Файл: Любчик, М. А. Оптимальное проектирование силовых электромагнитных механизмов.pdf

ностью 1—2% можно ограничиться их первыми члена­ ми, однако при вычислении температур по этим форму­ лам приходится решать трансцендентные уравнения (2-203) графическими плн численными методами, исполь­ зуя соответствующие таблицы |[Л. 34], что вызывает за­ труднения при обратной задаче, связанной с синтезом СЭММ. Отсюда естественное стремление получить при­ ближенное решение задачи, дающее возможность ис­ пользовать его при синтезе СЭММ. Такая возможность рассмотрена нами в работе ,[Л. 73], где используется ва­ риационный метод, дающий приближенное решение си­ стемы (2-201).

Суть метода была рассмотрена ранее, при решении задачи с граничными условиями первого рода (§ 2-3). Ниже рассматриваются особенности его приложения при граничных условиях третьего рода. В этом случае решение системы (2-201) при введенных обозначениях (2-190), (2-192) является экстремалью следующего функционала:

Для нахождения экстремали воспользуемся методом приведения к обыкновенным дифференциальным урав­ нениям. Решение будем искать в виде

Коэффициент а выбирается таким образом, чтобы решение (2-205) удовлетворяло граничным условиям на прямых о= ± 1:

216

Подставляя (2-205) в (2-204) п интегрируя по v, по­ лучаем следующий одномерный функционал:

217

Полученные значения, как и в случае модели «0П», дают возможность определить связь в Ср = £о®м или £2Ср=£ойм, откуда с учетом (2-215) и (2-214) получим:

s sh (sP) + Bi ch («Р)

Кроме того, в рассматриваемом случае полезным оказывается составление формального равенства и вве­ дение корректирующей функции, аналогичной ke, по

(2-171):

Здесь, как и в (2-216), индекс III указывает, что рас­ сматривается случай при граничных условиях третьего рода.

В (2-218) корректирующая функция равна:

Ее значение, отнесенное к максимальному или сред­ нему превышению температуры по (2-214), (2-215), с учетом значения Qn по (2-197) дает:

Предлагаемый подход позволяет выразить и. с. ка­ тушек СЭММ при учете граничных условий третьего рода тепловой модели «/г» зависимостью, аналогичной полученной для модели «0П» при граничных условиях первого рода (2-173). В этом случае

218

где, как и ранее, принято 0м = %е0дОП; 0ср = С” гвм.

'Представляет интерес количественная оценка по­ грешностей в определении максимальной и средней тем­ пературы, полученная при расчете температурного поля катушек СЭММ, рекомендуемыми нами методами при принятых трех тепловых моделях («©о», «©п», «/г») по сравнению с точным методом расчета температурного поля модели «Л». Указанная оценка позволяет ориен­ тироваться в целесообразности применения той или иной модели и, следовательно, полученных выражений кор­ ректирующих функций ke и комплексов т)о в реальных

границах изменения критериев подобия Bi и (3.

Для этого, используя ЭЦВМ, были просчитаны соот­ ветствующие значения максимальных и средних превы­ шений температур по полученным зависимостям для всех принятых тепловых моделей. Процент отклонения от точного решения с учетом граничных условий третьего рода нанесен на соответствующих кривых графиков, приведенных на рис. 2-17. Указанные расчеты проведе­ ны для реальных границ изменения критериев р и Bi ха­

ков, приближенная тепловая модель «@0», предполагаю­ щая постоянство температуры по сечению обмотки, справедлива лишь при малых значениях числа Вi (Вi< <0,05). С ростом Bi погрешности по отношению к сред­

2-17,6) резко возрастают. При тепловой модели «0П» расчетные зависимости @ср и ©м, полученные исходя из граничных условий первого рода, дают отрицательную погрешность. Расчет средней температуры при данной модели может быть произведен, как следует из рис. 2-17,б, с высокой точностью—-погрешность меньше 4%. Расчетом максимальной температуры при этом следует пользоваться при Bi'^0,1. При больших значениях чис­ ла Bi погрешность превосходит 8% (рис. 2-17,г), что со­ ответствует при ©доп=Ю0°С недоучету примерно 8°С, которые заметно уменьшают срок службы обмотки.

219

Со

О О,ОН- 0,08 ■' 0,2 0,4- 0,6 0,8 Bi

в)

Р и с . 2 - 1 7 .

Значения температур по (2-214), (2-215), получен­ ные для тепловой модели «Л» с помощью вариационных методов при граничных условиях третьего рода, имеют погрешность менее 1% для 0 ср (рис. 2-17,д) и менее 3% для 0 М (рис. 2-17,е). Важным обстоятельством является то, что эта погрешность положительна, поэтому расчет по формулам зависимости, рекомендуемым для этой мо­ дели, обеспечивает определенный запас как по н. с., так и по сроку службы обмотки.

Рис. 2-18.

Представляет интерес сопоставление картины темпе­ ратурного поля обмотки, рассчитанного на ЦВМ раз­ личными методами. На рис. 2-18 показаны поля при В1= 0,4 и р= 3. На рис. 2-18,а представлена картина по­ ля, рассчитанная исходя из граничных условий первого рода. Как видно из рис. 2-18,6 и в, картины поля, рас­ считанные точным и вариационным методом, при гра­ ничных условиях третьего рода 'практически совпадают (разница —1менее 1%).

221