б) неустойчива, если при частоте среза «с разомкнутой си стемы ее логарифмическая фазо-частотная характеристика про ходит ниже линии с ординатой —180°, т. е. если
<Р(®с)<— 180° |
(4.68) |
(ом. рис. 4.17,6; 4.18,6; 4.19,6; 4.20,6); |
а>с ра |
в) на границе устойчивости, если при частоте среза |
зомкнутой системы ее логарифмическая фазо-частотная харак
теристика пересекает линию с ординатой —180°,.т. |
е, если |
с р ( ш с ) = — 180° |
( 4. 69) |
(см рис. 4Л7,в; 4.18,ö; 4.19,в; 4.20,в). |
|
5. Оценка запасов устойчивости линейных стационарных систем
При анализе устойчивости линейных стационарных систем ви да рис. 4.6 с помощью ^критерия Найквиста можно не только от ветить на вопрос — устойчива система или нет, но, в случае ус тойчивости, и оценить запас устойчивости.
Запасы устойчивости линейных стационарных систем опреде ляются следующими показателями:
1) запасом устойчивости по фазе — А ш3
|
|
А?3= 180° + |
«р(тс), |
(4.70) |
где |
<р(шс) — значение фазо-частотной характеристики разомк |
|
нутой системы при частоте среза юс; |
|
|
2) запасом устойчивости по амплитуде — A L3 |
|
|
4 A = |
2 0 l g — |
- 1 — |
- - I K ) , |
№71) |
|
|
I |
|
|
|
где: |
I W (y'wj| |
и І(шя) |
— соответственно значения |
амп |
|
|
|
литудной частотной и |
лога |
|
|
|
рифмической амплитудной ча |
стотной характеристик разомк нутой системы при частоте ш_.
На рис. 4.21,а, б показано графическое определение показате лей степени устойчивости о помощью частотных (рис. 4.21,а) и логарифмических частотных (рис. 4.21,б) характеристик разомк нутой системы. Из данных рисунков и выражений (4.70), (4.71)
видно, что по годографу частотной характеристики |
W (/со) ра |
зомкнутой системы запас устойчивости по фазе А tp3 |
определяет |
ся, углом между отрицательной действительной полуосью (кото рая является геометрическим местом точек комплексной плос
кости U, jV с фазой — 180°) и радиусом-вектором |
годографа |
частотной характеристики разомкнутой оистемы при |
частоте сре- |
за <dc. По логарифмическим частотным характеристикам запас устойчивости по фазе Д срз определяется ординатой превышения фазо-частотной характеристики разомкнутой системы линии
— 180° при частоте среза шс. Запас устойчивости по амплитуде
ДІ3 определяется ординатой логарифмической амплитудой ча стотной характеристики разомкнутой системы —£(ш_)при часто
те «V
Рис. 4.21. Определение запасов устойчивости:
а — по годографу разомкнутой системы; б — по ЛЧХ ра
зомкнутой системы
Следует подчеркнуть, что понятия запасов устойчивости по фазе и по амплитуде правомерны только для устойчивых систем и являются величинами существенно положительными, т. е. для устойчивых систем:
д ?з > 0, Д£3 > 0 .
Для систем* находящихся на границе устойчивости:
А ? 3= О,
Д£ 3 = 0.
6. Примеры анализа устойчивости систем с помощью критерия Найквиста
Пр и мер I.
Спомощью критерия Найквиста (используя годограф ча стотной характеристики и логарифмические частотные характе ристики разомкнутой системы) пока
зать, что. система, структурная схема которой изображена на рис. 4.22, не % устойчива, при любых значениях пара метров k и Т. Заметим, что данная
структурна^ схема соответствует си
Р и с.
стеме стабилизации крена ракеты (см.
кж *
Ш)
4.22.Структурная схема системы
рис. 3.18), в которой 'Попользуется пиевматач'еокий сервомотор без жесткой обратной связи, передаточная функция которого
р
Ре ш е н и е.
