Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

XII ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ

ГЛАВА КОРНИ И ВЕКТОРЫ

Характеристические корни и векторы могут применяться в различ­ ных случаях. В этой главе сначала излагаются основные сведения о характеристических корнях и векторах. Затем приводятся примеры их использования при решении конечно-разностных уравнений, кото­ рые встречаются при описании динамических (изменяющихся) систем в экономике, в частности в моделях управления запасами, в макро­ экономических моделях, моделях движения рыночных курсов акций и моделях рыночного равновесия.

Уравнения, о которых пойдет речь в этой главе, получили название конечно-разностных уравнений первого порядка. Обычно они устанав­ ливают связь между значениями переменной (или системы переменных) в различные моменты времени. Элементарным примером такого урав­ нения может служить следующее соотношение: ut — 3 u(_1; где ut и ut-x могут быть скалярными или векторными величинами, из­ меренными соответственно в моменты t и t — 1. Если все значения пе­ ременной и представляют собой скалярные величины, тогда перед нами одно конечно-разностное уравнение, если же и — векторы, то нам задана система конечно-разностных уравнений. В последнем слу­ чае уравнение необязательно имеет столь простой вид, как в приведен­ ном ранее примере, оно может выглядеть следующим образом: щ =

Р — матрица вероятностей перехода. Так как матрицы вероятностей перехода применяются при решении различных практических проб­ лем, в литературе много внимания уделяется уравнениям типа щ =

рассматриваться уравнения, имеющие более общий вид: щ — Аи{_ъ где А — любая квадратная матрица. Предположим, что в этом случае при некоторых значениях t отношение между векторами щ и «г_х принимает совсем простой вид: ut = Х щ ^ где X — скалярная величи-

307

на. Тогда

ut = Aut—i — к и ^ г

и

—^ыг-1-

С этого мы и начнем рассмотрение вопроса о характеристических кор­ нях и векторах. Такая последовательность позволяет непосредственно перейти к решению уравнений ut = A ut^ly благодаря чему мы полу­ чаем возможность исследовать изменения вектора во времени.

1. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КОРНИ

Переходя к исследованию уравнения А щ -г = kutlt опустим в нем индекс t — 1; тогда наше уравнение примет следующий вид:

Другими словами, мы рассматриваем некоторый вектор и, обладаю­ щий следующим свойством: если его умножить слева на квадратную матрицу А, результат будет равен произведению того же вектора на число к. Если существуют такой вектор и такой скаляр, которые удов­ летворяют нашему уравнению, тогда его можно переписать в сле­ дующей форме: Аи — ки = 0, или, что то же самое,

(Символ «0» здесь означает нулевой вектор;впоследующем изложении мы будем этим символом обозначать как нулевой вектор или нулевую матрицу, так и скалярную величину, равную нулю.) В главе VII было показано, что уравнение такого вида может иметь ненулевое решение относительно вектора и лишь в том случае, если ранг матрицы (А —к!) меньше, чем ее порядок; тогда определитель этой матрицы равен нулю, т. е.

Это соотношение образует условие, при котором существует нену­ левой вектор и, служащий решением уравнения (1). Вместе с тем со­ отношение (3) предполагает такие значения к, которые удовлетворяют уравнению (1). Соотношение (3) называется характеристическим уравнением. В том случае, когда А — матрица п-го порядка, характе­ ристическое уравнение имеет вид полинома n-й степени от переменной к; такое уравнение имеет п решений Я,х, к 2, ..., кп. Каждое из этих ре­ шений удовлетворяет уравнению (1). Вообще говоря, можно предполо­ жить, что удастся найти п векторов ult и2, ..., ип, которые соответст­ вуют п значениям переменной к. В дальнейшем мы покажем, что так бывает не всегда, однако пока будем полагать, что всегда существуют п векторов и, соответствующих п решениям характеристического урав­ нения. Тогда каждое значение kt, которое служит решением уравнения (3), также удовлетворяет уравнению (1):

Величины kt обычно называют характеристическими корнями матри­ цы Л, а соответствующие векторы иг — характеристическими векто­

3 0 8

рами матрицы А. Кроме термина «характеристические корни» в этом значении могут употребляться и другие термины; такие корни назы­ вают, например, ^.-корнями, а также характеристическими или собст­ венными значениями. В связи с этим и соответствующие векторы на­ зывают Я-векторами, или собственными векторами. В этой книге всюду будут употребляться термины «характеристические корни» и «характеристические векторы».

Пример. Пусть дана матрица

Характеристическое уравнение всегда составляется таким обра­ зом: X вычитается из каждого диагонального элемента определителя А, а затем полученный определитель приравнивается нулю. Разлагая определитель (5), получаем

(1 — X)2 — 36 = 0,

вектор и будет удовлетворять уравнению (1) А и = Хи. Действительно,

вектор, соответствующий характеристическому корню —5. Аналогич­

Пример. Исследуя зависимость совокупного спроса на автомобили от ряда факторов, Чоу [1] выяснил, что при построении показателя, характеризующего наличный запас автомашин, важно учитывать рас­ пределение последних по срокам службы. Рассмотрим две модели

309

спроса на автомобили; в обеих моделях спрос зависит от наличных запасов автомобилей и их распределения по срокам службы.

Предположим, что автомобили могут использоваться на протяже­ нии одного года, двух или трех лет (при этом можно предполагать, что и больший набор сроков службы не повлияет на технику вычислений). Допустим также, что 100% автомобилей, срок службы которых три года, заменяются новыми, парк машин, прослуживших два года, обновляется лишь на 20%; все машины со сроком службы в один год продолжают эксплуатироваться на протяжении следующего года. Тогда число машин, используемых первый год, определяется 100%-ным обновлением тех автомобилей, у которых не позднее чем год назад истек трехлетний срок службы, и 20%-ным обновлением парка тех машин, у которых не позднее чем год назад истек двухлетний срок службы. Число машин, используемых второй год, совпадает с числом автомо­ билей, у которых не позднее чем год назад истек одногодичный срок службы. Наконец, машины, используемые на протяжении третьего

Поскольку все выбывающие из строя автомобили заменяются но­ выми, общий запас автомобилей (сумма элементов вектора щ) из года в год остается прежним. Вместе с тем описанная модель позволяет ответить на следующий вопрос: может ли существовать при данных условиях не изменяющееся во времени распределение машин по срокам службы. В случае, если ut+l = Aut — щ, значения вектора щ будут оставаться одними и теми же на любой момент времени. Поэтому мы можем выяснить, существует ли такой вектор и (индекс t, характе­ ризующий время, здесь можно опустить), который удовлетворяет урав­ нению (1) Аи = Хи при X = 1.

Подставив соответствующие числовые значения в характеристи­

1 Методы определения характеристических векторов будут рассмотрены в па­ раграфе 2.

3J0