Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

На основе (16), (27) и (28) получим

Критическое значение К2,з при 5%-ном уровне существенности рав­ но 9,55, так что нулевая гипотеза о том, что данная модель не содержит информации, должна быть отвергнута при данном уровне существен­

при одной и трех степенях свободы. При 5%-ном уровне существен­ ности критическое значение F 1S = 10,13; таким образом, гипотеза а х — а 2 = 0 н е может быть отвергнута при данном уровне сущест­ венности.

Другую представляющую интерес гипотезу можно представить следующим образом: а 1 = а 2 — а 3. Это условие можно записать в уравнение (29) в виде Q'b = 0, и на этой основе по формуле (30) подсчитывается К-критерий, как это показано далее. По (20) и (29) имеем

302

и

Отсюда при

6. СВОДКА РАСЧЕТОВ ПО ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ

В предыдущих параграфах было показано, что алгебра линейных моделей, так же как и линейных регрессий, может быть представлена с помощью матричных выражений, полностью пригодных для того, чтобы быть запрограммированными. Далее перечисляются формулы для определения допускающих оценивание функций, их оценки, дис­ персии оценок и соответствующие формулы дисперсионного анализа. Символом b обозначают вектор параметров модели.

Данные

п — число наблюдений;

у— вектор наблюдений;

у— среднее значение наблюдения;

=Х'У,

Х'у — вектор сумм (правых сторон) нормальных уравнений;

303

G — любая обобщенная обратная к Х 'Х мат­ рица, удовлетворяющая X'XGX'X

-Л'Л;

ИGX'X.

s линейно-независимых оцениваемых функций;

Fs<n_r = [(Q'b— т)’ (Q'GQ)~1(Q'b — m)]lso2 —Е-статистика для гипо­ тезы Q'b — т, где Q' имеет ранг s.

7.ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Вданной главе был приведен пример простейшего типа линейной модели, однако полученные здесь общие результаты в целом распро­ страняются на все линейные модели. Наиболее часто встречается та­ кой тип линейных моделей, который базируется на данных обследо­ вания, где обычно содержится множество группировок (а не одна, как в нашей иллюстрации) и где взаимодействие между группами, принадлежащими к разным группировкам, можно также учесть. Например, с помощью изложенного здесь метода линейных моделей

можно было бы проанализировать данные обследования рынка, в ко­ тором покупатели сгруппированы по возрасту, полу, уровню образо­ вания и получаемому доходу. Сирл [8] рассмотрел еще несколько слу­ чаев и привел пример модели, которая охватывает как обычные рег­ рессионные, так и фиктивные переменные. В этой и во всех других ситуациях, где анализируются данные, которые можно сгруппировать различными путями, непосредственно применимы рассмотренные здесь концепции и процедуры, а именно концепции и методы, которые относятся к выбору функций, допускающих оценки, к их оценкам и

304

к проверке гипотез. Во множестве работ эта проблема излагается с большой подробностью, например в работах Кемпторна [4], Андерсо­ на [1], Шеффе [7] и Грейбилла [2]. Однако ни один из них в явном виде не воспользовался обобщенной обратной матрицей. Дальней­ шее рассмотрение этого подхода можно найти у Рао [6] и Сирла [8]. О том, как эти методы связаны с ковариационным анализом в эконо­ мике, обсуждается в работе Лина и Уайта [5].

Упражнения

var (q'b) --- q'Gqa2 будет единственным для любой матрицы G независимо от того, симметрическая она или нет.

4. Рассмотрите следующую таблицу, элементы которой характеризуют

б) допустим, необходимо проверить гипотезу о том, что нет существенной разницы между сбытом продукта 1 и сбытом продукта 2. Проверяема ли такая гипотеза (иными словами, можете ли вы найти допускающую оценку функции, представляющую эту гипотезу)?

в) сколько имеется линейно-независимых допускающих оценку функций? Почему?

6 . Подходы регрессионного анализа и регрессии, использующей фиктивные переменные, можно скомбинировать. Рассмотрите следующие данные:

3 0 5