Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

VI ЛИНЕЙНАЯ

НЕЗАВИСИМОСТЬ

ГЛАВА

И РАНГ

При решении уравнений Ах = Ь в форме х = А~гЬ вся трудность состоит в том, что может просто не существовать обратной матрицы А~г. Выражение х = А~гЬ может быть решением этого уравнения лишь в том случае, если существует Л -1, а Л -1 существует только тогда, ког­ да определитель Л не равен нулю.

Допустим, что Л представляет собой квадратную матрицу, состо­ ящую из нескольких строк и столбцов; в таком случае сам процесс вы­ числения ее определителя с помощью методов, рассмотренных в главе IV, может потребовать почти столько же труда, сколько нужно для непосредственного решения исходных уравнений. Поэтому важно от­ метить следующие обстоятельства: хотя при описании Л -1 в главе V всегда предполагалось, что мы знаем численную величину соответ­ ствующего определителя, большинство эффективных методов решения уравнений (с помощью электронных вычислительных машин) не тре­ бует предварительных расчетов определителя. Однако, прежде чем приступать к вычислению Л -1, мы должны быть твердо уверены в том, что Л существует; поэтому сначала следует убедиться, что | Л | не ра­ вен нулю. В этой главе излагаются методы, с помощью которых можно выяснить, равен ли нулю соответствующий определитель, не прибе­ гая при этом к полному его разложению.

1. ЛИНЕЙНАЯ НЕЗАВИСИМОСТЬ1 ВЕКТОРОВ

Предположим, что векторы vx и v2соответственно умножены на ска­ лярные величины kx и k2. Такую сумму k p x + k2v2 называют линей­ ной комбинацией векторов v± и v2. Если окажется, что линейная комби­ нация равна нулевому вектору только в том случае, когда kx и k2 рав­ ны нулю, то векторы vx и v2считаются линейно-независимыми. Рассмот­ рим уравнение

Если Vx и v2 таковы, что это равенство может оказаться справедливым лишь при kx = k2 = 0, то Vx и v2линейно-независимы. И наоборот, если

JHe следует путать линейную независимость векторов со статистическим понятием независимости случайных величин.

136

уравнение (1) может быть справедливо при некоторых ненулевых зна­ чениях kx и k 2, другими словами, если сумма вида + k 2v2 может быть равна нулю и в тех случаях, когда обе величины кх и k 2 не равны нулю, то векторы vx и v2 называют линейко-зависимыми.

Отметим, что эти определения тесно связаны с уравнением (1). По­ следнее же представляет векторное уравнение, предполагающее столь­ ко скалярных уравнений, сколько элементов содержится вг^; это урав­ нение может иметь смысл только в том случае, когда одинаков порядок векторов vx и v2. Следовательно, любые утверждения относительно ли­

то, кроме k3 = 0 = &4, не существует двух таких скалярных величин k 3 и k4, при которых соблюдается равенство k 3v3 + £4п4= 0. Следова­ тельно, v3 и нелинейно-независимы.

В том случае, когда векторы линейно-зависимы, числа kx и k2 опре­ делены неоднозначно; так, если k3Vx + k2v2 = 0, то и ck{ot + ck2v2 = О, причем скалярной величиной с может быть любое число. Таким обра­ зом, поскольку справедливо (3), столь же верными окажутся и следую­ щие соотношения: 9hx— 6н2= 0 или 4,5их — 3н2=0. Значения постоян­ ных множителей могут меняться, при этом должны сохраняться лишь соотношения между ними.

До сих пор все определения линейной независимости и линейной зависимости относились лишь к двум векторам; однако эти опреде­

справедливо лишь при kx = k2 = k 3 = k4 = 0. Их следует считать линейно-зависимыми, если (4) может выполняться и при некоторых других значениях параметров k, когда не все k одновременно равны нулю. Таким образом, если существуют два ненулевых постоянных множителя 1.х и л2, при которых

Т* Х2н2 = 0,

13?

