Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

Сумма показателей этих строк равна Ь*'Х*'у при числе степеней сво­ боды, равном k + 1. Теперь на основе (29) получим

Снова с помощью (48), (49) и (29) определим SSE, после чего табл. 6 трансформируем в табл. 7. Если убрать первую строку таблиц ы и вы­ честь показатель этой строки из показателя последней строки, то по­ лучим схему дисперсионного анализа табл. 3 для модели со свобод­ ным членом.

5.ОСНОВНЫЕ ШАГИ РАСЧЕТА РЕГРЕССИИ

Вданном параграфе обобщены и перечислены в виде удобных для вычисления формул общие выражения, связанные с оцениванием ли­ нейной регрессии на k переменных.

Замечание. Для модели без свободного члена эти суммы берутся нескорректированными; для модели со свободным членом эти суммы

284

SSE = у'у — b'X'y — сумма квадратов ошибок;

о2 = SSE/(n — k*) — оценка дисперсии ошибки;

var (Ь) = ( Х ' Х ) 1^2 —оценка ковариационной матрицы.

Модель со свободным членом

Ь0 = у — w'b — оценка свободного члена;

var (80) = [1/п + W [X'Xy^w] о2—оценка дисперсии Ь0;

cov (Ь0, 8) = — (Х'М)_1даа2 — оценка ковариации 80 и 8.

Мы показали здесь, как методы регрессионного анализа могут быть описаны с помощью ряда матричных выражений. Соответствую­ щие расчеты легко программируются для ЭВМ и поэтому программы подбора регрессий и определения сопутствующих статистик имеются в большинстве вычислительных центров.

При большом п и особенно k расчеты становятся очень громоздкими, поскольку эти величины определяют порядок матрицы Х' Х, к которой необходимо найти обратную матрицу. При k, равном 100, современные ЭВМ могут осуществить расчет менее чем за две минуты.

2 8 5

Уп р а ж н е н и я

1.Поскольку дивиденды представляют собой составную часть личного дохода, в эконометрическую модель США можно включить уравнение, связываю­ щее дивиденды с уровнем экономической активности. Наиболее логично эту взаимосвязь представить в виде функции дивидендов от дохода корпораций. Самая общая линейная запись имеет вид Dt -- bn + bj^Pt, где Dt и Pt — ди­ виденды и доход в году t. В исследовании поведения в области дивидендов Линт-

нера [6 ] отмечается,что отношения дивидендов к доходу могут считаться приемле­ мыми в весьма широком диапазоне. Если это утверждение правильно для от­ дельной компании, то оно должно быть правильным и для укрупненного объекта изучения.

а) Как такая политика в области распределения дивидендов влияет на коэффициент Ь0 в приведенном уравнении?

б.) Следующие данные взяты из экономического отчета 1968 г. (млрд, долл.):

2.Решите уравнение (5) данной главы.

3.Покажите, что уравнения (5) являются частным случаем нормальных

коэффициентов регрессии сгу + kx на с2х + k2 и оценками коэффициентов рег­ рессии у на х. Проиллюстрируйте полученные результаты (с помощью упражне­ ний 5 и 6).

8 . Выведите выражение В} для модели без свободного члена в том виде,

вкотором оно дано в табл. 2 .

9.Чоу [1] предложил следующую модель для характеристики платы за арен­ ду ЭВМ:

г — b0tblmbzabs

logior = log1060 + &ilog10 t + 62log10 m + £>3logl0a,

где r — месячная плата за пользование ЭВМ; t — время дополнительного цик­ ла ЭВМ; т — объем памяти ЭВМ; а — время выборки из запоминающего уст­ ройства.

а) Какие знаки ожидаются у коэффициентов Ьг, Ь% и Ь3?

б) Допустим, что имеются следующие данные, относящиеся к пяти ЭВМ:

286