ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 128
Скачиваний: 0
гак и интегральным оператором
t
/ — X
е т x(t)dx.
о
Последнее соотношение вытекает из того, что
k - V
g { t ) = L -
Тр + 1 J
Следует заметить, что интеграл Дюамеля иногда представля ют в несколько иной форме, чем (1.53). Соотношение (1.52) мо жет быть представлено в виде:
y(P) = — |
W ІР) \рх (Р) — *о] + — w (Р)х (0). |
Р |
Р |
Применяя к последнему выражению теорему о свертке и учи
тывая, что L-1 і Щ /?)— = h [ i ) и L~l \ рх ( р) — х 0] = X (t)i
L |
Р |
получаем |
|
|
(1.54) |
Последняя форма записи интеграла Дюамеля удобна в тех случаях, когда известна переходная функция h(t) системы. Функ ция h(t) может быть, например, непосредственно получена из эксперимента путем измерения реакции системы на единичный входной сигнал. Весовая функция g(t) непосредственно из экс перимента получена быть не может, так как о-функцию нельзя представить в виде реального сигнала любой физической приро ды.
В дальнейшем будем пользоваться лишь представлением интеграла Дюамеля в форме (1.53).
Рассмотрим теперь связь между входным и выходным сигна лами для случая, когда входной сигнал x(t) начинает поступать на вход системы в произвольный момент времени t0, не обяза тельно равный нулю
X (t) = 0 при t<C_ t0.
Если to>0, то условие х(і) =0 при /< 0 выполняется, и в силу формулы (1.53) имеем
t |
і |
У ( 0 = j g V — т)-*(х) dz = |
j g(t - т) * (x) dx- |
0 |
(0 |
52
Изменение нижнего предела интегрирования здесь следует из того, что на отрезке интегрирования [0, /0] функция х(х) =0. Ес ли ^о<[0, то функция х(1) не является оригиналом и не имеет изо бражения по Лапласу. Для того, чтобы обойти эту трудность, рассмотрим вспомогательную функцию x(t + t0), задержа;нную по отношению к входному сигналу на время (—10) (рис. 1.18). Функ ция x(t+t0), рассматриваемая как функция переменного t, удовлетворяет условию
x(t + tü) =0 при /!<0.
Рис. 1.18. К выводу формулы интегра ла Дюамеля
Выходной сигнал y\(t), являющийся реакцией на входной сигнал x(t+t0), в соответствии с (1.53). будет равен:
t
Уі(*) = J g [t — x)x (t + t0) dx.
0
В силу стационарности системы выходной сигнал y(t), соответ ствующий сигналу x(t), будет равен сигналу y t (t), взятому в момент времени .т = t — t0 (см. рис. 1.18).
і- Іо
y ( t ) = y i ( t — to) = f g (t - t0 - *)x (T + tQ)di-
6
Путем замены переменной интегрирования х -)-£0= т ' в интеграле
получаем y(t) = J |
dx'. |
Опуская штрихи в по- |
^0 |
|
|
следнем равенстве, окончательно имеемУ |
|
|
У (*) = |
J g [t — *)x(x)dx. |
(1.55) |
Итак, входной x(t) и выходной y(t) сигналы связаны соотноше нием (1.55), справедливым для произвольного момента времени to начала поступления входного сигнала. Это соотношение, обоб щающее формулу (1.53), также будем называть интегралом Дюамеля.
53
ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
1. Весовая функция системы g ( t ) = 2 е~ 2^І (/). Найти значение выходного сигнала этой системы в момент времени t=2, если на вход системы подается
сигнал x(t) = 2е4'. При решении задачи передаточной функцией не пользо ваться.
Ответ: |
— |
[es ~ e - 4l. |
|
|
3 |
1 |
|
|
|
3р + |
1 |
2. Передаточная функция системы равна W(p) = |
о. Найти опера |
||
тор этой системы и записать его в двух формах: в форме дифференциального уравнения и в интегральной форме.
§ 1.7. ВЫХОДНОЙ СИГНАЛ ОДНОМЕРНОЙ ЛИНЕЙНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ С НЕНУЛЕВЫМИ НАЧАЛЬНЫМИ
УСЛОВИЯМИ
Пусть одномерная линейная стационарная система имеет пе
редаточную функцию W \р)= ^ |
и задается оператором вида: |
|
|
А [р\ |
|
Г а) |
a„zW{t)\- an_xz^-V{t) + |
■■■± a lzM{t)+a0z(i)-=x(t)m |
I б) |
y{t) = bmz ('mHt) + |
-------1-bxz^(t)-\-bQz{t) |
|
|
(1.56) |
Пусть далее начальные условия дифференциального уравнения не обязательно являются нулевыми.
