Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

представляет собой вектор-столбец четвертого порядка. Аналогичным образом матрица, состоящая из одной строки, называется векторомстрокой. Для обозначения вектора-строки мы будем пользоваться х со штрихом:

ными величинами. Элементами матрицы обычно служат скалярные ве­ личины, хотя иногда она может состоять из матриц меньшего порядка. В некоторых случаях удобно представлять скалярную величину мат­ рицей порядка 1x1.

3.ОБЩИЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Вэтой книге матрицы обозначаются прописными буквами, а их элементы — теми же строчными буквами с соответствующими индекса­ ми. Векторы будут обозначаться строчными буквами (обычно послед­ ними буквами алфавита), при этом знак «штрих» будет служить для того, чтобы отличать вектор-строку от вектора-столбца. Так, х означает

вектор-столбец, а х ' — вектор-строку.

В этой книге всюду закрывать матрицы будут квадратные скобки:

В редких случаях, при записи определителя (см. гл. IV), мы будем при­ бегать к единичной вертикальной линии.

Кроме того, мы уже пользовались таким удобным средством обо­ значения матриц, как фигурные скобки:

А = {аи ) при i = 1, 2, ..., г и / = 1, 2, ..., с.

Фигурные скобки показывают, что ац — типовой элемент матри­ цы А, в котором индексы i и / последовательно принимают все значе­ ния от 1 до указываемых конечных величин (в нашем случае до г и с). Другими словами, А представляет собой матрицу, состоящую из г строк и с столбцов. Эти обозначения отнюдь не единственно возмож­ ные, и в литературе можно встретить немало других вариантов. Для обозначения матрицы не обязательно пользоваться буквой А, можно прибегнуть к любой другой букве. Векторы часто обозначают строч­ ными буквами, однако и это не является обязательным. Нет твер­ дого правила и в употреблении штриха (применяемого в этой книге для того, чтобы отличать вектор-строку от вектора-столбца). В неко­

0

торых работах для того, чтобы отличать матрицы и векторы от ска­ лярных величин, обозначаемых теми же буквами, их набирают жир­ ным шрифтом. Мы не будем вводить подобные обозначения, поскольку большая часть книги посвящена именно матрицам и векторам, так что вряд ли может возникнуть какая-либо путаница. Всюду, где ска­ лярная величина обозначается буквой, этот факт особо оговаривает­ ся, если только это не вытекает из самого контекста.

Упражнения

21

6.Рассмотрим процесс покупки, когда имеются только два товара. До­ пустим, что покупатель, ранее купивший товар 1, в следующий период купит его снова с вероятностью 0,7. Предположим также, что покупатель, ранее купивший товар 2, в последующий период вновь приобретет его с вероятностью 0,6. Одна­ ко в том случае, если на рекламу товара 1 будет истрачено 1 200 000 долларов, эти вероятности изменятся и будут составлять соответственно 0,8 и 0,4. Напиши­ те матрицу вероятностей перехода для двух ситуаций: до того, как предприняты расходы на рекламу, и после этого. Изменит ли реклама рыночные условия в на­ правлении, благоприятном для продажи товара 1?

7.Продавец билетов на театральное представление, проводимое за городом, решает вопрос о том, сколько билетов ему следует закупить. К покупке билетов он может прибегнуть лишь один раз. Каждый билет стоит 5 долларов и может быть продан за 8 долларов. Билеты, оставшиеся нераспроданными, никакой сто­

имости не представляют. Известно, что количество билетов, которое он сможет продать, колеблется от 1 до 5. Составьте матрицу денежных сумм, выручаемых в зависимости от его решения и от результатов продажи; пусть при этом по стро­ кам будут расположены результаты того или иного решения продавца билетов, а по столбцам — возможный исход продаж.

и левой частей каждого равенства (значения чисел приведены в упражнении 1).

пп

в) у 2 : аи anh= а г. a h .

=> > ? • + £

ii — \ h = \

h i

m n

i — 1 j — 1

22

ЛИ Т Е Р А Т У Р А

1.C h o w G. С. (1960). Statistical demand functions for automobiles and their use for forecasting. In The Demand for Durable Goods, A. C. Harberger (ed). University of Chicago Press.

2.D e r m a n C. (1963). Optimal replacement and maintenance under Markovian deterioration with probability bounds on failure. Management Science,

9, 478—481.

ОСНОВНЫЕ И АРИФМЕТИЧЕСКИЕ

ГЛАВА ДЕЙСТВИЯ

СМАТРИЦАМИ

Вэтой главе речь идет об арифметических действиях с матрицами:

осложении, вычитании и умножении. Кроме того, здесь рассматри­ ваются участвующие в операциях с матрицами аналоги нуля и единицы.

1.СЛОЖЕНИЕ

Начнем с операции сложения, но прежде всего поясним ее с помощью примера.

Пример. Некоторая компания в обрабатывающей промышленности располагает данными о своих продажах на протяжении года, сгруппи­ рованными по видам изготовляемой продукции и районам сбыта. В табл. 1 представлено распределение трех видов продукции по трем районам.

Перепишем содержание таблицы в форме матрицы порядка 3x3:

98 24 42 А = 39 15 22 .

22 15 17

В таком случае аналогичные данные, относящиеся к следующему году, можно записать в том же порядке с помощью матрицы:

55 19 44 В = 43 53 38 .

11 40 20

24

Тогда общее число единиц продукции вида I, проданной в районе I на протяжении рассматриваемых двух лет, равно сумме элементов, расположенных в каждой матрице на пересечении первой строки и пер­ вого столбца: 98 + 55 = 153, а общее число единиц продукции вида III, проданной в районе 2 за тот же период, равно: 15 + 40 = 55. Мат­ рица, составленная путем сложения всех указанных величин, будет тогда иметь вид:

Элементы этой матрицы характеризуют объем продаж различных видов продукции в каждой области на протяжении двух лет. Такая матрица представляет собой сумму матриц А я В, полученную путем

каждый элемент которой есть сумма соответствующих элементов мат­ риц-слагаемых.

Очевидно, сложение матриц возможно только в том случае, когда у них один и тот же порядок; другими словами, две матрицы можно складывать, если они имеют одинаковое количество строк и одинаковое количество столбцов. Поэтому бессмысленно пытаться сложить

Матрицы, которые имеют одинаковый порядок и которые поэтому мож­ но складывать, считаются согласованными для сложения. Например, матрицы

согласованы для сложения, и их сумма равна

' —2 3 12

8 0 II ’

2. УМНОЖЕНИЕ НА СКАЛЯРНУЮ ВЕЛИЧИНУ

Мы уже изложили правила сложения матриц. Простое применение указанных правил приводит к следующему выводу:

Л + А = {atj} + {о+} = {2аи } = 2А.

25