Обозначим F(x) = |
— у, |
считая, что у = |
1 |
при X < |
— а, у = |
= — 1 при А ')>а |
И У. |
= 0 при — |
О |
X < о. |
Уравнение |
(8.24) представим в виде двух уравнений:
dy
(8.26)
öx
(8.27)
Деля первое уравнение на второе, найдем дифференциальное уравнение фазовых траекторий:
dy _ ■/.
(8.28)
dx у
Интегрируя (8.28), получим уравнение фазовых траекторий
У2Уо2= 2х { к -г х0). |
(8.29) |
При у ф 0 — это уравнение парабол, а при у = |
0 — уравне |
ние прямых. |
|
Рис. 8.15. Семейства фазовых |
траекторий: |
а — о фО; б— з = 0 |
|
На рис. 8.15,а и б построены семейства фазовых траекторий |
при о Ф 0 и а = 0. Фазовые траектории |
при любых началь |
ных условиях х0 и уо оказываются замкнутыми, так как пара
болы симметричны относительно оси х, а фазовые |
траектории |
в зоне нечувствительности — прямые, параллельные |
оси абсцисс. |
Интегрирование уравнений (8.26) и (8.27) дает |
законы изме |
нения отклонения и скорости в |
предел ах‘каждого |
участка: |
У = |
+ у 0; |
|
(8.30) |
х==~2 |
“Ь -^о- |
|
(8.31) |
При *■Ф 0 скорость изменяется по линейному закону, откло нение— по параболическому. При х = О скорость постоянная, отклонение изменяется по линейному закону. Графики времен ных зависимостей ij(f) и x(f)
приведены на рис. 8.16,а и б. Данной системе свойственно бесконечное множество перио дических колебаний, соответ ствующих бесконечному мно жеству начальных условий. Период колебаний определяет ся начальными условиями. Си стема с такими динамическими свойствами к эксплуатации не пригодна как неустойчивая.
|
|
|
|
|
3. |
Процессы в релейных |
|
Р ы с. |
S.16. |
Законы изм енения |
ско |
системах при |
наличии |
|
запаздывания |
|
рости |
y{t) |
и |
отклонения |
x(t): |
|
|
а — а = 0 ; |
б — 5 = у ( ) |
В |
практике |
всегда имеется |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'запаздывание |
при |
прохожде |
нии сигнала через релейный усилитель. Изучим влияние запаз дывания в срабатывании реле и переключении регулирующего органа в системе стабилизации углового положения летательного аппарата. Для отдельных участков уравнения фазовых траек торий для данного случая и законы изменения координат х и у
во времени будут прежними [см. |
(8.29), (8.30) и (8.31)]. |
Влияние запаздывания будет сказываться в том, что изме |
нение X |
с — 1 на 0 и с 0 иа 1 |
будет происходить не на пря |
мых X = |
± з |
(например, точка |
1), а правее, например, в не |
которой |
точке 2 |
(рис. 8.17), так |
как благодаря запаздыванию |
в отключениях и включениях соплового аппарата скачкообраз ное изменение вращающего момента будет происходить после того, как ]х | достигает значения а.
Зная величину запаздывания, всегда можно определить точ
ки переключения. |
Для небольших |
Дт (Дт < 1) |
(см. |
рис. 8.17,а) |
уравнения л и н и й |
переключения (точнее, отключения |
и включе |
ния) |
могут быть приближенно взяты в виде прямых: |
|
|
|
|
у — і з-Г — л-, |
|
|
(8.32) |
|
|
|
Д-с |
|
|
|
где |
Д т характеризует наклон линии переключения. |
|
|
Фазовые траектории, построенные с учетом |
запаздывания |
для каких-либо конкретных начальных условий |
(см. |
рис. |
8.17,а |
и б), будут всегда удаляться от |
начала координат. |
Это |
озна |
чает, что система с запаздыванием без корректирующих уст ройств всегда неустойчива.
