и понятие моментов J,, * этой функции, определяемых выраже нием
“ (/) да |
(5.61) |
Ji,k = \ z ( t ) z [ t ) d t . |
о
Можно показать, что изображение по Лапласу этой функции
имеет вид |
|
______________1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
L[z{t)\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( Р) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
КР" + К-\Р"~І + ■• •+ ^ l P + K |
|
t |
\ p |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=0 |
|
Действительно, |
применяя |
преобразование |
Лапласа |
к |
(5.62) |
уравне |
нию |
(5.59) и учитывая |
его |
начальные условия |
(5.60), |
находим |
|
|
L [Х„ 2 |
(t) |
|
Хп_, 2 (t) + . . . + |
Хі 2 (f) + |
Х0 |
Z(t)] = |
|
|
= K \ P n z { p ) |
- 2 ( 0 ) ] |
+ |
К |
- |
І р л ~ 1 г { р ) |
+ |
. . . + \ |
p z { p ) |
+ |
Х0г(/>)= |
|
|
Рп г(Р) — \ |
1 |
+ |
Хл_, рп~' z{ p) + . .. + \ p z (р) + |
Х0z(p)= |
|
|
= 2 (р) \ъврп + |
Хл_1/7"-1+ |
. • . + |
Xj р + |
X0J — 1 |
= |
о, |
|
откуда получаем для |
z(p) |
|
выражение |
вида (5.62). |
Отметим |
также, не приводя доказательств, ряд свойств моментов |
У,-,* |
функции z(t): |
моментов |
|
с симметричными |
индексами |
|
а) |
равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ji,k — Jk,h |
|
|
|
|
|
|
(5.63) |
б) |
положительность моментов |
с одинаковыми индексами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
|
|
|
|
|
|
|
(5.64) |
в) |
свойство моментов с четной суммой индексов |
|
|
|
|
|
|
Уі, к == У(й+2і)), к == ( |
1 )1' У(*+т|), (Я-т)) > |
|
|
(5.65) |
г) |
|
свойство |
моментов |
с |
нечетной |
суммой индексов, |
если |
і + k < 2га— 1: |
|
|
|
|
|
Уг, А — о, |
|
|
|
|
|
|
(5.66) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і + k < 2п — 1 — нечетное число; |
д) |
|
свойство момента У,-,* |
= У(П-і),л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У(л -1),„= |
|
|
|
|
|
|
|
(5.67) |
С учетом сделанных замечаний покажем, что введенные в рас смотрение моменты с равными индексами определяются коэф фициентами X,- с помощью выражения:
Л / = |
Ап, (/+п |
(5.68) |
|
2ХЛД |
|
где Xn— коэффициент при р п знаменателя г(р), или коѳффи-
(«)
циент при z(t) уравнения (5.59);
Д— детерминант п-го порядка, составленный из коэффи-
циентО'В h
К ■ |
• |
- 0 |
|
- х 3 . . |
. 0 |
|
х , |
|
|
: |
. \ |
|
|
■ |
• |
\ |
|
|
|
\ |
• |
|
о
|
|
1
|
1 С
|
|
|
|
|
|
го
|
Дп, 1+1 — алгебраическое |
дополнение Д |
для |
элемента |
п-ой |
строни и (і + |
1)-го столбца. |
|
следующие |
преобра |
Для доказательства |
(5.68) |
|
проделаем |
