ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 118
Скачиваний: 0
Дифференциальный оператор в случае произвольных входных сигналов не имеет передаточной функции, так как изображение
выходного сигнала у(р') не представимо в виде y(p) — W(p)x(p) в силу наличия члена х(0) в формуле (1.8). Однако, если рас сматривать лишь непрерывные дифференцируемые функции (а только на таких функциях определен этот оператор), то для этих функций X(0) = 0; и в таком случае передаточная функция диф ференциального оператора W(p)—p.
Выше мы убедились, что у линейных стационарных операто ров передаточная функция существует. Другими словами, для ли нейных стационарных операторов отношение изображения вы ходного сигнала к изображению входного сигнала не зависит от вида входного сигнала и является некоторой определенной для данного оператора функцией.
Покажем на примерах, что у нелинейных и у нестационарных операторов передаточной функции в определенном выше смысле
не существует. |
|
|
|
|
Рассмотрим |
нелинейный оператор |
возведения в квадрат |
||
y(i) =x2(t). Если подать на его вход единичный скачок |
1(0» то |
|||
отношение изображений выходного сигнала |
к входному равно: |
|||
L{\-(t)}: L[\(t)]= |
•гI п |
|
вход x(t)—t, |
|
= l , a если подать на |
то это |
|||
|
11Р |
1 |
|
|
|
]ІП2 |
|
отно- |
|
отношение равно: L[t2]: L[t\ — —■— = — .Таким образом, |
||||
|
Чр |
Р |
|
|
шение изображений для нелинейных операторов зависит от вида входного сигнала и, следовательно, передаточной функции они не имеют.
Рассмотрим теперь нестационарный оператор y(l) = tx(t).
Для входного сигнала x(t) —1(f) имеем отношение L[t]: L[l]=
=■—= — , а для входного сигнала x(t)=t — отношение
Чр |
р |
2/р3 |
2 |
L[t2\ : L[t]= -У— = |
— . Таким образом, нестационарные опера- |
||
|
|
1ІР2 |
Р |
торы передаточной функции не имеют.
Обратимся теперь к многомерному линейному стационарному оператору, задаваемому системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Уі(£)= апУ і (0 Н------ |
^ аіпУп(^) + |
(ОН-------- |
\rblmx m(t); |
|
_y,(0) = 0; |
i = 1 , ___ n |
|
(1.20) |
|
при нулевых начальных условиях.
Применив преобразование Лапласа к левым и правым ча-
34
стям системы уравнений (1.20), получим систему линейных алге браических уравнений:
І Р - а \ \ ШР ) - а і і У і { р ) -------- |
аь,Уп{Р)-ЬпМР)-іг- ■+Ьы хт(р)\ |
|
- а22Уі(Р)+(Р-а2М Р ) ------ |
а2пУп(Р) b2lx{(p)+.. • +Ь2тх т(р); |
|
-^піУі(Р)-а„аУі[р)-- ’ - M P - а„пЪ’п(Р)=ЬПІх1(р)+ ■■•+Ьптхт (р), |
||
|
|
(1.21) |
в-которой У\(р),... ,yk{p), |
■. . >Уп(Р) выступают в качестве не- |
|
известных. |
|
|
Решая эту систему методом Крамера, получим |
||
УкіР)= - г г т (V (Р)*і (Р) + |
V (Р) а'2 ІР) + -----h Ѵ г ІР)хт (р)) = |
|
= W k l ( р) X , (р) + U ^ 2 |
( / 7 ) х2(р) + -------- Ь W km(p)xm( / ? ) , |
|
где Д (/Р) — определитель алгебраической системы (1.21)
Р Оц |
П]2 —Яіз— • • • — 0-1п |
---&21 Р--- ^22--- ^23---- • • • — 2п |
|
Д (Р) = |
ап2 апЬ • • ■~\~(р апп) |
ап\ |
|
к 1к(р) — определитель, получающийся из определителя заменой /г-го столбца на столбец bn, Ь12, . . . , Ъ(п\
Д<Пр )
Д (Р)
( 1.22)
Д(р)
Функцию (р) принято называть передаточной функ цией многомерной системы от і-го входа к k- щ выходу. Сово купность передаточных функций многомерной системы, записан ных в виде таблицы
w n ( p ) W M . . . w lm{p)
W M W 22( p ) . . . w am(p)
W(p) =
Wnl{p)Wn2{ p ) . . . W nm(p)
принято называть матрицей передаточных функций многомерной линейной стационарной системы.
