Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

а)

Г7 3'

' б)

‘6 з г

в)

■— 7 — Г

8 9. ’

.8 29

3

1

г)

“ 1

5 — 5'

д)

3 2 — 6"

е)

“ 2

1

3 “

3 2 — 5

— 3 5 — 7 у

— 5

1 0

.6 —2 — 5

— 2 3 —4_

1 4 - -2

ж) - — 1

- 2

з)

1 —

Г

и) г

7

4

- Г

— 2 2 — 2 \

— 2 4 — 2 ‘

4

7

- 1

u 1

- 2 — .

1 —S

1

- 4 - -4

4

а)

транспонируйте матрицу А ~ г, найдите матрицу, обратную к А'\

б) рассчитайте матрицу, обратную к А - 1.

7.

Найдите матрицу, обратную к следующей матрице:

'3

0 0 0“

0

7

0

0

0 0

1 0 '

.0

0

0

5-

а) За: + 4у —2г = 4,

б) — За: + 4 1 / = 2 ,

— а: — у + 3 г = 6,

х-\- 7г = — 8,

х — 7 у + г = — 2;

— 2а:— 3у — 8г = —11;

в) 2ш + 8у —г = 0,

г) а: + 3у —г = 7,

8л:— 3г = — 4,

1

4 а: — у + 2 г = 8 — ;

4г/ + ~ г = 42,

5х + %У + z= 10.

1

- 4

1

- 1

1

\ -

1 1

0

2

4

8

а)

2

7 0 ; б)

;

1 1

0

в)

0 1 1

_ 0

1 0_

4

8

_1 0 1_

_ 4 0 1 _

10.

Обозначьте в упражнении

9

каждую матрицу

через А;

решите теперь

уравнения

г

~X

А

У

=

!

_г_

1

относительно х, у, г.

проблем

сбыта,

соответственно

11.

Выбор

средств оповещения — одна из

которой лицо, принимающее решение, должно определить, сколько денег из ог­

раниченного бюджета необходимо израсходовать на каждый вид рекламы (ра­

дио, телевидение, газеты).

Допустим, что администратор, ответственный за сбыт,

считает

необходимым оповестить ровно 30 000 домашних хозяек, 20 000

лиц,

имеющих более 10 000 долларов ежегодного дохода, и 20 000

человек в возрасте

от 25 до 45 лет. Эти группы людей, конечно, не являются взаимоисключающими.

В то же время этот администратор знает, что, умножив на 2 плату (в долларах)

за первое средство оповещения (т^, на 3 плату за второе (т2) и на 5 плату за

третье

(ш3), он достигнет

того, что число домашних хозяек,

знакомых с рекла­

мой, в среднем будет равно х.

Две другие группы будут ознакомлены с рекламой

соответственно

следующим

уравнениям:

У = 7 щ + 1 т2 + 0т3,

z = 4т1 + 5т2 + 1 т3,

где у — число лиц,

имеющих доход свыше 10 000 долларов в год;

г — число лиц в возрасте от 25 до 45 лет.

администратор,

ведающий

сбы­

а) Сколько

денег должен

израсходовать

том, на

каждый вид рекламы для того,

чтобы точно удовлетворить

постав­

ленные

требования?

б) Сколько нужно еще затратить денег для того, чтобы охватить на 10%

больше

домашних

хозяек,

на 2 0 %

лиц,

имеющих

более

10 000

долларов

'2

2

Г

л ={ап}= 1 4

1 ,

1

6

4

5 *

131

13.

Пусть все отрасли производства товаров и услуг объединены в два сек

тора: производство товаров длительного пользования

и производство товаров

кратковременного пользования. Каждый сектор производит

продукцию для

другого сектора и для

конечного потребления.

Допустим, что

мы располагаем

следующими

данными

о сбыте

(млн. долл.):

П о к у п а т е л ь

П о с та вщ и к

производство

производство

т оваров д л и ­

товаров к р а т ­

т ельного

коврем енного

потребители

пользования

пользования

Производство товаров длительного поль­

90

6

зования

...................................................

24

Производство товаров

кратковременного

45

93

пользования ...........................................

12

а) Каков общий объем сбыта каждого сектора?

определяемого

б) Каков размер валового национального продукта (GNP),

как сумма

объемов конечных

продуктов, произведенных для

потребления?

Каков размер добавленной стоимости в каждой отрасли?

(Напомним, что сумма

добавленных стоимостей всех секторов’равна GNP.) ,

в) Найдите матрицу коэффициентов «затрат—выпуска».