зования: |
уравнение |
(5.59) |
последовательно |
на z(t), |
1) умножим |
(л-1) |
результате |
чего |
получаем |
систему |
уравнений: |
z (/),..., z(l),в |
(л) |
(л-1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К z (t)z ( 0 + |
K - i z ( 0 |
z ( 0 |
+ |
• |
• ■ + |
^ i z ( 0 |
z ( 0 |
+ |
x 0 z 2 |
( 0 |
= |
(л) . |
(л-1) . |
|
|
|
|
+ \ |
|
|
|
|
|
К z (t)z (0 ~h K-i z (0z(t)~h ■••+ ^i z < 2 (0 |
z |
{ |
t ) z { t ) |
— |
(л) (л—1) |
(/.-1) |
(i) |
+ • |
• |
■-f- \ |
. (л-1) |
|
|
(л-1) |
|
\ nz (t) z ( t ) |
Xn_j z2 |
z(t) z(é)-\-~k0z (t)z(t) — 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.70)' |
2) проинтегрируем по времени от 0 до сю систему (5.70), в ре зультате чего, с учетом (5.61), получаем систему уравнений от носительно У;, к-
Х„ Ул,о + ^„_і У(л—1), о + . • • + /ц Уі.о + Х3 А о = 0;
Х„Ул,і + ^,і-і-Ал- d. 1+ • • |
• |
Уі, 1+ Х0Л>, 1“ 0; (5.71) |
Х„ /л.(л—1) + \ - 1 У(л-1), (л-1) |
+• ■• +^іУі,(л-1)-|-0,(л-1)= 0; |
3)преобразуем систему (5.71), используя свойства момен
тов У,-, * (5.63) -+- (5.67), в результате чего получаем систему
уравнений относительно У/, |
|
|
^0 У), О— X, -А, 1Н~ ^4 J%2 —Xß Уз, 3 |
+ Xg -У. 4 — |
.......................... = |
ОУо,о + Xt Уl, 1 — Х3 Уг, 2 + ^5 Уз,з |
—^7 Уі, 4 + ........................ |
= 0; |
О Уо, 0 — \ К х + X, У*. 2 -- ^4 Уз, 3 |
+ У),4 — ............................. |
= 0 ; |
I. .......................................................................... |
^Я-1 У(Л-1),(П-1)--- —— • |
|
^Ал |
|
|
(5.72) |
Система уравнений (5.72) представляет линейную систему из п
уравнений с и неизвестными |
У/, решение |
которой определяет |
ся формулами Крамера: |
|
|
|
|
|
|
|
У .,= |
\ |
|
|
|
(5.73) |
|
|
|
Д |
|
|
|
|
где Д — детерминант системы (5.72): |
|
|
|
|
^0 |
^2 |
|
- > - С |
Х 8 |
• |
. . |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
^3 |
\ |
- х 7 . |
. . |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
~~ ^0 |
^'2 |
- к |
V |
|
• . |
0 |
А |
|
|
|
|
|
|
(5.74) |
\
ОО
Л“ 1
Д; — детерминант, полученный из А путем замены (і + 1) -го столбца А коэффициентами правой части системы
О
(5.72), т. е. столбцом |
О |
■ Поэтому |
|
|
|
|
|
|
1/2ХП |
|
|
|
А |
2Х„ |
|
|
(5.75) |
|
|
|
|
■где Д„,(,+і) — алгебраическое дополнение Д для |
элемента |
п-ой |
строки и (і + 1)-го столбца. |
|
|
У, ,• выраже |
С учетом (5.74), (5.75) из (5.73) находим для |
ние в виде (5.68). |
|
квадратичной |
оценки |
J — |
Для вычисления интегральной |
со
= J i 2(É)dtустановим ее связь с моментами У/,/ функции z(t).