1.Построение годографа частотной характеристики разомк нутой системы и анализ устойчивости замкнутой системы:
а) определение частотной характеристики разомкнутой |
си |
стемы: |
k |
к |
|
W{j\o) =W (p )p4u,= |
|
рЦТр + 1 ) P = J <U |
w2(/T ш + 1 ) |
|
|
|
б) определение амплитудно-частотной |
характеристики |
ра- |
замкнутой системы: |
|
|
|
к
UP (а>) = | UP (/со)
ш°- у г 2ш2 + Т ~'
в) определение фазо-частотной характеристики разомкнутой системы:
9 (со) = arg иР(/ш) = — 2 — arctg- Т ш;
г) построение годографа W (у'ш) (общий вид годографа по казан на рис. 4.23,а);
|
Р и с. 4.23. |
Общиіі вид |
частотных характеристик |
системы |
|
|
|
рис. 4.22: |
|
|
|
а — годограф: б — ЛЧХ |
|
д) |
анализ устойчивое™ замкнутой системы: |
так как допол |
ненный годограф |
W (у'ш) |
при любых значениях |
параметров к |
и Т охватывает точку комплексной плоскости с |
координатами |
U= —1, |
Ѵ= 0, то, |
в соответствии с графическим правилом кри |
терия Найквиста, замкнутая система неустойчива. |
|
2. |
Построение логарифмических частотных характеристик ра |
зомкнутой системы и анализ устойчивости замкнутой системы:
а) определение частотной характеристики разомкнутой си стемы:
k
W ( »
ш2 (У7" ш-f- 1)
б) определение логарифмической амплитудной частотной ха рактеристики разомкнутой системы:
L (со) = 2 0 1 g I w ( » I = 2 0 l g k — |
4 0 1 g со - 2 0 l g У 7 Ѵ + П |
в) определение фазо-частотной характеристики разомкнутой |
системы: |
|
ш (со) = — 2 — |
arctg Т со; |
г) построение логарифмических |
частотных характеристик |
(•общий .вид характеристик показан на рис. 4.23,6); |
д) анализ устойчивости замкнутой системы: так как при лю бых значениях параметров k и Т фазо-частотная характеристика
разомкнутой системы проходит ниже линии |
с ординатой—1 8 0 ° , |
в том числе и пріи частоте среза <ос, т. е. так, |
как всегда |
с? К ) < — і^о0. |
|
то, в соответствии с критерием Найквиста, замкнутая система неустойчива.
При м ер 2 .
Для системы со структур ной схемой, изображенной на рис. 4.24:
1 ) исследовать устойчи вость с помощью критерия Найквиста при 6 = 25;
2 ) определить критическое значение k = /екр, при котором
•система находится на границе устойчивости.
Р е ш е н и е.
Р и с. 4.24. Структурная схема си стемы
1. Определение частотных характеристик разомкнутой си стемы и изображение общего вида годографа:
а) определение частотной характеристики разомкнутой си стемы:
k
W { H = W(p)p4m=
(> + О4
б) определение амплитудной частотной характеристики ра зомкнутой системы:
k
W (ш) = I W (у'ю) I =
(Ш2 + 1)2
в) определение фазо-частотной характеристики разомкнутой системы:
®(ф) = arg W (у<о) = — 4arctg<o;
г) |
изображение общего вида годографа (общий вид годогра |
фа показан на рис. 4.25, где кривая |
1 соответствует устойчивой |
|
|
системе, кривая 2 соответству |
|
|
ет системе на границе устой |
|
|
чивости и кривая 3 — неустой |
|
|
чивой системе).................... |
|
|
|
2. |
|
Анализ устойчивости си |
|
|
стемы |
при k = 25: |
частоты |
|
|
|
а) |
определение |
|
|
среза |
шс |
[см. (4.58)]: |
|
|
|
|
ос: |
|
W (шс) = 1 ; |
|
|
|
|
|
= 1 ; ^25= = К 2-Н )2; + |
|
|
— —— |
|
|
к |
2+ і )2 |
|
|
|
|
|
5 = |
шс24-1; - ШС= 2 |
[ 1/с]; |
|
|
|
б) |
определение частоты ш* |
Р и с. 4.25. |
Общин вид годографа си [см. (4.57)]: |
|
|
стемы рис. |
4.24 |
|
¥ ('0 = - 180°; |
|
|
|
|
|
|
— 4arctgto^ = |
- 180° ->■ arctg |
= |
45° —>ш_ = 1 [ 1/с]; |
в) анализ устойчивости путем сравнения значений ч>с и и>*. Так как
что соответствует кривой 3 рис. 4.25, то при £=25 замкнутая си стема неустойчива.
3. |
Определение значения k— kKV, при котором система нахо |
дится на границе устойчивости. |
на Границе устойчивости, если |
Замкнутай система находится |
|
ш с = |
“ Ч |
[см. (4.55), кривая 2 рис. 4.25)].
Частота ш_ не зависит от k, поэтому ; £кр определяется из условия:
„ 1 ;
(“и2 + I)2 Л к р = К 2 + 1 ) 2 - 4 .