3* |
35 |
Из (1.22) следует, что
. Ж к1{р) = Щ - , |
(1.23) |
х,(р)
если все входные сигналы, кроме г'-го, равны нулю. В таком случае передаточная функция W ы(р) многомерной стационар ной системы от г'-го входа к А-му выходу может быть определена
как отношение изображения у к {р) сигнала на А-ом выходе к
изображению x t (р ) на г-ом входе, при условии, что на осталь ные входы поступают сигналы, равные нулю.
ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
1. Движение самолета вокруг продольной оси х приближенно описывает ся дифференциальным уравнением
/т ( 0 = Л Г ^ ( * ) + Ж*«»„
где Т (і) — угол крена; 63(1) — угол отклонения элеронов;
Mwx> М*э — частные производные от продольного момента по скорости вра-
X |
X |
8Э, которые |
в рамках данной задачи |
|
щения ш.ѵ и углу отклонения элеронов |
||||
следует считать известными числами. |
|
|
|
|
|
Найти передаточную функцию самолета по каналу крена, считая угол |
|||
крена выходным сигналом, а угол поворота элеронов — входным. |
||||
|
Ответ: |
Ж8 |
|
|
Щ / > ) = ! ^ - = |
т = |
J |
||
А = |
|
|||
р(Тр + 1) Ж" Ж > '
І( Р)
2.Движение системы описывается дифференциальными уравнениями
Уі (0 = |
- |
2Уі (t) + Зу2 (0 + |
|
2хх [ і ) - х 2(0; |
|
Уо(*) = |
— |
У і ( 0 + .УаЮ — *і (0 + |
2*2(0- |
||
|
|
2р — 5 |
• |
- Р |
+ 7 |
О т |
|
?2 + Р + 1 : р 2+ р + 1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
— P — 4 |
• |
2/? + 5 |
|
|
|
72 + Р + 1 ; р 2+ р + 1 |
|||
§ 1.4. ПРОСТЕЙШИЕ СОЕДИНЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ
Входные сигналы одной системы могут подаваться на вход другой системы. Таким образом, системы могут образовывать до вольно сложные соединения. В данном параграфе мы рассмот рим лишь самые простые из возможных соединений: .последова тельное, параллельное и встречно-параллельное соединения.
36
Здесь мы с самого начала будем предполагать, что при пода че выходного 'сигнала некоторой системы на вход другой системы передаточная функция первой системы не изменяется. Следует подчеркнуть, что на практике это требование довольно часто не выполняется; примеры такого рода приведем в конце этого параграфа, где и дадим рекомендации по исследованию соеди нений в таких случаях.
Рис. 1.2. Последовательное со- |
Рис. 1.3. Параллельное соедн- |
единение |
нение |
а) Последовательное соединение (рис. 1.2)
Дано: сигнал с выхода первой системы подается на вход вто рой системы. Требуется определить передаточную функцию сое динения \Ѵ(р).
По определению передаточной функции W(p) = |
. |
|
гг |
|
х (р) |
Далее имеем |
|
|
]ѵ (р) = |
^ J£ ) = w a ip) w : (p) = w , (p ) w 2(p). |
|
УЛР) x[p)
Итак,
W(p) = W l (p)Wi (p).
Ясно, что при последовательном соединении п звеньев передаточ ная функция соединения будет равна произведению их переда точных функций
W(p) = W l (p). . . W„(p). |
(1.24) |
То обстоятельство, что последующее звено не изменяет |
переда |
точной функции предыдущего звена на схемах соединений, при нято обозначать стрелками.
б) Параллельное соединение Дано: сигнал подается на входы двух систем (рис. 1.3), вы
ходные сигналы этих систем суммируются; передаточные функ ции систем равны Wi(p) и W2(p). Требуется определить переда точную функцию W(p) соединения
w („) = У м ------ _ |
г , (р) + ѵ г(р). |
■'(/') |
*(/>) |
Итак, |
|
W ( p ) ^ W l(p)+W2(p).
37