о
Для этого 'Прежде заметим, что если изображение функции ^(і)
имеет вид
|
|
£ |
\ р 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЧІР) |
і-0____ |
|
x,„ Р т + |
*т- 1 Рт 1 + |
|
• |
• |
■ + |
*1 Р + |
хо, т<.п, |
|
|
£ |
\ р ‘ |
|
*„/>" + |
\j- l і0,1-1 |
+ |
|
• |
• |
• + |
Р + |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і- о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то, |
учитывая вид изображения z(£) |
(5.62), |
можно записать |
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
т (у) = |
S |
^ |
"н--------= 2 |
|
|
|
Z7' * (/>)> |
|
|
|
|
|
|
|
і—О |
£ |
^ У* |
/=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда находим связь -[(7) |
с z(t): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l ( t ) = L |
|
£ |
-'чР12{Р) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і=О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
™ |
(О |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
(m—1) |
|
(т) |
|
= |
£ |
*і 2 (0 = *о Z (0 |
+ У-! 2 ( 0 + |
• • • + |
хт-1 |
2 (0 + xmz (0- (5-76) |
|
/-0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выражение (5.76) позволяет с учетом (5.61), |
(5.63) — (5.67) |
за |
писать: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ = |
[ т 2{ t ) d t = |
\[y.Qz[t) + *,z(0 + .-H- xm- U ( b + xmz(OJ2^ |
= |
|
|
6 |
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
~ |
[V z2(O + 2^ |
|
. |
. . . |
|
|
|
|
|
|
|
im) |
|
j |
1z(0 z ( / ) + 2x0x2z(i) |
2(O+... + 2*0*eiz(/) z(*) + |
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
. |
|
|
. .. |
|
|
|
|
|
|
|
. ( m ) |
|
|
|
|
'^і22Г" (t) + |
2Xj x2z(/) Z (£)+ - . ■+ |
2xtv.mz (t) Z (0 + |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
x22 2:2 (0 + |
■- |
|
|
|
(m) |
|
|
|
|
|
|
|
|
• + 2*2 y-mz {t)z {£)+••■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[m) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ *т*- (*)] dt |
|
|
|
V |
-7o,о + |
2-/-0 |
/о, 1 + |
2x0 x2 У0, 2 -f-. • • |
+ |
2'/.0 xm |
y0, /л + |
|
|
|
|
|
~Г y-\ J\, 1 |
2Xj x-2 J1, 2 + |
|
■• |
• + |
2 x, y.m У!, m -f- |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
x22 |
Jt, 2 |
+ |
|
• . . + |
2x2 xm У2,m + . • |
■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ X 2 |
jm, m— |
|
|
— х02 ■Л), 0 |
2Xq*2 J\, 1-{- 2*0 X^ •/2, 2 |
............................ |
|
|
4“ |
|
|
+ |
xi2 |
J\, 1 — 2xjXj / j,! + |
....................................... |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
'*■2 'J2, 2 — ............................ |
|
|
't- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' Ь Xm J 71*ui |
|
где |
|
BqJo, 0 + |
J\, l |
+^2^2, 2 + |
• • |
• + |
Ba Jm, m, |
|
(5.77) |
|
|
|
ßn |
* |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*0 > |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5, = X,2 —2x0 x2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B 2= X22 - 2xj X3 + |
2x0 X4; |
|
|
|
|
|
|
|
Д = |
*2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/72 |
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая полученное ранее выражение (5.68) |
для |
момен |
тов J;,i, |
из (5.77) |
находим искомое выражение для J: |
|
|
|
Алл |
+В, |
|
Дл,3 |
, |
, |
о |
Ал, /л+1 |
|
|
J = B ,о — |
|
+ ß 2 u"-3 |
|
|
|
|
|
|
|
2Х..Д |
2Х„Д |
5 Г І + - " + в ” ! Г Х |
|
— |
■ |
[ ß 0 V l + |
Bt^n.2 + |
б |
2 й я ,3 + |
• • |
• + |
BmД п , m + 1 ] = - |
° . |
2Х„ Д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Х„ Д |
где |
Aß — детерминант, полученный |
из |
Д путем |
замены его |
|
|
последней строки коэффициентами |
Bt: |
|
|
|
1 to
|
|
О
|
0 |
X, • |
- |
• • |
0 |
- \ |
\ |
• |
. |
• |
\•
\*
0 . . . х„_2 - К
ßl . . . Вп-2 Ва- 1
3. |
Примеры использования интегральных |
|
квадратичных оценок |
П р и м е р |
1. |
Определить интегральную квадратичную оценку для системы |
с передаточной функцией Ф(р)= -— ——, если ? ( / ) = / / ( / ) —
( Р+ ' Г
- Я ( о о ) .І ^ ) .
