ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 133
Скачиваний: 0
ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
1. Найти выходной сигнал системы |
|
|
|
z(0 + |
2i(0 + z(0 = *(f); |
z ( 0) = l, г ( 0) ------1; |
|
j/(0 = |
3z(0 + z ( 0 . |
|
|
|
|
_ |
_ t_ |
.если на вход с момента времени <=0 поступает сигнал x(t)— е |
3 . |
||
2. Составить структурную схему указанной в первой задаче системы для произвольных входных сигналов и произвольных начальных условий z(Q)=zo,
2(0)=2о1. ,
§ 1.8. МАТРИЦА ВЕСОВЫХ ФУНКЦИЙ МНОГОМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
Рассмотрим линейную стационарную систему с п выходами и т входами, задаваемую дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициента ми
Ук(0 = акІ Уі (0 + |
• • ■+ |
акк Ук (О Н-------Ь акп Уп (0 + ^А1 х 1(0 + |
|
+ ' — Н bklx.(£) |
+■• • • -1- bkmx m{t). |
(1.60) |
|
Веоовой функцией |
g kl (t) |
от г'-го входа |
к /г-му выходу назы |
вается реакция системы на /г-ом выходе при подаче на і-ый вход 8 -функции при условии, что на остальные входы сигналы не по даются.
Изображение весовой функции gki(t) в таком случае в соот
ветствии с (1.23) будет равно: |
|
gki (Р) = W hi (р ) L [8 (0] = W ki {р), |
(1.61) |
где W ki{p) — передаточная функция от і-го входа к /е-му выходу. Переходя к оригиналам, получаем
Ski№= L - '[ W kl{p)\. |
(1.62) |
Таким образом, матрица весовых функций многомерной системы равна обратному преобразованию Лапласа от матрицы переда точных функций многомерной системы.
П р и м е р . Найдем матрицу весовых функций системы
1УЛ*) |
= - 2У \(*)+УЛ *)+х Л*) + х гУ) |
ЗТ(0) = |
0; (163) |
\ Уа (0 |
— — Уі(() ~ 4у2(0 + 2х2(0 |
у 2(0) = |
0. |
Определим сначала матрицу передаточных функций этой си стемы. Преобразовав по Лапласу левые и правые части системы
57
(1.63), получим линейную алгебраическую систему уравнений
относительно неизвестных Ц\(р) и уъ(р)- |
I |
( ( ^ + 2)Ух (Р) - 1/2 (Р) = + + |
ІР) +}*2 [Р)\ |
\1 Уі(р) + (Р + 4)^2 (р) = 0 + (р) + 2х2 (р).
Решая ее по правилу Крамера, получим |
|
|
|
|
||||||||||
Уі (Р) = |
1 |
|
|
1 |
— г |
|
+ |
(Р) + |
1 |
- |
1 |
■*2 ІР) 1 _ |
||
|
|
|
О |
/7 + 4 |
|
2 /7 |
+ 4 |
|||||||
А (Р) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(/7 + |
ЗР |
|
|
( р + |
З)2 |
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
Р + 2 1 |
|
* і (Р)+ |
Р + 2 1 х2 (р) |
|||||||
|
А [Р) |
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
О |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
||
|
— 1 |
|
+ (Р) + |
•2/; .+ о І -*2 (Р)> |
|
|
|
|||||||
(Р + |
З)2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
(/> + |
3)s |
|
|
|
|
|
||||||
где |
р + 2 - 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Д {р) = |
|
= |
/>3 4 |
6/7 + |
9 = (р + |
З)2. |
||||||||
|
1 |
|
р + 4 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
функций |
имеет вид: |
||||||
В таком случае матрица |
передаточных |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Р + 4 |
|
/7 + |
6 |
|
|
|
||
|
W(p) = |
(Р + З)2 |
(р + |
З)2 |
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
2/7 + |
3 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
(р + З)2 |
(Р + |
3/= |
|
|
|
||||
Далее имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
g n ( t ) = L - i \ - Р ± ± - = L- |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
(р + 3)2+ /7 + 3 |
|
||||||||||||
|
|
L{р + З)2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
= |
te~ 3/ |
е-3/ = |
|
|
+ |
1] ; |
|
|
||||
г « (0 = |
|
|
_____ 1_ |
|
— — / е - з / . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
(/> +3)2J |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
g\2 (0 = |
^ 1 |
/7 + |
6 |
|
/ -7 |
|
3 |
|
' |
1 |
1 |
|||
(/> + |
3)2J |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
k p + 3 ) 2 |
1 р |
r 3 j |
||||||
|
|
= |
3/е_3/ + |
е_3/ = |
е_3/ [3^ + |
1 ]. |
|
|
||||||
g M = |
L ' |
|
2/7 + |
3 |
|
Lr |
|
|
|
|
+ |
|
||
|
(Р + |
3)2J |
|
|
|
ІР + |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
З)2 |
/7+3 |
||||||
|
= - |
3/е~3' + 2е~3' = |
е ~ зі [ - |
31 + 2]. |
|
|||||||||
58
Итак, матрица весовых функций системы равна:
0 ( 0 = Ге-3<(* + *) |
е_И(3* + 1 ) |
' |
|_е-3' (— 0 |
е“и ( - 3 * + 2) _' |
|
§ 1.9. ВЫХОДНОЙ СИГНАЛ МНОГОМЕРНОЙ ЛИНЕЙНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ С НЕНУЛЕВЫМИ
НАЧАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ
Рассмотрим линейную стационарную систему с п входами и.
