Файл: Любчик, М. А. Оптимальное проектирование силовых электромагнитных механизмов.pdf

ями одной из независимых переменных. В этом случае

функционал I [0*] на классе функций вида i

k = \

превращается в функционал

зависящий от l функций одной независимой переменной. Если после этого перейти к пределу I— >-оо, то при неко­ торых условиях можно получить точное решение, если же предельного перехода не осуществлять, то будет по­ лучено приближенное решение.

Вопрос о сходимости приближений и об оценке сте­ пени точности этих приближений является весьма слож­ ным [Л. 34]. Нами указанная оценка будет произведена в результате сопоставления с решениями, полученными ранее (2-143) классическим методом. Подробное описа­ ние прямых методов изложено в ряде руководств [Л. 34], применение их для рассматриваемой задачи с учетом принятого нами принципа базовой к корректирующих функций дает возможность определить максимальное и среднее превышение температуры для симметричной модели в виде

где приближенные значения корректирующих функций соответственно равны:

при применении метода Ритца

Для граничных задач первого рода с постоянной тем­ пературой поверхности обмотки применение вариацион­ ных методов особого интереса не представляет, посколь­ ку ряды в полученном нами точном решении (2-143) схо­ дятся очень быстро и погрешность замены ряда первым

206

его членом не превышает 1,0% для максимальной темпе­ ратуры и 0,5% для средней температуры. Тем ре менее приведенные формулы для корректирующих функций Цм и Цср при определении максимальной и средней тем­ ператур, полученные точным и приближенными вариа­ ционными методами, дают возможность получить пред­ ставление о точности последних.

В табл. 2-4 приведено сопоставление значений функ­ ций цм и цср, полученных по (2-151), (2-152) и по ре­ зультатам приближенных вариационных методов (2-163) и (2-164) для модели ©п.

Из табл. 2-4 видно, что метод Ритца в первом при­ ближении дает результаты, весьма отличающиеся от точного решения. Формулы, полученные с помощью ме­ тода Канторовича, имеют различную точность в зависи­ мости от выбора аргумента функции в выражении 0*;. При выборе в качестве аргумента функции переменной, которая изменяется в больших пределах в области инте­ грирования, получен результат, практически совпадаю­ щий с точным методом, например полученным по (2-151)

и (2-152).

Результаты расчетов, сведенные в табл. 2-4, свиде­ тельствуют о том, что вариационные методы и в первую очередь метод Канторовича являются эффективным средством расчета температурных полей обмоток, а сле­ довательно, и корректирующих функций по нагреву.

Итак, для расчета максимального и среднего превы­ шения температуры в случае модели «0П» могут быть

207

где корректирующие по нагреву функции равны:

Полученные решения определяют перепад темпера­ туры по отношению к температуре на поверхности об­ мотки. Для определения действительного значения тем­ пературы или превышения ее по отношению к темпера­ туре окружающей среды (2-122) необходимо определить сумму

где /ср— длина окружности по среднему витку обмотки; уT=AT//iH— отношение коэффициентов теплоотдачи с тор­ цов и наружной поверхности обмотки.

208

Удобно (2-168) и (2-169) представить в виде

где значение 0П может быть принято в соответствии с рекомендациями (§1-3) как базовая функция: Z6 = 0n, а корректирующие функции по нагреву keM и £0ср опреде­

лены:

Подстановка (2-165) и (2-170) в (2-172) дает воз­ можность получить значение указанных функций в виде

которые дают возможность выразить значение превыше­ ния средних температур через максимальные значения

где в соответствии с (2-165), (2-168), (2-169) и с учетом

(2-170)

Последние соотношения дают возможность выразить превышение средней температуры через допустимое зна­ чение

где 0и= ке0ЯО11.

Расчет &в по (2-173) предполагает заданное значение

коэффициента теплоотдачи hB. Если принять, что Лн

является линейной функцией от температуры [Л. 50], то

где hо.с — коэффициент теплоотдачи, отнесенный к тем­ пературе окружающей среды fl0.c-

В этом случае значение /г0м может быть определено

из равенства

где произведена замена (2-171)

Равенство (2-180) может быть сведено к квадратно­ му уравнению вида

^0.ч “Н М " -^к^о] й0м — AKL0(1 + рх0м) = 0,

где

меняться в довольно широких пределах. Индекс I в по­ казателе степени указывает, что корректирующая функ­ ция, определяющая превышение максимальной темпера­ туры катушки по отношению к значению превышения температуры на ее поверхности, получена для модели «0П» при граничных условиях первого рода. В этом слу­ чае

2 1 0