При f(t), равном нулю, имеем
Пользуясь выражениями (5.7), (5.8), получим для составляю щей ошибки Ех (t)= — е (t) следующую эквивалентную схему рис. 5.2, на котором
W {р) = |
Wi(p) |
W2{p). |
(5.9) |
Для составляющей ошибки |
Ef {t) |
структурную схему рис. 5.1 |
удобно преобразовать к виду рис. 5.3. |
|
|
Рис. 5.2. Схема определе- |
Р и с. 5.3. Схема определе |
ния ошибки системы по за- |
ния ошибки системы по воз |
дающему сигналу |
мущению |
Процедуру построения схемы рис. 5.3 'можно проследить по следующим операциям:
а) из определения Ef [t) следует, что Ef {t) представляет собой компоненту ошибки системы при x(t), равном нулю, т. е.
см. рис. 5.4;
Р и с. 5.4. Схема определения реакции си стемы на возмущение
б) перенесем знак минус к сумматору в точке, где прикла
дывается {(р), получим рис. 5.5. Эквивалентная схема имеет вид рис. 5.6.
Рис. 5.5. Перенос знака |
суммирования |
Р и с. 5.6. Эквивалентная схема для |
в структурной |
схеме |
определения реакции системы на воз |
|
|
мущение |
Вычислим ,(см. рис. 5.2) передаточную функцию S x (р) для ошибки системы при действии только входного сигнала x(t). По определению передаточной функции
х{р)
Из. рис. 5.2 следует
£ j p ) _ |
г(р) |
= _______1 |
(5.11) |
Sx (Р) |
X [р) |
1 + W (p) |
х{р) |
|
Аналогичным юбразом определим передаточную функцию Sj{p) для. ошибки системы при действии только помехи f(t). Из рис. '5.6
'Ш ~ т + ^ > '
функции S x{p) и Sf{p) полностью определяют составляющие
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ошибки системы при действии сигналов х(р) |
и f(p\. |
|
Из |
определения .ресовой. функции линейной стационарной |
системы следует, |
что весовая |
функция g x (t) для |
ошибки си |
стем по задающему воздействию x(t) |
равна: |
|
|
|
|
^ ( 0 |
= |
^ " М ^ ( р ) 1 ; |
|
( 5 . 1 3 ) |
весовая функция |
gf (t) |
для ошибки системы Ef (t) |
по f(t) оп |
ределяется выражением |
|
А"1[•*/(/>)], |
|
(5.14) |
|
|
|
*,(*) = |
|
где |
L-1 — символ |
обратного |
преобразования |
Лапласа. |
Если |
известны |
весовые |
функции |
g x (t)> |
gf {t)i |
то ошибки |
системы Ех {t) и |
Ej{t) |
можно вычислить по формулам |
|
|
E x {t)= |
і |
|
|
|
|
|
|
j х(х) g x(t - T)rfx; |
(5.15) |
E/{-t)= I №g/V-*)fc- - |
(5.16) |
to |
|
|
|
В интегралах (5.15), (5.16) tQ— момент приложения к сле |
дящей системе сигналов x(t) |
и f(t). |
Выполним замену перемен |
ных в интегралах (5.15) и |
(5.16). |
Введем т, = t — т, |
получим |
Ex {t)*= \ x ( t - |
( - * , ) ; |
(5.17) |
£ /( 0 = |
|
(— * ]); |
(5.16) |
t-lo |
|
|
|
вынесем знак минус, опустим индекс при |
и, изменив преде |
лы .интегрирования, .получим |
|
t-to |
|
ЕЛ*) = |
(5-19) |
О |
|
t—ta |
|
Ef {t )= j / ( * ~ ^ ) g f (^)dxx. |
(5.20) |
о |
|
Функции Ex (t), Ef {t) полностью определяют составляющие ошибок системы с учетом, переходного процесса.
Вычислим ошибку линейной стационарной САР в устано вившемся режиме и введем понятие коэффициентов ошибок.
Ошибки системы Ех (t) |
и |
Ef |
[t) |
при |
бесконечно длитель |
ном воздействии сигналов |
x{t) |
и |
f(t) |
будут |
соответствовать |
погрешностям в установившемся |
режиме. |
Математически это |
условие эквивалентно тому, |
что/“0 = — |
с о , |
т. |
е. сигналы дейст |
вуют бесконечно долго и переходные процессы закончились к рассматриваемому моменту времени t.
