ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 126
Скачиваний: 0
(рис. 1.16,а). Здесь уместно сделать следующее замечание. Пе редаточной функции вида (1.41) соответствует также оператор, зада ваемый соотношением
аяУ{п1(*) +------1- «іУ 0 it) + а0у (t) = bQx (t) -1-----+ bmxW(t).
(1.4 4)
Этот оператор отличается от оператора (1.42) —(1.43) тем, что сначала осуществляется m-кратное дифференцирование входного сигнала x(t), а далее определяется решение дифференциального уравнения п-го -порядка с постоянными коэффициентами а0, а\,.., ап. Этот оператор определен лишь для входных сигналов, имею щих т производных, которые удовлетворяют в нулевой точке ус ловию х(0) =0, ... , л("‘-Ч(0)=0. Переходной функции этот опера тор не имеет, так как входной сигнал вида x(t) — l(t) не являет ся дифференцируемым. Для входных сигналов, дифференцируе
мых пг раз, оба оператора совпадают, т. е. |
|
||
|
|
A t X (t ) = A2x(t), |
(1.45) |
где А, |
— оператор, |
задаваемый соотношениями |
(1.42) — |
|
(1-43); |
. |
|
Ач — оператор, задаваемый соотношениями (1.44); |
|
||
x(t) |
— функция, имеющая пг производных. |
|
|
а)
Р и с . 1.16. Переходные функции
Докажем (1.45). Применяя преобразование Лапласа к левой и правой частям соотношений (1.42) — (1.43), с учетом того, что z (0) =0, . .. , *1 (0) = 0, получим
2 (р) = ---- —---- — ------ |
; X (р), |
|
апРп + - ' ■Jr aiPJr ao |
||
Уі [Р) = ФтРт1------- |
'rbxp + bü)z{p). |
|
Следовательно, |
|
|
w - |
|
х\ р ) . |
апр п + - - - - г а хр |
+ а0 |
|
47
Далее, применяя преобразование Лапласа к левой и правой частям соотношения (1-44), с учетом того, что *(0) =0 ..., _\;(m-l)(0) =0, получаем
У2 (Р) = КгРт + - - - + |
ъіР + bp д р) |
ап Р" + • • • + Oj р + Q-0 |
|
В таком случае У\(р) = у*(р) |
и, следовательно, Уі(Ь)=Уі (і). |
Следует подчеркнуть, что физике процессов передачи сигналов линейными стационарными системами с передаточной функцией
W (р)= ^ ^ в основном соответствует оператор вида (1.43) —
А (р)
(1.44), Примером этого является оператор (1.27), описывающий
передающие свойства 7?С-цепочки |
с передаточной |
функцией |
|||||
W(p) —— —— |
И, наконец, отметим |
следующее. Если |
ввести |
||||
Тр + 1 |
|
|
anD + ■• • + |
D + |
а0 и |
||
дифференциальные операторы A (D) = |
|||||||
В (D) = bmDm+ |
• • ■+ b jD + é (/ где D — |
|
то соотношения |
||||
(1.42) к (1.43) и соотношение (1.44) |
|
могут |
быть |
формально |
|||
записаны |
в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
A(D)z{t) = x(t)- |
|
|
|
|
|
|
|
|
A (D)y (t) = В (D)x(i). |
|
|
|||
|
y(t) = B(D)z(t); |
|
|
|
|
|
|
Применяя формальное деление на A(D), для обоих случаев по |
|||||||
лучим |
|
|
|
|
В(Р) |
|
|
y { t ) = |
^ )x { t ) = W ( D ) x { t y , |
W (D) = |
|
(1.46) |
|||
|
|
|
|
|
A (D) |
|
|
Отчетливого математического смысла выражения (1.46) не имеют и являются по существу символической записью опера торов вида (1.42) —(1.43) и (1.44). Однако такая запись приме няется в литературе, причем символ W(D) принято называть пе редаточной функцией системы в операторной форме.
Весовая функция g(t) линейной стационарной системы
Весовой функцией g(t) линейной стационарной системы на зывается ее реакция на входной сигнал, равный 8(£)-функции. Иногда весовую функцию также принято называть импульсной переходной функцией.
В силу данного определения изображение g(p) весовой функ ции g(t) линейной стационарной системы с передаточной функ цией W(p) будет равно:
g ( p ) - W (p ) L [ b { t) \ = W(p). |
(1.47) |
48
В таком случае весовая функция является обратным преобра зованием Лапласа от передаточной функции системы
g{t) = L-'[W{p)). |
(1-48) |
Если левую и правую части соотношения (1.48) разделить на р и взять от них обратные преобразования Лапласа, то получим
Ь~1 g ( p ) — = |
L |
W(p) — |
||
[ |
р |
|
L |
р J |
По теореме об изображении интеграла имеем |
||||
L- 1 |
|
|
g (■=) <*• |
|
|
|
|
О |
|
Учитывая ■-1 Щ р ) — |
= h(t)t получаем |
|
||
р |
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
А (0 = |
J g[*) di, |
(1.49) |
||
что переходная функция является интегралом от весовой функ ции.
