Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

ч т о у п р о щ а е т с я д о

Поскольку табличное значение F с одной и тремя степенями свободы при 5%-ном уровне существенности равно 10,13, то гипотеза о том, что первая переменная не дает существенного вклада в регрессию, помимо второй, не может быть отвергнута.

На основе приведенных ранее данных может быть подсчитано зна­ чение SSR^-j,:

SSRh-p

1592

9 6 6

Можно показать, что этот результат идентичен сумме квадратов ре­ грессии только на k—р переменных (а именно, на вторую, переменную). Модель со свободным членом имеет вид: y t =-- b0 + b2xi2 + ег, и выра­ жение для оценивания параметров следует из второго уравнения (38). Оно сокращается до

(2 xh — nxl) b2 = 2 xi2 Vi— nx2 у,

где b2 есть оценка b2 для данного-случая. На основе ранее приведенных базовых данных это уравнение дает

и, таким образом,

Следовательно, на основе (37), которое в данном случае сокращается до

SSR = b2 ( У х 12у 1— пх2у),

получим такую сумму квадратов регрессии, которая тождественна

SSRft- p:

как было установлено ранее.

281

г) И С П Ы ТА Н И Е О ТД Е Л Ь Н Ы Х П ЕР ЕМ ЕН Н Ы Х

Испытание существенности, основанное на /‘"-статистике диспер­ сионного анализа (см. раздел а параграфа 4), относится к нулевой ги­ потезе, которая заключается в том, что все коэффициенты blt b2, ..., Ьк равны нулю. В этом смысле /^-критерий есть критерий способности мо­ дели в целом объяснить вариацию зависимой переменной. Однако в от­ личие от этого внимание можно сконцентрировать только на одной из k независимых переменных, проверяя, будет или не будет коэффициент у конкретной переменной равен нулю после того, как найдена регрес­ сия на k — 1 других переменных.

Подобное испытание представляет собой особый случай по срав­

Предположим, что имеется i-я переменная х, вклад которой в рег­ рессию рассматривается. Обозначим соответствующую величину (45) через Fi. Тогда можно показать, что

В этом выражении bt есть оценка коэффициента, относящегося к г-й

переменной х, полученная из вектора b, a var (bi)— оценка дисперсии bi. Таким образом, если d, — г-й диагональный элемент {Х'Х —

—nww')*1, то из (24) следует, что var (bi)---diO2, а при а2, определенном

по (30), var {bi) =\di0 2.

Величина t, показанная в (47), имеет распределение с п — k — 1 степенями свободы1. Она дает возможность проверить существенность включения t-й переменной после выбора других k — 1 переменных.

282

S S E — — , п р и ч е м п — k — \ = 3 . О т с ю д а

Поскольку табличное значение t. для 5%-ного уровня при п — k —

— 1 — 3 степенях свободы равно 3,182, то мы заключаем, что нуле­ вая гипотеза (Ь г 0) не может быть отвергнута при 5%-ном .уровне существенности. Заметим, что Р — 1,122 =- 1,25. Эта величина равна

л) ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ ДЛЯ МОДЕЛИ СО СВОБОДНЫМ ЧЛЕНОМ

Модель со свободным членом, содержащая k переменных х, экви­ валентна по процедуре анализа модели без свободного члена с k + 1 переменными,- В связи с этим (см. (18)) соответствующая сумма квадра­

тов ошибок составляет, как это показано в (29), SSE = у 'у — Ь*'Х*'у.

Первая строка таблицы содержит сумму квадратов регрессии, содержащей k переменных и свободный член. Рассмотрим теперь под­ бор модели, содержащей только свободный член: yt =--- b0 + et. Выбор такой модели эквивалентен подбору только средней величины; соот­

ветствующая сумма квадратов равна пу2, Теперь первая строка табл. 6 может быть разбита на две строки:

283

г) И С П Ы ТА Н И Е О ТД Е Л Ь Н Ы Х П ЕР ЕМ ЕН Н Ы Х

Испытание существенности, основанное на /•’-статистике диспер­ сионного анализа (см. раздел а параграфа 4), относится к нулевой ги­ потезе, которая заключается в том, что все коэффициенты Ьи Ьг, ..., Ьк равны нулю. В этом смысле /•’-критерий есть критерий способности мо­ дели в целом объяснить вариацию зависимой переменной. Однако в от­ личие от этого внимание можно сконцентрировать только на одной из k независимых переменных, проверяя, будет или не будет коэффициент у конкретной переменной равен нулю после того, как найдена регрес­ сия на k — 1других переменных.

Подобное испытание представляет собой особый случай по срав­ нению с изложенным ранее, а именно при р = 1. Тогда /•’-статистика с 1 и п — k — 1 степенями свободы становится равной

Предположим, что имеется i-я переменная х, вклад которой в рег­ рессию рассматривается. Обозначим соответствующую величину (45) через Ft. Тогда можно показать, что

где

(47)

!v a r($0

Вэтом выражении bt есть оценка коэффициента, относящегося к i-я

переменной х, полученная из вектора b, a var (bi)— оценка дисперсии bt. Таким образом, если dt — /-й диагональный элемент ( Х ' Х -—

—nww')-1, то из (24) следует, что var (Ьг-)— df<72, а при а2, определенном

по (30), var (bi) =зус?го2.

Величина t, показанная в (47), имеет распределение с п — k — 1 степенями свободы1. Она дает возможность проверить существенность включения t-й переменной после выбора других k — 1 переменных.

282

д) ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ ДЛЯ МОДЕЛИ СО СВОБОДНЫМ ЧЛЕНОМ

Модель со свободным членом, содержащая k переменных х, экви­ валентна по процедуре анализа модели без свободного члена с k + 1 переменными. - В связи с этим (см. (18)) соответствующая сумма квадра­

тов ошибок составляет, как это показано в (29), SSE = у ' у — Ь*'Х*'у.

Первая строка таблицы содержит сумму квадратов регрессии, содержащей k переменных и свободный член. Рассмотрим теперь под­ бор модели, содержащей только свободный член: y t = b0 + et. Выбор такой модели эквивалентен подбору только средней величины; соот­

ветствующая сумма квадратов равна /гг/2. Теперь первая строка табл. 6 может быть разбита на две строки:

283