Тогда установившиеся составляющие погрешностей системы определятся следующими формулами:
(0 = |
Ига Ел ( 0 = |
j' X { t - z l g x (-,)d^ |
(5.21) |
|
*оГ~“> |
|
|
|
£(уст) у ) |
Hm Ef (t) = |
\ |
f ( t - i ) gf(x)d~. |
(5.22) |
1 |
L— OO■ |
J |
|
|
Вычислим интегралы (5.21), (5.22). Для этого разложим функцию x ( t — v) в ряд Тейлора в окрестности точки t. Пола гая, что входной сигнал x(t) является полиномом степени k, получим
x ( t — т) = л (t) -j- - - |
л ' (/)+ |
-ь'-- |
х" ( £ ) + . . . + |
|
|
( ~ ^ ) к x><{t). |
|
(5.23) |
|
|
k\ |
|
|
|
Подставим |
формулу для |
x{t — т) |
(5.23) |
в подынтегральное |
выражение |
(5.21) и введемнекоторые обозначения, |
получим |
E W i t l ~ S < iJcx{t) + -Slxx V W ) + . S 2x* r'(t) |
+ . . . + |
SkxxW [t), |
|
|
|
|
|
(5.24) |
где
5Cr= j |
gx{x) ä ^ |
|
U |
|
|
со |
|
|
5 Іг= I |
Y- g x i x) d ^ |
|
о |
' |
(5.25) |
Skx— ' ( ~ х)к gX С-1) äx. k\
|
|
|
|
|
|
|
|
Величины |
S0, |
Sb . . |
S k |
назовем коэффициен |
тами ошибок по входному задающему сигналу. |
системы |
Из |
(5.24) |
следует, |
что установившаяся |
ошибка |
£'(уст) (г) |
является линейной |
комбинацией |
функции |
х (t) и ее |
производных. Очевидно, чем меньше коэффициенты |
ошибок, |
тем меньше ошибка при заданном входном сигнале. |
|
Введем понятие астатпзма и статнзма системы.
Если коэффициент Sn ошибки линейной стационарной си стемы не равен нулю, САР называется статической. Это зна чит, что при постоянном входном сигнале в системе имеется установившаяся ошибка. Если коэффициент S0 равен нулю, то САР называется астатической по отношению к задающему сиг налу.
Степень астатпзма определяется следующпмрі соотношения
ми:
S0 = 0; 5 1 Ф 0— система астатическая I порядка;
So = 0; Si = 0; S2 Ф 0— система астатическая II порядка;
S0 = 0; Si = 0: S2 = 0; Sg^O —система астатическая III порядка
ит. д.
Сточки зрения возможного уменьшения установившихся ошибок желательно увеличение степени астатпзма. Однако по вышение степени астатизма системы приводит к увеличению погрешностей при наличии быстроменяющихся возмущений и к неустойчивости системы. Поэтому при проектировании САР не
обходим разумный инженерный компромисс. Определение ко эффициентов ошибок по формулам (5.25) весьма громоздко.
Рассмотрим простые способы вычисления коэффициентов ошибок, пользуясь только передаточными функциями для оши бок.
С п о с о б 1. Передаточная функция для ошибки системы по задающему сигналу x(t) равна:
•**(/>) = |
£ [£,(*)]• |
(5.26) |
По определению преобразования Лапласа имеем |
|
со |
|
|
S X( P ) = J |
g x {i)e~pzdz, |
(5.27) |
и |
|
|
где р — комплексная величина.
Продифференцируем формально по аргументу р левую и пра
вую части выражения (5.27). |
Очевидно, /-тая производная рав |
на (/< я ): |
|
|
СО |
|
|
— ^ Г Р- = I |
ёх Ь) ( - *)' е - ^ dz. |
(5.28) |
о |
|
|
Законность изменения порядка интегрирования и дифференцироівания, принятого при выводе (5.28), следует из устойчивости системы, передаточная функция которой 5 (р). Поскольку на
ми анализируется точность только устойчивой |
САР, то все ин- |
|
оо |
|
|
|
|
тегралы типа |
d \gs [t)\dt конечны, |
|
|
|
о |
|
|
|
|
Следовательно, конечны и интегралы вида |
|
|
|
d ^ S J p ) |
|
J g x W i — *)1dT. |
(5.29) |
|
dp1 |
р-0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
где мы положили справа и слева р равным нулю. |
|
Сравним выражения |
(5.25) и (5.29). Нетрудно заметить, что |
коэффициент ошибки Sk будет равен: |
|
|
|
|
|
dkSx{p) |
(5.30) |
|
|
|
dpk |
р - 0 |
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
Формула (5.30) позволяет вычислять значение коэффициен |
тов ошибок системы, если задана передаточная |
функция |
Sx (р) |
для ошибки системы . |
|
|
|
|
dS,
^Ojr ,= Sx (0)» Six — 1! dp
d -Sx |
1 |
dkSx I |
(5.31) |
Six— 2[dp2 p = 0 |
>S kx:---- — |
dpk | p = 0 |
k\ |
|
