Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

щается в таблице дисперсионного анализа. В табл. 3 показаны два варианта схем дисперсионного анализа — для модели без свободного члена и для модели со свободным членом. Хотя вывод показателей этих таблиц начинался с расчета SSE, a SSR определялся как SST —

— SSE, вычисления более удобно основывать на SSR, определяя SSE как SST — SSR. Такой подход вызван легкостью расчета SSR, как это показано в (37).

Вспомним нормальные уравнения, на которых основывались оценки

Величина SSR в (37), таким образом, есть сумма произведений 8 с пра­ выми сторонами уравнений, на основе которых определяется Ь, отсюда каждое выражение (37) легко подсчитывается. В связи с этим в табл. 3 SSK определяется так, как это показано в (37), и SSE — как SST — —SSR. Величину R2 можно определить для обеих моделей на основе табл. 2 и 3 как

долю общей суммы квадратов, которая учитывается подобранной

п—k— 1

2 7 7

Часть табл. 3, относящаяся к модели без свободного члена, основная, она представляет собой исходную позицию для разработки ана­ логичной части таблицы, относящейся к модели со свободным членом. Соответствующие обобщения рассматриваются в разделе д параграфа 4. В связи с тем, что наиболее часто применяется модель со свободным членом, дальнейшее обсуждение ограничивается Только этой моделью.

Пример (продолжение). Вернемся к анализу ранее рассмотренного примера, полагая, что модель со свободным членом имеет 2 независи­ мые переменные. Для расчета табл. 3 необходимо определить

и

SST //'//. nif1 1 123— — — — .

как это и было получено ранее в (34). Таким образом, для данного примера получим следующие результаты (см. табл. 4). По формулам (39), (40) и (41), взяв данные табл. 4, получим

/— — 0,92;

11 2 / 6

—/ (6—2 — 1) = — - 0,78.

Т а б л и ц а 4

Дисперсионный анализ (модель со свободным членом)

И сточник вариации D . F . Сумма квадратов

F -статистики имеют распределения с двумя и тремя степенями свобо­ ды; табличное значение этих статйстик при 5%-ном уровне равно 9,55. Отсюда, поскольку 17,3 >■ 9,55, мы можем заключить, что при 5%-ком уровне существенности гипотеза о том, что Ьг = Ь2 = 0 должна быть отвергнута.

2 7 8

в ) П О Д М Н О Ж Е С Т В А П ЕРЕМ ЕН Н Ы Х

Предположим, что подмножество, состоящее из р переменных х, представляет вторичный интерес по сравнению с остальными k — р переменными. Тогда у нас может возникнуть намерение проверить, вносят ли эти р переменных существенный вклад в регрессию помимо k — р переменных. Для того чтобы осуществить это, мы подбираем две модели: сумму квадратов регрессии назовем SSRft для первой, содержащей k переменных х, и SSRfe_p для второй модели с k — р переменными х. Тогда для испытания того, являются ли р пере­ менных среди всех k переменных существенными для регрессии, подсчитаем

Этот критерий имеет f -распределение с р и п — k — 1 степенями сво­ боды. Расчет F может быть обобщен и представлен в таблице диспер­ сионного анализа (см. табл. 5).

Расчет трех требующихся для анализа величин осуществляется следующим образом: обычным путем определяются SST = у'у — пуг

и SSRfe = Ь'Х'у. Третья величина SSRp определяется косвенно как. разность'SSRh — SSRft_p (см. вторую строку табл. 5). Рассмот­ рим теперь р переменных х, чья существенность испытывается. Пусть соответствующие им коэффициенты b состоят из р последних элемен­

тов вектора Ь. Теперь разобьем Ь следующим образом:

где bp представляют собой исследуемые оценки. Кроме того, разобьем

обратную матрицу (Х'Х)-1 соответственно разбиению Ь. Для упроще­ ния записи при выполнении этой операции введем символ Т вместо (Х 'Х )-1 и получим2

2 79

где г = k — р, а подписные индексы подматриц Т указывают на раз­ меры последних; помимо этого примем ТРт= (ТгР)'. Тогда для запол­ нения табл. 5 получим следующий результат1:2

Это выражение легко вычисляется: мы уже получили Ьр как часть Ь, а на основе (Х'Х)~Л получаем Трр и находим обратную к ней мат­ рицу2. Такой путь требует значительно меньше усилий, чем непосредст­ венное получение SSR, поскольку в последнем случае требуется определить обратную матрицу порядка k — р, тогда как выражение (43) требует найти обратную матрицу только порядка р X р. Когда k существенно выше р (а это обычно так и бывает), то косвенный метод имеет явное преимущество. Особенно это проявляется тогда, когда же­ лательно испытать несколько различных подмножеств из р перемен­ ных х. Кроме того, хотя здесь рассматривалось р последних перемен­ ных в последовательности х ъ х 2, ..., xh, описанный подход применим

к любым р переменным: возьмем коэффициенты вектора Ь, относящие­

ся к р переменным, и назовем их вектором Ьр. В матрице (Х ’Х)~г выделим подматрицу р X р, соответствующую этим же переменным. Назовем ее Т рр и определим обратную к ней матрицу Трр1. Тогда для

этих Ьр и Трр применимо выражение (43).

Пример (продолжение). Предположим, что в нашем примере, содер­ жащем две переменные х, нам необходимо испытать существенность введения первой переменной при наличии второй переменной.

Тогда k = 2 и р = l,,SSRft — сумма квадратов регрессии, определен- -

ной по двум переменным. Ее значение показано в табл. 4; SSR*. = •

Для получения SSRfe — SSRfe_p с помощью (43) нам необходимо найти Ьр — коэффициент регрессии для первой переменной. На основе

2 8 0