п выходами, задаваемую дифференциальными уравнениями ви да:
I У k (і) — Q>k\ У і ( О Р ‘ + а кп Уп ( О + х к ( 0 ; |
,, |
лА , |
I Л ( 0 ) = Л о - |
( |
} |
В еилуугого, что интеграл от 8-функции есть единичная функция;, система (1.64) будет эквивалентна системе
і У к (^) — п к \ У і ( О "И ‘ ‘ •+ О кпУ п ( 0 + х к (^) + УкйЪ (t)'>
\Ук (0)= 0.
Втаком случае изображение у к (р) сигнала y k(t), ■имеющего ме сто на к-ом выходе, будет равно:
Ук (Р) = Wkx К |
(р) + |
УюІ н-------Р W kn [ха (р) + |
у м \. |
|
||
Переходя к оригиналам с учетом интеграла Дюамеля |
(1.53), |
по |
||||
лучаем |
|
|
|
|
|
|
»I |
|
n |
t |
|
|
|
Ук (*) — Egfc,(0 Ѵ/0 + S |
f gki [t - i)Xi{-z)dx. |
(1.65) |
||||
|
|
/«10 |
|
|
|
|
Последнее равенство, |
если |
ввести векторные функции |
y(t) |
и |
||
—>■ |
|
|
|
|
|
|
x(t)j может быть весьма компактно записано в матричной форме-
t |
|
~y{t)^G[t) у(0) + j G ( t - x)x(x)dx. |
(1.66) |
о |
|
ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
1. Найдите значение выходных сигналов уЦ) =
)'і U)
в момент времени1
Уі (О
1=1 с для системы, разобранной в примере § |
7, если Ці(G)= 2 , у2(0 ) = —1, а> |
на вход системы поступают сигналы*! (1) = е*, |
* 2(1)=1. |
5Д
§ 1.10. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
В начале этого параграфа введем понятие установившейся реакции у«(г!) системы на входной сигнал x(t).
Пусть сигнал x(t) начал поступать на вход системы в момент
<
времени t0. Тогда выходной сигнал у (t, t0) = g(t—x)x(x)dx яв-
to
ляется функцией двух переменных: текущего времени t и момен та времени t0. Реакция системы y(t, /0) называется установив шейся, если момент tо начала поступления входного сигнала бес конечно удален в прошлое
|
t |
g (( — x) x (x) dx. |
|
yco(0=Hm у(М о) = |
f |
(1.67) |
|
Co->- OO |
—CO |
|
|
Заменой переменной t —x = x' в последнем интеграле установив шаяся реакция системы у«, {£) может быть записана в виде:
|
|
со |
|
|
|
|
|
усо (0 = j £(*) X (t |
—x)dx. |
|
(1.68) |
||
|
|
о |
|
|
|
|
[в выражении (1.68) ух |
опущены штрихи]. |
|
стационар |
|||
Рассмотрим установившуюся реакцию линейной |
||||||
ной системы с весовой функцией g(t) |
на входной сигнал гармони |
|||||
ческого вида |
X (і) = |
ae'w = а cos ші -f- ja sin a>t. |
|
|
||
|
|
|
||||
В соответствии с (1.68) |
имеем |
|
|
|
|
|
|
о о |
со |
|
|
|
|
У«, (t)= J g (?) x(t —x) dx = j |
g (х)аеіш{‘-~) dx = |
|
||||
|
o |
b |
|
|
|
|
|
|
oo |
|
|
|
|
|
= |
aeJu>‘ \ g {x) |
dx. |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
Учитывая, что |
W (ja>) = J g (x) e- -'“' |
dx, |
получаем |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
Усо (t) = |
W (/'(о) а&ш: = I W ( » I а |
|
. |
( i.69) |
||
Таким образом, |
установившийся выходной сигнал y°°(t), |
явля |
||||
ющийся реакцией линейной стационарной системы на гармониче ский входной сигнал вновь является функцией гармониче ского вида. При этом амплитуда выходного сигнала увеличивает