то все четыре вектора v оказываются линейно-зависимыми, потому что соотношение (4) теперь может выполняться и при таких значениях k, когда не все они одновременно равны нулю:

линейно-зависимы между собой, существуют по меньшей мере два зна­

иметь место только в том случае, если v2= 0, т. е. если вектор v2 нуле­ вой. Если же исключить эту возможность, т. е. не рассматривать ну­ левые векторы, тогда все множители k должны быть равны нулю. По­ этому если (4) оказывается справедливым при некоторых ненулевых значениях множителей k, 4огда по меньшей мере два множителя дол­ жны отличаться от нуля.

Отметим важное следствие, проистекающее из линейной зависимо­ сти векторов: в этом случае по крайней мере один из рассматриваемых векторов v может быть представлен в виде линейной комбинации осталь­ ных векторов. Предположим, что четыре вектора vx, v2, v3 и о4 линей­ но-зависимы между собой. При этом соотношение (4) оказывается вер­ ным для некоторого набора множителей k, причем не все k равны нулю. Предположим, что kx Ф 0. Тогда мы можем разделить обе части равен­ ства (4) на ki, перегруппировав слагаемые, получаем:

Так как по меньшей мере один из остальных множителей k также не равен нулю, уравнение (5) может свидетельствовать о том, что vx пред­ ставляет собой линейную комбинацию. у2, v3 и и4.

В нашем примере рассматривалась линейная зависимость только четырех векторов, однако в общем виде это определение применимо к любому числу векторов. Следовательно, п векторов одинакового раз­ мера иъ ы2. •••. ип называются линейно-зависимыми в том случае, ес­ ли существуют такие постоянные множители kx, k2, ..., kn, все не рав­ ные нулю, при которых

kxtix + k2u2 + ... + knun — 0.

Если равенство оказывается справедливым только при нулевых зна­ чениях множителей k, векторы считаются линейно-независимыми, в противном случае они линейно-зависимы.

Пример. Рассмотрим следующий набор векторов

138

Можно убедиться в том, что

2ux ~f- U-2 3u3 — w4 = О,

и, следовательно, векторы цх, ц2, н3, tt4 линейно-зависимы. Аналогич­ ным образом

2мх -)-■ ц2 Зм3 — w4 -f- 0(н5) = О,

так что и векторы цх, «2, м3, м4, н5 тоже линейно-зависимы. Дальней­ шее прибавление к системе цх, м2, и 3, «4, и5 векторов ы6, м7, ... не ме­ няет факта линейной зависимости системы; ведь по-прежнему остается справедливым, скажем, следующее равенство:

2ы.х и^ Зы3 — ы4 -f- Оы5 0ы6 -f- Ои~ — 0.

С другой стороны, следует заметить, что не существует отличных от ну­ ля значений множителей klt кг и /г3, при которых может выполнять­ ся равенство

&хцх + А2н2 + k 3u3 — 0.

Следовательно, векторы иъ «2 и и 3 линейно-независимы.

2. ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Определение. Для простоты изложения под независимостью мы впредь будем понимать линейную независимость, а под зависимостью — линейную зависимость, опуская определение «линейный», но памятуя при этом, что речь по-прежнему идет о линейной зависимости или не­ зависимости.

Если система векторов зависима, то, как уже было показано, из это­ го следует, что по крайней мере один из них может быть представлен в виде линейной комбинации остальных векторов. Теперь вспомним о том, что если в результате вычитания из какого-либо столбца опре­ делителя другого столбца, умноженного на то или иное число, мы полу­ чаем целый столбец нулей, такой определитель равен нулю. Но ведь это условие и говорит как раз о том, что один столбец является линей­ ной комбинацией остальных. А это в свою очередь свидетельствует о том, что столбцы зависимы. Следовательно, мы видим, что если столб­ цы квадратной матрицы зависимы, то определитель матрицы равен нулю и обратной матрицы не существует. То же самое справедливо и в тех случаях, когда вместо столбцов рассматривают строки.

Пример. Векторы пх и v2 в соотношении (2), как мы видели, линей­ но-зависимы, потому что Зпх — 2и2 = 0. Следовательно, любая ква­ дратная матрица, 'в которой элементы этих двух векторов образуют столбцы, будет иметь нулевой определитель, например,

2 3

6 9

4 6

139

(