Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

ленную путем суммирования элементов соответствующих столбцов А, а произведение А гХс1С— вектор-столбец, полученный в результате суммирования элементов соответствующих строк Л. Аналогичным обра­ зом можно показать, что 1/ А ТХс 1с представляет собой скалярную ве­ личину, равную сумме всех элементов матрицы Л, а \'г 1г = г .

Например,

Легко показать, что

где J r — квадратная матрица порядка г, все элементы которой равны

имеют одинаковый вид, при этом каждый элемент строки в матрицепроизведении представляет собой сумму элементов соответствующего

каждый элемент столбца в матрице-произведении представляет собой сумму элементов соответствующей строки исходной матрицы Л. На основе этих рассуждений можно показать, что

352

и

J 4 X 2 - Д / 3 X 2 — 1 6 / 4 Х 2 -

Обобщая операции с /-матрицами, можно ввести такую матрицу, которая представляет собой линейную функцию от 1Т и J T, а именно:

VT — a l r -j- b j г,

где а и 6 обозначают некие не равные нулю скалярные величины. При­ мером такой матрицы может служить F a:

Записав VTв виде Vr (а, Ь) и самостоятельно проведя соответствующие вычисления, читатель может убедиться в справедливости следующих соотношений:

V'r =

Последнее из этих соотношений позволяет прийти к следующему выводу:

[Vr {a, b)]2 = Vr (а2, 2ab + rb2).

Заменив в приведенном ранее выражении | VT(a, b)\ а на а—Я, мы видим, что один характеристический корень Vr (а, Ь) равен {а + rb), а осталь­ ные (г— 1) корней равны а.

353

Пример. В параграфе 3 главы III было показано, что сумму квадра*

тов

а

55 = У (хг—х)2

можно выразить следующим образом:

равен —. В таком случае

Отсюда можно вывести следующие соотношения:

причем матрица ( / — Un) имеет один характеристический корень, рав­ ный 0, и (п — 1) характеристических корней, равных 1. Следовательно, ранг этой матрицы равен п — 1.

Предположим, что х — вектор независимых случайных величин, причем математическое ожидание каждой из этих величин равно р, а дисперсия составляет о2. В таком случае х* можно записать в форме

Xi = р + et и

S5 = ^ (М- x f = х'' (/ - Un) х = 2 (а, - e f = а' ( I ~ U n) е,

где е — вектор случайных величин а,. Матрица / — Un имеет характе­

— п —(п— 1). Следовательно (см. раздел в параграфе 2 главы XII), / — Un может быть приведена к канонической форме. Далее, если ве­ личины Xi распределены в соответствии с нормальным законом распре­ деления, е представляет собой вектор нормально распределенных ве­ личин, имеющих нулевое математическое ожидание и ковариационную матрицу а2/. Следовательно, мы на основе соображений, приведенных в примере из раздела г параграфа 7 главы XII, можем утверждать, что

354

3.ИДЕМПОТЕНТНЫЕ МАТРИЦЫ

Вглавах VII и XI рассматривалась матрица Я, обладающая таким свойством: Я2 = Я. Эту матрицу называют идемпотентной. Таким

образом, если А представляет собой идемпотентную матрицу, то А 2 = = А , Л3 = Л , Л4 = Л ит. д. Так как Л2 может существовать лишь тог­ да, когда матрица Л квадратна, все идемпотентные матрицы имеют квад­

Грейбилл [2] детально исследовал свойства идемпотентных матриц; некоторые из них в краткой форме приведены далее. При этом на про­ тяжении последующего изложения всюду будет предполагаться, что матрица Л идемпотентна.

1. Единственная идемпотентная матрица, которая не вырождена, это единичная матрица. (Допустим, существует Л -1, в таком случае, умножив обе части уравнения Л2 = Л на Л -1, получаем Л = /.)

2. Матрица I — Л также идемпотентна:

(/ — A f = l + Л2 —2Л = / + Л —2Л = / —Л.

3. Если матрицы Л и В идемпотентны, то и их произведение АВ — тоже идемпотентная матрица при условии, что АВ — ВА:

(АВ)2 = АВАВ = А 2В2, если ВА = АВ, и А 2В2 = АВ.

4. Если матрица Р ортогональна, а матрица Л идемпотентна, то матрица Р'АР идемпотентна:

(P'APf = Р'АРР'АР = Р'А2Р = Р'АР.

5. Характеристические корни идемпотентной матрицы равны либо О, либо 1. (Допустим, что X — характеристический корень, а и — соответ­ ствующий характеристический вектор матрицы Л; тогда Аи = Хи,

X2—X = 0, это уравнение имеет лишь следующие корни: X = 0 и X = 1.)

6.Количество характеристических корней матрицы Л, равных 1, совпадает с рангом этой матрицы. (Допустим, что г (А) — г, a D —диа­ гональная матрица, содержащая характеристические корни матрицы Л; г (D) — г (Л) = г. Поскольку же все ненулевые элементы матри­ цы D образуют только единицы, их количество должно быть равно г.)

7.След идемпотентной матрицы равен ее рангу. (След матрицы Л ра­ вен сумме ее характеристических корней, которая в соответствии со свойством 6 должна составлять г.)

355

8. В общем случае идемпотентная матрица имеет вид А = Х (Y X )_1У при условии, что существует матрица (FX)-1:

А 2 = X ( У Х У ^ Х {YX Y'Y = X (Y X Y 'Y = А.

Если А — симметрическая матрица, то ее можно представить в ви­ де А = X (Х 'Х )^ Х ' при условии, что матрица Х'Х не вырождена.

Перечисленные свойства относятся к любой идемпотентной матрице. Возможности применения симметрических идемпотентных матриц в задачах математической статистики довольно обстоятельно рассма­ триваются в работе Грейбилла [2]. Он показал, что идемпотентность играет важную роль при исследовании тех свойств распределения, которыми обладают квадратичные формы. Из множества теорем, рас­ смотренных Грейбиллом, приведем в качестве иллюстрации лишь две.

Теорема 1 (теорема 4.19 в книге Грейбилла). Допустим, что х пред­ ставляет собой вектор случайных величин, имеющих математическое ожидание, равное нулю, и ковариационную матрицу а2/. В таком случае ожидаемое значение произведения х'Ах, где А — идемпотент­

Поскольку величины x независимы, их математическое ожидание рав­ но нулю, а дисперсия составляет а2, то

Е (х'Ах) = У ан а2 + 2 Yj atj (0) = а2 tr (Л) =

ii=EJ

=а22 (характеристических корней матрицы А).

Так как А — идемпотентная матрица ранга г, то

Е (х'Ах) = го2.

Заметим, что в данном случае нам не требуется знать, как распределе­ ны величины х, нужно только быть уверенным в том, что их математи­ ческое ожидание равно нулю, что они независимы и характеризуются одной и той же дисперсией.

Выводы из теоремы 1 можно сразу же применить к сумме квадратов, рассмотренной в конце предыдущего параграфа:

55 = V (Xi-1с)2= * '(/ —Un) х - е' (I — Un) е.

г —1

Вектор е теперь играет роль вектора х из теоремы 1, а так как / — Un представляет собой идемпотентную матрицу ранга п — 1, то

Е (55) = Е le' (I - Un)e] = а2 х ранг (/ — Un) = (п— 1)а2.

356