Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

Допустим, что определитель вычислен на ЭВМ с очень ограниченной памятью, позволяющей фиксировать только три десятичных разряда. Это означает, что на каждом этапе расчета числа округляются до бли­ жайшего целого в третьем десятичном разряде; пятерка в четвертом десятичном разряде округляется в большую сторону (обычная про­ цедура при применении ЭВМ). Если применить точно такой же метод расчета определителя, как и в выражении (53), то в результате округ­ ления получим

0,12 (0,019—0,059) + 0,21 (0,025-0,029) + 0,12 (0,071—0,026) -

= 0,12 (—0,040) + 0,21 (-0,004) + 0,12 (0,045).

Точное значение полученного выражения равно

—0,00480—0,00084 + 0,00540,

однако в связи с округлением расчетных величин оно составит

-0,005—0,001 f 0,005 0,001.

Таким образом, получено неточное значение определителя (точное значение равно нулю).

Приведенный пример показал, как ошибки округления могут при­ вести к тому, что ЭВМ будет выдавать ошибочные результаты. Этот пример, естественно, представляет собой крайнее упрощение общей проблемы, которая очень сложна для анализа, если расчет охватывает множество арифметических операций. Более того, исходя из примера можно заключить, что проблема ошибок округления может оказаться достаточно серьезной, и, вероятно, во многих случаях дело именно так и обстоит. И все же в силу ряда причин такая ситуация наблюдает­ ся далеко не всегда. Прежде всего каждая «приличная» ЭВМ может эффективно работать с числом десятичных разрядов, значительно пре­ вышающим 3, а ошибки округления всегда возникают в последнем зна­ чащем разряде. Однако накопление ошибок в связи с выполнением боль­ шого числа арифметических операций может повлиять на последние два, три или даже четыре десятичных разряда. Таким образом, ЭВМ, работающая с одиннадцатью значащими десятичными разрядами, мо­ жет дать надежный результат с точностью до седьмого или восьмого разряда, что, конечно, достаточно при решении многих задач. Вторая причина, в силу которой ошибки округления не представляют собой повода для серьезного беспокойства, заключается в том, что разрабо-

126

танные методы расчета обратной матрицы предусматривают сведение к минимуму влияния ошибок (см., например, [2] и [7]). Третья причина заключается в том, что ЭВМ созданы для работы с очень большим числом разрядов (например, в арифметических расчетах применяются метод плавающей запятой или операции, многократно увеличивающие длину слова). В результате этого ЭВМ редко выдают обратную матри­ цу, которая «дефектна» вследствие ошибок округления. Однако такой случай все же может быть, и поэтому тот, кто полагается на ЭВМ при получении обратных матриц, должен помнить о возможности возник­ новения подобного случая и понимать причины появления таких ошибок.

Посмотрим, что произошло бы в приведенном примере, если бы наша «трехразрядная» ЭВМ, определившая \М\ = —0,001, была бы применена для расчета М~л с помощью метода алгебраических дополнений. Округ­ ление всех величин до третьего десятичного знака привело бы к следую­ щему:

С результатами такого рода иногда приходится встречаться: вместо нулей, которые должны были бы получиться, из-за ошибок округле­ ния могут появиться небольшие ненулевые величины. Деление на эти небольшие величины делает «подозрительной» обратную матрицу, ко­ торая теперь может содержать несколько неоправданно больших элементов. Именно ошибки округления могут служить ключом к по­ ниманию причин возникающей погрешности.

Для того чтобы мы могли тщательно исследовать решение и даже проверить полученные результаты с помощью настольных вычисли­ тельных машин, прибегнув к вычислению одного-двух элементов произведения матрицы на обратную к ней матрицу, важно отчетливо понимать источник появления таких ошибок. Полностью преду­ предить подобные ошибки нельзя, однако существует полезный прием их сокращения. Для этого просто следует позаботиться о том, чтобы элементы обращаемой матрицы имели примерно один и тот же порядок величин. Этого часто можно достигнуть следующим образом: прежде чем приступать к обращению матрицы, нужно исходную матрицу умно­ жить справа или слева на некоторую диагональную матрицу для того, чтобы «исправить» элементы строки или столбца и привести их в со­ ответствие с другими элементами. Разумеется, следует помнить о том, что если мы хотим получить матрицу, обратную к исходной, то в та­ ком случае необходимо обратную матрицу, рассчитываемую с по­ мощью ЭВМ, соответственно умножить на матрицу, обратную к ис­ пользовавшейся в наших вычислениях диагональной матрице.

Пример. Рассмотрим матрицу

[2 1365' А ' \ 3 2 050 -

127

Элементы второго ее столбца по своей величине существенно превыша­ ют элементы первого столбца. Поэтому выразим А в форме произведе­ ния двух матриц В и D, где D — диагональная матрица:

9. ПРИЛОЖЕНИЕ

ЛЕВАЯ И ПРАВАЯ ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ

Во втором разделе при изложении понятия обратной матрицы ука­ зывалось, что Л "1 может существовать только для квадратных матриц Л, поскольку это единственное условие, при котором могут иметь ме­ сто и Л-1 Л, и ЛЛ-1. После этого обратные матрицы рассматривались только применительно к квадратным матрицам. Однако и относительно прямоугольных матриц также может быть задан вопрос: существует ли для некоторой матрицы А гХС, причем г ф с , матрица ВсХГ, такая, что АВ = 1Ги ВА = / с? Как будет сейчас показано, ответ на этот вопрос отрицателен — такой матрицы В нет.

Доказательство. Без потери общности можно положить, что г<Сс, а матрицы А н В расчленены следующим образом:

Zrxr

Кгх(с—)1 и В -

W (с - г ) Х г

Тогда

XX ZY

ВА ,

WX WY

Для того чтобы приравнять это выражение / с, необходимо удовлетво­ рить условие ZX = 1Г, что может быть только тогда, когда X — невы­ рожденная матрица и Z = X-1. Кроме того, необходимо, чтобы WX = = 0, что предполагает W — 0, поскольку X — невырожденная матри­ ца. В итоге имеем

Это выражение никогда не может быть единичной матрицей и поэтому не существует матрицы В требуемой формы. Следовательно, для пря­ моугольной матрицы ЛгХс не существует матрицы В, такой, что АВ = = / г и ВА = / с.

Однако для некоторых прямоугольных матриц А гХс(г фс) суще­ ствуют такие матрицы В сХг, что АВ = 1Г, но ВА Ф / с. В таких слу­

128

чаяхВ называются правыми обратными к Л матрицами. Для'других матриц Агхс имеются матрицы DcXr, такие, что DA = / с, но AD Ф I г. Такие матрицы!) называются левыми обратными к А матрицами. Как только что было показано, нет обратных матриц, которые были бы одновременно правыми и левыми к одной и той же прямоугольной матрице. В главе VI будет показано, что нет прямоугольных матриц, имеющих одновременно и правую и левую обратные матрицы. Только квадратная (невырожденная) матрица имеет сразу правую и левую обратные матрицы, и это — те самые единственные обратные матри­ цы, которые уже были нами рассмотрены.

Пример.

поскольку LA = / 2. Иными словами, А есть правая обратная к L мат­ рица. Однако не существует правой обратной к А матрицы (т. е. нет матрицы В, такой, что АВ = / 3) и нет левой обратной к L матрицы (т. е. нет такой D, при которой DL = / 3).

Упражнения

и В В - 1 = В - 1В I.

2.На примере матриц А и В, приведенных в упражнении 1, проиллюстри­ руйте правило, с помощью которого можно получить матрицу, обратную к про­ изведению двух матриц.

3.Покажите, что,