ся в I W (/а>) I раз, |
а фаза смещается относительно фазы вход |
ного сигнала на arg |
W (y‘u>). |
•60
Комплекснозначная функция W (уш) переменного |
ш, |
чис |
ленно равная значению передаточной функции при р = |
/ш, |
на |
зывается комплексным коэффициентом передачи или амплитуд
но-фазовой характеристикой |
(АФХ) системы. Модуль |
| W (у'ш)| |
||
амплитудно-фазовой характеристики |
называется |
амплитудно- |
||
частотной характеристикой |
(АЧХ) |
системы, |
а |
аргумент |
амплитудно-фазовой характеристики |
argW7(y’cu) |
— фазо-ча |
||
стотной характеристикой (ФЧХ) системы. Иногда в рассмотре ние вводятся действительная U (ш) и мнимая V (ш) части комплѳкснозиачной функции W (у'ш) = U (а>) + уѴ(ш), £7(o>)=Re W(jw) и V(u>) = \ m W (/ш), которые называются действитель ной и мнимой частотными характеристиками системы. При фик сированном значении частоты ш комплексное число W (у'ш) мо. жно трактовать как вектор на комплексной плоскости. При из менении ш от 0 до оо этот вектор своим концом очертит неко торую кривую, которую принято называть годографом амплитуд но-фазовой характеристики системы.
П р и м ер . Требуется |
|
определить |
частотные |
|
характеристики |
|||||||||
системы с передаточной функцией |
W (р) = — — — . |
|
||||||||||||
Амплитудно-фазовая |
характеристика |
|
Тр + 1 |
|
||||||||||
этой |
системы равна |
|||||||||||||
W(ja>)= — |
—.Амплитудно-частотная характеристика|1ГХАи)|= |
|||||||||||||
|
7 > + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г/ш |
|
|
Г® |
.Фазо-частотная характеристика cs(<u)=arg |
||||||||||||
V T W + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гуш+1 |
||
= —----arctg Гш. |
Представляя |
|
АФХ |
в |
декартовой |
форме |
||||||||
тѵ //. ч |
Гуш |
|
Г2<и2 + |
уТш |
|
получаем значения ве- |
||||||||
W (/to) = |
---------- = |
---- -------------, |
||||||||||||
|
|
Гу‘ш+1 |
|
|
Г2ш2 + |
1 |
|
|
|
|
|
|
||
ществѳнной и мнимой фазо-частотных характеристик |
|
|||||||||||||
|
|
U H |
Г2 СО2 |
|
|
, |
= |
|
Го) |
|
|
|
||
|
|
------------- |
V (ш) |
------------- |
|
|
|
|||||||
|
|
|
Г2ш2+ 1 |
|
|
Г2ш2+ 1 |
|
|
|
|||||
Учитывая, |
что функции |
|
U (ш) и |
|
1/(ш) |
связаны |
|
соотношением |
||||||
и Ц ш) + П2(ш) = |
Г4 ш4 |
+ |
|
Г2 ш2 |
|
|
|
7 2 ш2 |
=Г'(ш ), |
|||||
— — |
---- |
— — ----- = — |
|
|||||||||||
1 / |
1 |
V / |
/ ' *0 О I |
\0 |
1 |
/ ' 'О |
о . |
|
ОТ* о 4 . |
V /* |
||||
|
|
|
(Г2Ш2+1)2 |
|
(Г- ш2+1)2 |
Г2ш2 + 1 |
|
|||||||
которое может быть записано |
|
в виде уравнения окружности |
||||||||||||
и - |
1 |
+ 1/2 = |
1 |
|
получаем, что годограф АФХпредстав- |
|||||||||
ляет |
2 |
верхнюю часть |
окружности |
(рис. 1.20). Вектор |
||||||||||
собой |
||||||||||||||
W (у ш) |
скользит только по верхней части окружности в силу |
|||||||||||||
того, что |
ТС |
|
|
|
|
при |
|
всех положительных |
||||||
<р= —— arcfg Гш> 0 |
|
|||||||||||||
значениях |
ш>0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
61