2(ч-і) (0) = *«-»; . . . . 2W(0) = г>0, z (0) = z0°-
Начальное условие по выходному сигналу у ( 0) в таком случае имеет вид:
y(°) = bmz™+ £m_ i2 '" - 4 ------- |
г M o 1 + bnz 0°. |
Преобразовав по Лапласу с учетом начальных условий диффе ренциальное уравнение (1.56,а), получим
zip) |
, A~l {p) |
о J _ |
[ а - ^ - ' Ч р ) т П—\ |
> |
|
zip)-- |
+ |
|
А (р) |
0 |
|
А(р) |
А (р) |
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
А ~ 1(р) = апрп-' |
Н-------і-агр + щ; |
|
|
||
А ' Чр ) ~ апРп~' |
Н------- |
\-*і+іР + а» |
|
|
|
А -(П-Х) {р) = дя. |
|
|
|
|
|
54
Из дифференциального соотношения (1.56,6) получаем
|
У (Р ) = В ( р ) г (р) - 5 - 1(р) z0° --------- |
(^) zm-it |
||
где |
В-'[р) = |
Ътря-1-\------- |
\-Ь2р + Ь » |
|
|
ß-(m-l) _ _ |
£ - m = |
ß-{m+ ] ) = |
^ - ( n - l ) = Q . |
В таком случае
У(Р) = ~ ^ ^ ( Р } + |
В(Р)А-Ңр) - В - Ч р ) |
|
А(р) |
|
А(р) |
+ |
|
В(р)Ап~1(р) 3 ,я_ |
гох + ■■■+ |
||
. >1 (/» |
|
А{р) |
*о° +
4P) гП—1
(1.57)
На основании теоремы об изображении свертки имеем
t |
П— 1 |
|
У (0 = J s ( t - |
dl + £ф,(*)го0’ |
(1.58) |
О |
/='о■ |
|
где
В(р)А-ѵ+» - В - ^ Ц р )
А(р)
Структурная схема системы с учетом ненулевых начальных ус ловий имеет вид (рис. 1.19).
Р и с. 1.19. Структурная схема системы с учетом начальных условий
Выше мы установили, что операторы, задаваемые линейными дифференциальными уравнениями с ненулевыми начальными ус ловиями, являются нелинейными. Бели же начальные условия рассматривать не как фиксированные постоянные, а как допол нительные входные сигналы, как это имеет место на рис. 1.19, то такую систему следует считать линейной.
55
П р и м е р . Найти выходной сигнал ^С-цепочки (см. рис. 1.6) при условии, что на вход системы поступает сигнал х(і) = U\(t), а конденсатор С в начальный момент времени заряжен до на пряжения ди
электрические процессы в этой цепочке описываются соотно шениями
u2{t) = |
Ri{t); |
iil [t) = ivc{t) + u2{t); |
||
|
|
t |
|
t |
uc(t)= uc0 + |
|
г(т) d^ = ucQ+ £ ^ - |и2(т)</т = |
||
|
и |
|
|
О |
|
t |
|
|
|
= а |
+ |
u2(x)dX , |
где а = 1/CR. |
|
а |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
It |
t |
|
|
|
р |
u„J)d^=z{t) |
то эти соотношения могут |
||
Если обозначить— _j_ J |
||||
а |
о |
|
|
|
быть записаны в виде:
z( l)+a z(t)=ul (t); z (0) = z0= иJ a ;
u2(t)=z(t). |
|
|
Проведя преобразование Лапласа, получим |
|
|
pz(p)—z( 0) + az(p) = и+р); |
|
|
u2(p)=pz(p)—z(0). |
|
|
Далее имеем |
|
|
и2(р) = р '«1 (P) 1 zo |
-Z o = —^— ihiP) + [ |
P |
p + a p + a \ |
P + a |
P +0- |
ll «о- J
(1.59)
Мы видим, что выражение (1.59) полностью соответствует об щей формуле (1.57), так как в данном случае
В(р)=р, В~'(р) = \, А( р)=р+а, А~Ңр) = 1.
Окончательно получаем |
|
|
|
- z.-1 |
а |
Ue~at — azQe~at— |
|
ІР+ a\ |
|||
P +a + (p) J |
|
||
= ІУ - |
ил ) е~а1. |
|
56