Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

Последняя строка таблицы показывает, почему «удобным» ограниче­

оценивание, ни для получения самих оценок. Здесь она дает возмож­ ность получить оценку р, но только в одной частной и ограниченной ситуации, а именно ситуации, при которой имеет смысл определить а так, что их сумма равна нулю. Будет или нет это определение прием­ лемым — зависит от конкретных условий. Однако, если даже это ог­ раничение и приемлемо, оно будет полезным в процессе оценки только тогда, когда оно включено в функцию, как это только что было про­ демонстрировано. Другими словами, оно мало помогает. (Представляет

Наконец, дисперсия оценки любой допускающей оценку функции равна в соответствии с (18) следующему:

var (q'b) — q'Gqo2.

Например, для конкретной величины q', заданной (26), получим

5. ПРОВЕРКА СУЩЕСТВЕННОСТИ

а) ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

Воспользуемся полученной ранее суммой квадратов ошибок

SSE = у'у - Ь’Х'у,

как это показано в (14). Предположим, что она вычитается из общей скорректированной1 суммы квадратов

SST = у'у — пу2,

Скорректированной относительно средней, т. е. измеренной как отклонение от средней (см. раздел б параграфа 4 главы X).

2 9 8

как это было сделано при исследовании регрессии. Тогда получим

SSM = SST — SSE = Ъ'Х'у — пуа.

Эта величина может быть охарактеризована как сумма квадратов, аналогичная SSR в регрессионном анализе, зависящая от подоб­ ранной модели. Такое деление SST на две части может быть обоб­ щено в таблице дисперсионного анализа так же, как это было выпол­ нено в параграфе 4 главы X1. На основе табл. 3 находим

что представляет собой коэффициент детерминации подобранной мо­ дели; это корреспондирует с уравнением (39) из главы X. Подобным же образом получим уравнение, соответствующее (41) из той же главы:

Для проверки существенности модели в целом значение F, получен­ ное по (28), может быть сравнимо с табличным значением F при г — 1 и п — г степенях свободы при условии, что принято предположение о нормальном распределении ошибки.

б) ПРОВЕРКА ОБЩИХ ЛИНЕЙНЫХ ГИПОТЕЗ

Рассмотрим теперь проверку линейной гипотезы. Последняя за­ ключается в предположении о том, что линейная функция равна не­ которой выбранной постоянной. Обсуждение должно ограничиться линейной гипотезой, относящейся к функциям, допускающим оценку, поскольку только они могут быть испытаны. Таким образом, в нашем примере функция а х — а 2 допускает оценку, и гипотеза о том, что

299

а х— а 2 равно некоторой постоянной, скажем т0, может быть испы­ тана; однако не может быть проверена гипотеза о том, что р. = 0.

В общем линейная гипотеза q'b — т0, где тп выбрано и q'b до­ пускает оценку, проверяется путем улучшения модели у = ХЬ + е с учетом данной гипотезы. В связи с этим модель у = ХЬ + е обычно называют полной моделью, а исправления, сделанные с учетом гипо­ тезы, дают так называемую приведенную модель, поскольку последняя представляет собой полную модель, измененную за счет условий, ко­ торые содержат гипотезы. Так, если условие q'b = т 0приводит к тому, что b трансформируется в Ь*, то приведенную модель можно было бы записать как у = Х*Ь*-}-е, где X*— форма X, соответствующая Ъ*. В примере, рассматриваемом в данной главе, Ъ' = [р а х а 2 а 3]. Для испытания гипотезы а 1 =---- а 2, т. е. а г — а 2 = 0 (последнее можно испытать, поскольку а х — а 2 допускает оценку) величина Ь*' составит [р а х а 3]. Матрицы X и X* имеют вид

На основе одного уравнения q'b — т0 не может быть проверено много гипотез, требуется несколько таких уравнений. Обычно они мыслятся в векторной форме Q'b = т, где строки Q'b— линейно-не­ зависимые функции, которые можно оценивать. Таким образом полу­ чим Q'H=Q', и если Q' имеет s строк, то ранг матрицы Q' равен s. На­ пример, гипотеза а х == а 2 = а 3 может быть представлена в форме

Q'b = т как

Гипотеза Q'b ~ т известна как общая линейная гипотеза. Проверка этой гипотезы требует получения суммы квадратов, связанной с по­ добранной полной моделью, и суммы квадратов, определяемой подоб­ ранной приведенной моделью. Первая из них, исходя из (14), равна:

ным значением ^-распределения при числе степеней свободы, равном s и п — г, дает возможность осуществить проверку гипотезы.

Числитель выражения для Е может быть подсчитан как y'XGX'y —

— y'X*G*X*'y. Для того чтобы выполнить это, потребуется найти X*G*X*' для каждой проверяемой гипотезы .Однако поскольку в обеих моделях SSM + SSE = SST, то выражение для F может быть так­ же представлено в следующем виде:

F , п ~ г = (SSEприведенной модели' -SSEполной модели,)/so2

а на основе этого может быть выведена расчетная формула, которая устраняет необходимость определения X*. Эта формула содержит

Ь, а также Q' и т, что представляет собой спецификацию гипотезы. Ее относительно легко рассчитать. Она приводится в следующей теоре­ ме, которая делает возможным проверить гипотезы прямым путем,

коль скоро получено Ь.

Теорема. При подборе линейной модели у = Xb -f- е сумма квад­ ратов, находящаяся в числителе Е-критерия и взятая для испытания общей линейной гипотезы Q'b =^т, причем Q' состоит из s линейно­

Если Q'b — оценка функции Q'b полной модели, то очевидно, что величину Е легко получить, поскольку b = GX'y подсчитано.

301