Рассмотрим далее процессы в релейной следящей системе с запаздыванием. Аналогично предыдущему уравнения фазо вых траекторий будут (8.20) и (8.21).
|
|
Р и с . 8.17. Ф азовы е |
траектории при |
наличии за п а зд ы |
|
|
|
|
вания в отклю чениях и |
включениях |
соплового аппа |
|
|
|
|
|
рата: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Я —3=54(1; |
о —а = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
Однако вследствие запаздывания изменение |
ч |
с — 1 |
на |
|
+ ' 1 происходит не на оси ординат, а на линии |
у = |
—5—х.* Фа- |
|
|
|
|
|
|
|
|
Дт |
|
|
|
|
зовая траектория, построенная с учетом |
запаздывания |
(рис. |
|
8.18), не стремится к началу координат, |
как |
при Д т= 0, |
а схо |
|
дится к некоторому циклу. |
Это означает, |
|
|
|
|
|
|
что в системе установятся |
периодические |
|
|
|
|
|
|
движения или автоколебания. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Построение на рис. 8.18 производилось |
|
|
|
|
|
|
при начальном отклонении, большем амп |
|
|
|
|
|
|
литуды |
установившихся |
автоколебаний. |
|
|
|
|
|
|
Если взять начальное отклонение, меньшее |
|
|
|
|
|
|
амплитуды автоколебаний |
(меньше х т), |
то |
|
|
|
|
|
|
спираль фазовой траектории начнет разво |
|
|
|
|
|
|
рачиваться и вновь установится тот же са |
|
|
|
|
|
|
мый цикл. При любых начальных условиях |
|
|
|
|
|
|
фазовая траектория будет сходиться к од |
|
|
|
|
|
|
ному и тому же циклу, который в связи с |
|
|
|
|
|
|
этим называется предельным циклом. |
|
|
|
|
|
|
|
В первом случае запаздывание |
привело |
Р и с . |
8.18. |
Ф азовая |
|
траектория |
релейной |
|
к расходящимся колебаниям, а |
в |
данном |
|
следящ ей |
системы |
с |
|
случае — к установившимся |
колебаниям |
зап азды вани ем |
|
|
* Э то |
уравнение линии переключений |
так ж е |
является |
приближ енны м , |
справедливы м для А т < 1.
определенной частоты и амплитуды. Причиной различно го поведения обеих систем при запаздывании и без запаздыва ния является их различная физическая природа. Если обратить ся к уравнению свободных движений следящей системы, то мы
обнаруживаем член х, указывающий на то, что в системе в про цессе движения происходит потеря энергии. Начальная энер гия системы без-запаздывания в процессе колебаний непрерыв но убывает, поэтому координаты х и у стремятся к нулю. При
наличии запаздывания |
в переключении увеличиваются участ |
ки фазовых траекторий |
разгона двигателя и уменьшаются |
участки торможения. Следовательно, за время запаздывания энергия системы пополняется от источника энергии. Образова ние замкнутого цикла означает, что количество энергии, рассе иваемой за один период колебаний, равно энергии, поступаю щей за тот же период от источника энергии.
В уравнении релейной системы стабилизации космического
летательного |
аппарата |
мы не обнаруживаем член с |
.ѵ, поэто |
му начальная |
энергия |
(определяемая начальными |
условия |
ми) во время движения остается неизменной,* и в системе без запаздывания устанавливаются колебания, определяемые на чальными условиями. При запаздывании в сопловом аппарате энергия за каждый период колебаний будет только пополнять ся, поэтому и будет происходить колебательно-нарастающий процесс изменения координат .ѵ и у.
а - - зависим ости |
м ы : |
|
у (- ) |
|
|
.ѵ (т) и |
при |
наличии |
зап азды вани я |
А т . |
Ѳ — |
|
период авток ол еба |
ний ; у„гI |
хт — |
ам плитуда |
автоколебаний по |
скорости |
и отклонению ; |
б — |
график |
пере |
|
ключения |
реле. |
Зак он |
т- (т) |
|
Можно перейти от картины на фазовой плоскости к графи кам процессов во времени. Процессы, соответствующие фазовой картине (см. рис. 8.18), приведены на рис. 8.19. На этих графи
* Э нергия «законсервирована», отсю да название «консервативная систе
м а»,