Дифференцируя (1.49) по верхнему пределу, получаем, что весовая функция является производной от переходной функ ции
g ( t ) - d- ^ P . |
(1.50) |
at |
|
Весовая функция g(t), как уже было указано, может быть найдена как оригинал от передаточной функции g(t) =L~l[W(p)].
П р и м е р . Определить весовые функции g\(t) и g2(t) ей-
Trt
стем с передаточными функциями |
|
W x{p) = |
----- — и W 2(p) = |
||
__ |
к |
|
|
|
Тр + 1 |
|
|
|
|
||
~ |
тр + Г |
|
|
|
t__ |
|
Г тр 1 |
|
|
|
|
|
I fl |
|
1 |
т . |
|
|
Тр +1 |
|
|
Тр + 1. |
|
|
к |
k |
г |
• |
|
|
Тр + 1 |
— е |
|
||
|
Т |
|
|
|
|
Графики этих функций изображены на рис. 1.17,а и б.
4. Изд. № 5312 |
49 |
Кроме того, весовая функция может быть найдена как про изводная от переходной функции h(t), определенной методом ре шения дифференциального уравнения. Найдем этим методом
весовые функции gi(t) и gz(t) данных в последнем примере си стем. В соответствии с (1.40) имеем
|
|
|
A |
t |
|
|
gi Ѵ) = |
~ і г Аі [t) |
I (Oe“ |
= 8(^)e |
1(0 = |
||
|
at |
|
dt |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T ; |
|
g2( * ) - - £ - M O |
|
|
k |
г |
||
|
|
|
||||
При вычислении g\(t) |
путем дифференцирования следует учиты |
|||||
вать разрыв, который терпит функция h{(t) |
в точке 0=0, так как |
|||||
, |
(О |
t < |
0; |
|
|
|
А і(0— |
1 е |
|
(рис. 1.16,а). |
|
|
|
|
т £>0 |
|
|
|
||
Р и с . 1.17. Весовые функции
Отметим, что реакция g(t) всех реальных систем на 8-функ цию 8(£), подаваемую на вход в момент времени t=0, отлична от нуля лишь при значениях времени t, больших нуля,
О |
t < 0; |
Ф 0 |
(1.51) |
t ]> 0. |
Условие (1.51) принято называть условием физической реализу емости или физической осуществимости системы. Системы, имею щие весовую функцию g(t), не удовлетворяющие условию (1.51), физически не осуществимы, так как для них следствие (реакция) следует ранее, чем причина (входной сигнал).
В силу стационарности реакция линейной стационарной сис темы на входную функцию, равную 8-функции, поступающей на вход в момент времени t, будет равна весовой функции, смещенной на время -с, g (t —т).
50
Ясно, что для физически осуществимых систем эта функция должна удовлетворять соотношению g{t — т) = 0 при t «£т.
|
|
|
|
ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ |
|
|
||
1. Определите |
|
весовые |
функции систем |
с передаточными |
функциями |
|||
(2р + 1Р |
2 |
|
|
5р + I |
|
|
|
|
------- — --------------- — , |
— ——— и нарисуйте их графики. |
|
||||||
(Зр+1)2Д (/>2+4)/; |
10/7+1 |
|
|
|
||||
Ответы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
г(0 - |
1 |
1 |
te |
-сг |
5 |
... |
1 |
cos2^J; |
|
|
|
g(t) = — [! - |
|||||
27
t
io
20
2. Определите переходные функции этих же систем и нарисуйте их графики
§ 1.6. РЕАКЦИЯ ЛИНЕЙНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ СИСТЕМЫ НА ВХОДНОЙ СИГНАЛ ПРОИЗВОЛЬНОГО ВИДА.
ИНТЕГРАЛ ДЮАМЕЛЯ
Пусть на вход линейной стационарной системы с передаточ ной функцией W(p') с момента времени t=0 поступает входной
сигнал x(t) |
произвольного |
вида, удовлетворяющий условиям |
|х(()І < С |
и x (t) = 0 |
при t<^0. В таком случае изображе |
ние у(р) выходного сигнала y(t) существует и связано с изобра
жением х(р) |
входного сигнала соотношением |
|
|
y(p) = W(p) х(р). |
(j.52) |
Учитывая, |
что L~'[W(p)]=g(i), по теореме о свертке из (1.52) |
|
получаем |
s |
|
|
|
|
|
У(0 = $ g (f - Х) * ( Х)Ж- ' |
(1-53) |
|
о |
|
Соотношение (1.53), называемое интегралом Дюамеля, задает связь между входным и выходным сигналами с помощью весовой функции g(t), которая выступает здесь в роли весовой функции интегрального оператора. Таким образом, оператор любой ли нейной стационарной системы может быть задан в виде интег рального оператора.
П р и м е р . Оператор линейной стационарной системы с ле-
к
редаточной функцией W (р)=——— - может быть задан как диф
ференциальным уравнением
Ту(() + у ( 0 = hx{t) у (0) = 0,
4* |
51 |