если конечное

г) Каковы стоимостные показатели сбыта

каждого

сектора,

потребление

товаров длительного пользования — 10 млн. долларов, а товаров

выпуск» точно характеризует

соответствующие производственные

процессы:

Выпускаемая продукция

Виды потребляемых материалов

р уда (т)

стальные

у г о л ь ( т )

С Л И Т К И

листы

Уголь

(т) ...........................

0,1

0,1

0,5

0,1

Руда

(т) ...............................

0 , 0

0 , 0

1, 0

0 , 0

С л и т к и ...................................

0 , 0

0 , 0

0 , 0

1 , 0

Стальные листы ................

0 , 0

0 , 0

0 , 0

0 , 0

в)

Объясните содержание элемента (2 , 4) матрицы (/—Л) - 1 и свяжите его

с исходной

производственной функцией для стального листа, содержащейся

Y -=■- С + I + G + X — М,

С =

а +

ЬУ,

I =

с + dY,

М = е + 1C,

где Y — чистый национальный

продукт;

С — расходы

на потребление;

/ •—

чистые капиталовложения;

М — импорт;

X — экспорт;

G — государственные

расходы. Допустим, что G

и X

определяются

экзогенно* и что а, Ь,

...,

f, —

известные постоянные.

G и X определить значения

Y,

а) Возможно ли при заданных величинах

С, I и М? Приведите аргументы в пользу высказываемого вами мнения.

б) Напишите уравнение,

которое связывает х с у и решите его относительно

х при условии, что

- у -

~G+X~

х =

с

и у =

а

I

с

-Л4_

_

е

_

(см. уравнение (22) в тексте).

увеличить на

доллар.

Каково

в) Пусть государственные расходы следует

алгебраическое выражение для

итогового

роста

GNP?

Какой

экономический

отдела эксплуатации зданий должно

быть отнесено к затратам отдела ремонта

и 70% —к затратам производственных

отделений. Непосредственные издержки

пределите эти издержки по различным отделам и отделениям,

применяя матрич­

ную алгебру для решения двух совместных уравнений.

18. Докажите справедливость следующих утверждений;

= А'-1 В -1;

а)

если А и В — симметрические матрицы,

то [(ЛВ) ' ] - 1

б)

если С = X (Х ’Х J- 1 X',

то С2 = С =

С';

*Т. е. вне модели. — Прим,

перев.-

в) (ABCD)-1 -

D - 1C - 1B~1A - 1\

г)

если

А - 1 =

А' и

В - 1 =

В' , то (АВ) (АВ )' —

1;

/

В I

е)

если

Iq

_I

,

то

А 2 = /;

Л = ЯР, то

В — матрица п

X п

и Я — скаляр и если

определите,

при

каких условиях

последнее

утверждение не является справед­

ливым;

если

А — невырожденная

квадратная матрица n-го порядка, то опред

ж)

литель

присоединенной матрицы (А)

равен

\ А \ п~

не обязательно предполагае

з)

произведение двух матриц,

равное

нулю,

что одна из них нулевая;

то ее

определитель имеет

значени

и)

если

А — ортогональная матрица,

+ 1 или —1;

Л-!, Я2, Я3, Я4 — скалярные

величины и А — квадратная

матриц

к)

если

n-го порядка,

то

Я4А

Я2Л

_ (

^1 ^2

(И 1)2-

яЗл

я4л

" 1

Я3

—5

3

5

1

(Г

—4

8

10 0 —1

М =

2

13

11

2

1 ,

0

1

1 3

2

3

1

0

7

5

20.

Обращение

разбитых на

блоки матриц

рассматривалось

в параграфе

7 данной главы. Покажите, что выражения для X,

Y, Z и W, приведенные в про­

цедуре а, эквивалентны соответствующим выражениям процедуры б.

21.

Покажите,

что

а)

7

Р - 1

(I — PQ)-1

— (I — PQ)-1 Р

.Q

/

- Q ( I - P Q ) - 1

I + Q (I —PQ)-1Р

б)

■о р- - 1

■(PQ)->

(PQ)-ip

.Q L

= С i p m - 1

/ - Q ( P Q ) - i p J ’

в)

0 Р -1

- ( P P - i Q ) - 1

(P R - 1 Q)- 1 P R - 1

j

ЯQ R

7$ [-R ^ Q i P R ^ Q ) - 1 R - 1- R - 1Q (P R - 1 Q)-1P R - 1\ ’

г)

-s

Р ~1

г.

.0

R_

R-