1.) После умножения это урав­ нение примет вид:

или

и' 4 200

Взятая для получения данного результата матрица Л ^1 была так скон­ струирована, что ее произведение о исходной матрицей равно единичной матрице, т. е.

Перепишем теперь уравнение, приняв для обозначения компонен­ тов задачи символы

В матричной алгебре матрица / служит единицей, поэтому матрица Л -1 называется обратной к Л. Определим ее теперь (см., например, урав­ нение (5)) как матрицу, которая в результате умножения справа на Л равна единичной матрице /.

Заметим, что это решение было получено из уравнения (3) без деле­ ния обеих частей выражения (3) на Л; иначе говоря, в процессе решения

100

отсутствовал этап деления на Л, поскольку в матричной алгебре деле­ ние не определяемо и не имеет смысла. Вместо этого решение было по­ лучено умножением слева обеих частей (3) на матрицу Л ~\ что дало (4). Затем, воспользовавшись определением А _1, содержащимся в (5), можно упростить уравнение (4) и получить решение (6).

Оставшиеся разделы этой главы посвящены прежде всего уточнению определения матрицы Л -1, заданной уравнением А*1А = I, и детализа­ ции процесса построения Л -1 на основе Л. Когда матрица Л -1 известна, то любая совместная система линейных уравнений, имеющая единст­ венное решение, может быть представлена в виде Ах = b и решена как х = А ^ Ь вне зависимости от того, сколь велико число уравнений. Иногда могут возникнуть затруднения вычислительного порядка, однако форма решения и процедура его получения остаются теми же самыми.

2. ПРОИЗВЕДЕНИЯ, РАВНЫЕ /

Понятие обратной матрицы было введено нами при изучении реше­ ния системы линейных уравнений. Однако до сих пор мы не ответили на основной вопрос: существует ли такая матрица R, что RA = /? На этот вопрос можно получить три ответа, зависящие от характеристи­ ки Л:

дет показано, Rx определяется единственным образом для заданной матрицы Л.

нечное множество матриц R, для которых R A 2 — /; например,

то не существует матрицы R, такой, что R A 3 = /, поскольку первый элемент RA 3 всегда будет равен нулю и, таким образом, произведение матриц не может быть равным /.

Можно отметить еще следующие свойства произведения обратных матриц:

101

обладает этими двумя свойствами, а именно: она определяется единст­ венным образом для данной матрицы Л и умножение ее на Л как справа, так и слева дает единичную матрицу. Будучи аналогами свойств знако­ мых нам обратных величин в скалярной алгебре, эти свойства пригод­ ны и для характеристики обратных матриц. В соответствии с этим выве­ дем для Л матрицу, которая обладает этими свойствами. Полученная матрица будет обратной к матрице Л, и вместо того, чтобы удовлетво­

раграфе 5 главы II, это может быть только когда и Л и Л л — квадрат­ ные матрицы одного и того же порядка. Это означает, что матрица Л -1, удовлетворяющая условию (а), существует, если Л — квадратная мат­ рица. Речь здесь идет о следующем: из сказанного вытекает, что обрат­ ная матрица может существовать в том случае, если исходная матрица квадратная (обратная матрица также будет квадратной и того же по­ рядка). В противоположность этому прямоугольные матрицы не имеют обратных матриц, хотя для некоторых из них можно получить более узкий класс обратных матриц; такие матрицы рассматриваются нами при изучении случая (б) (см. приложение к данной главе).

Ранее было установлено, что обратная матрица Л *1 может су­ ществовать только тогда, когда Л — квадратная матрица; определи­ тель Л также существует только в том случае, если матрица Л квадрат­ ная. Следовательно, обратная матрица может существовать только тог­ да, когда Л имеет определитель. Теперь введем такое определение об­ ратной матрицы, которое использует этот определитель. Такой способ определения матрицы избран в связи с тем, что так легче представить процесс определения элементов обратной матрицы непосредственно из элементов самой матрицы (хотя подобный способ вычисления обратной матрицы и является трудоемким). В практических ситуациях обратную матрицу редко определяйэт таким путем. Тем не менее этот метод поз­ воляет ясно представить общую взаимосвязь между элементами обрат­ ной матрицы. Кроме того, с его помощью легко проверить только что рассмотренные свойства (а) и (б).

102