Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

Обобщим полученные результаты, рассмотрев случай, когда X — целое положительное число. Тогда

ХА = А + А + А + ... + А,

где вся сумма, стоящая справа, обозначена с помощью ХА. По правилу сложения матриц получаем

ХА — {Хаи } при i = 1, 2, ..., г и / = 1, 2, ..., с.

Распространяя этот принцип на любые скалярные величины, приходим к определению операции умножения матрицы на скалярную величину. Таким образом, произведение матрицы А и скалярной величины X представляет собой матрицу, в которой каждый элемент умножен на X. Например,

3. ВЫЧИТАНИЕ

Пример. В табл. 2 приведены данные о совокупных продажах не­ которой компании с 1 января по 31 марта определенного года.

и предположим, что совокупные продажи указанных изделий (рассчи­ тываемые нарастающим итогом) на 30 июня того же года составили

Тогда продажи того или иного вида товаров в каждом районе, рассчи­ тываемые нарастающим итогом, за период с 31 марта по 30 июня будут равны разности между суммами продаж за соответствующие периоды времени; так, продажи продукции вида I в районе 1 составят 2050 —

— 91 0= 1140. Аналогичным образом продажи продукции вида II

26

в районе 4 равны 1189 — 1048 = 141. Следовательно, полученная таким путем матрица

характеризует продажи обоих товаров с 31 марта по 30 июня во всех четырех районах. Перед нами пример вычитания матриц. Отсюда мож­ но сделать следующие выводы.

Другими словами, разность между двумя матрицами представляет собой матрицу, образованную разностями соответствующих элементов1. Пример.

Как и при операции сложения, можно вычитать друг из друга только те матрицы, которые имеют одинаковый порядок. Таким образом, мат­ рицы, согласованные для сложения, согласованы и для вычитания,

инаоборот.

4.РАВЕНСТВО МАТРИЦ И НУЛЕВАЯ МАТРИЦА

Две матрицы называются равными в том случае, если каждый эле­ мент одной матрицы равен соответствующему элементу другой матри­ цы. Следовательно, А = В, если {аи } = {bi}), или другими словами,

то матрица А равна В, но не равна С. Утверждение о равенстве двух матриц не имеет смысла, если у них разные порядки.

хМы можем доказать это более строго, воспользовавшись правилами сложе­ ния и умножения на скалярную величину. Так как — В = (—1) В,

А - В = А + ( - 1 ) В = { a i j } + ( - 1) Ь ц } = { а и } + { - Ь ц ) = { а и ~ Ь и } .

27

Сочетая между собой определения вычитания и равенства матриц, можно прийти к определению нуля в матричной алгебре. Пусть, на­ пример,

А — В = {аи — Ьи ) = 0.

Матрица справа состоит лишь из нулей, так как каждый элемент этой матрицы равен нулю. Такая матрица называется нулевой, она играет роль нуля в матричной алгебре. Нулевая матрица не единственна, так как для матриц любого порядка всегда будет существовать нульматрица того же порядка. Например, нулевые матрицы порядка 2X4 и 3X3 будут иметь следующий вид:

Прежде чем определить умножение матриц, коротко рассмотрим две более простые операции, связанные с умножением векторов.'И на этот раз для пояснения общего метода воспользуемся числовым при­ мером.

а) ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Пример. Предположим, что объем розничных продаж в течение дан­ ного года составил соответственно 58, 26 и 8 единиц и что цены этих то­ варов были равны соответственно 1, 2 и 3 долларам. Следовательно, общий доход от продажи всех трех товаров за год равен 58 X 1 +26 X 2+ + 8 X 3 = 134 долларам. Представим данные о продажах с по­ мощью вектора-строки

а' = [58 26 8],

а соответствующие цены с помощью вектора-столбца

1

х2

3

Тогда общий доход от продажи трех товаров, равный 134 долларам, представляет собой сумму произведений элементов вектора-строки а' (количество проданных товаров) на соответствующие элементы х (цены указанных товаров). Так определяется а'х — произведение век­

28

тора-строки на вектор-столбец. Оно записывается следующим образом:

при этом какого-либо особого символа умножения векторов нет. Про­ изведение указанных векторов равно:

а'х = 58 X 1 + 26X2 + 8 x 3 = 134.

Приведенный пример помогает уяснить общую методику вычисле­ ния а'х: для этого каждый элемент вектора-строки а’ следует умно­ жить на соответствующий элемент вектора-столбца х и сложить полу­ ченные произведения. Полученная сумма равна а'х.

Таким образом, если

и л: содержат одинаковое количество элементов; в противном случае произведение а'х не может быть определено, оно не существует.

6) УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА ВЕКТОР

Пример. В предыдущем примере говорилось о различных продажах товаров на внутреннем рынке. Но предположим, что указанная компа­ ния, кроме того, имеет отделения, занимающиеся продажей товаров другим фирмам и сбытом товаров за рубежом. В табл. 3 приведены дан­ ные о продажах товаров по каждому из отделений.

Т а б л и ц а 3

Группировка продаж по различным отделениям компании и видам продукции

29

Доход от розничных продаж уже был вычислен ранее: 58x1 + 26 X

а итоговые данные, приведенные в табл. 4, — в виде вектора 204 . 34

Взглянув на табл. 4, можно убедиться в том, что элементы этого векто­ ра получаются точно так же, как описанное ранее произведение а х , причем в качестве вектора а' в каждом случае взята последующая стро­ ка матрицы А. Полученный результат представляет собой произведе­ ние Ах; другими словами, Ах образовано из соответствующих произве­ дений а’х, но в качестве а' теперь следует брать последовательно строки матрицы А, в результате мы получаем вектор-столбец. Следовательно,

В общем виде этот пример можно записать так:

30