Файл: Любчик, М. А. Оптимальное проектирование силовых электромагнитных механизмов.pdf

где определенный интеграл с переменным верхним преде­ лом интегрирования 4х отражает значение забранной из электрической сети энергии при изменении тока катушки от 0 до i, соответствующего значению потокосцепления 4х и текущему значению пути s.

Указанная энергия пропорциональна площади О—тр.—а—b—0 на рис. 1-13,6, на котором приведен из­ вестный график Чх= Ч х(г, s ) изменения потокосцепления в функции тока и положения якоря 0—тр.—а—ост.—уст. и указаны характерные точки, соответствующие: 0 — на­ чалу процесса, тр. — моменту трогания якоря, ост. — мо­ менту остановки (приход якоря на упор), а — текущему (рассматриваемому) моменту на кривой динамического перехода {тр.—а—ост.) и уст. — установившемуся со­ стоянию.

Известно также, что запас энергии в магнитном поле, соответствующий тому же текущему (рассматриваемо­ му) моменту (точка а), может быть определен как ин­

вычисленный при фиксированном, неизменном при инте­ грировании значении s (что отмечено условно чертой над символом), и пропорционален площади 0—а—b—0.

Естественно, что при другом, ио также фиксирован­ ном положении якоря (например, s + As), энергия маг­ нитного поля изменяется (точка а'), таким образом, справедливо

Конкретные величины 4х и s соответствуют рассма­ триваемой точке на одной из кривых намагничивания системы и одновременно связаны с определенным зна­ чением тока г. При этом положение точки а в общем случае определяется как функция а = а(Чх, i, s) и харак­ теризует одно из возможных физических состояний си­ стемы. В то же время, как видно из рис. 1-13,6, эта же точка а определяет конкретный запас энергии магнитно­ го поля = Iх, i, So). Следовательно, о запасе энер­ гии магнитного поля можно говорить как о функции со­ стояния системы.

Функция состояния отражает свойства, зависящие от текущих переменных в рассматриваемой точке, и не да­

75

ет представления о предшествующем процессе их изме­ нения (об их предыстории). Например, в точку а можно

тока (i=const), переместить якорь в положение s и та­ ким образом попасть в точку а пли при токе г = 0 пере­ местить якорь в положение s, а затем зафиксировать это положение (s = const), довести ток до значения i, соот­ ветствующего точке а. Возможны и другие пути перехо­ да в точку а.

При этом причины изменения запасенной энергии поля различны, а ее конечная величина одинакова. В случае, когда функция состояния определяется только конечными величинами переменных, говорят, что инте­ грал (1-107а) не зависит от пути интегрирования, такие функции, как указано в § 1-3, называют силовыми функ­ циями. В нашем случае энергия поля WL является сило­ вой функцией только в системах, где не учитываются по­ тери в стали, которые зависят от скорости перемагиичивания (т. е. от предыстории) и, следовательно, за счет рассеяния энергии изменяют запас энергии поля в рас­ сматриваемой точке.

б) Анализ и определение обобщенных тяговых сил

Если предположить малое перемещение якоря из по­ ложения s па величину As, то согласно (1-105) справед­ ливо равенство приращений

при этом преобразование энергии может осуществляться в обоих направлениях. В дальнейшем положительным будем считать изменение электрической энергии AWe, если электрическая система отдает энергию магнитному полю и, следовательно, положительное изменение энер­ гии магнитного поля AWL соответствует увеличению ее запаса.

Аналогично изменение механической энергии Дй^мех положительно, если электромагнитная энергия преобра­ зуется в механическую. При этом приращение механи­ ческой энергии может быть представлено как прираще­ ние работы Дй^иех= -РсрД^.где РСр — средняя электромаг­ нитная сила, обеспечивающая перемещение подвижного звена на малом пути As: Pcp=AWMCX/As=AWe/As—

—AWl/’As. Если приращение пути стремится к нулю

76

(As— >-0), то естественно, что Pcp стремится к силе P, соответствующей положению якоря в точке s (РСр— >-Р). в этом случае справедливы следующие дифференциаль­ ные соотношения:

При поворотной системе аналогично получим связи для тягового момента

или для обобщенной тяговой силы в виде

dWe dWL

(1-109в)

dQm dcjm

Таким образом, текущее значение тяговой силы или момента может быть рассчитано исходя из анализа из­ менения электрической энергии (1-106) и энергии маг­ нитного поля (1-107) в функции трех переменных: /, Чг и s [или р], которые между собой могут быть связаны зависимостями (характеристикойнамагничивания систе­ мы) типа

i = i (ф, s)

или

* = »'(*,?),

( 1- 110)

W= W(i,s)

или

и, следовательно, из трех указанных переменных неза­ висимыми переменными могут являться соответственно только две:

Рассмотрим систему, для которой выбраны как неза­ висимые переменные потокосцепление ^(О и путь s(t).

77

Простые преобразования дают возможность получить выражение

(1-115)

из которого следует, что последнее равенство возможно (при независимых переменных 4х и s) только при усло­ вии, что выражения в квадратных скобках равны нулю,

т. е. при

dW, (Ф, s)

ds

d\V, (Ф, s) (1-116)

аФ

Так как силовая функция энергии, запасенной в маг­ нитном поле системы, равна:

о

В приведенных выражениях и ниже переменные, как указывалось, отмеченные черточкой над символом, не

78

изменяются при интегрировании, что наглядно иллюстри­ руется рис. 1-13,6 при определении площади 0—а—Ь—О, пропорциональной запасу энергии WL при фиксирован­ ном положении якоря s. Аналогично (1-114) и (1-115) могут быть получены зависимости, определяющие тяго­ вый момент

или угла поворота (3(0. тогда справедливо (рис. 1-13,6)

ном поле системы (площадь 0—а—b—0), величина W*L—

— Т*е названа коэнергией (значение которой соответству­ ет площади 0—а—с—0 на том же рисунке), и, следова­

WL= W(i, s)i—W*L(i, s)

и, следовательно,

Подставив последнее выражение в (1-109а), после преобразования с учетом (1-112) получим:

При этом аналогично (1-115) последнее равенство при независимых переменных s и i справедливо только

79