Файл: Любчик, М. А. Оптимальное проектирование силовых электромагнитных механизмов.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 16.10.2024

Просмотров: 95

Скачиваний: 7

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

В рассмотренных случаях производными обобщенных координат являются токи в электрической цепи

=

( 1-8)

и соответственно линейные или угловые скорости по­ движных звеньев механической цепи

 

dV =

J±. =

v (ty

 

dt

dt

(1-9)

 

 

rfp

4m

dt

'(0-

dt

Здесь и далее для упрощения обозначений в сово­ купностях однородных параметров опущен индекс /г, однако мы будем условно понимать, например, под q

п q (аналогично для s, р, а, б и s, р, а, б) однородную совокупность всех обобщенных координат и скоростей при k —\,2 , г (r-мерный вектор).

Закон изменения во времени обобщенных координат и их скоростей [Л. 46] может быть получен из принципа н а и м е н ь ш е г о д е й с т в и я (принцип Гамильтона), согласно которому между моментами времени ii и t% действительное движение системы (изменение ее состоя­ ния) осуществляется так, что интеграл

 

/д = \L{q,q,t)dt

(1-10)

 

й

 

принимает

наименьшее из возможных значений.

Подынтегральную функцию

 

L =

L(q,q,t) = L(qu qv ...,qr\ ql ,....,qr\

t)

принято называть силовой функцией Лагранжа или ки­ нетическим потенциалом данной системы, а интеграл / д — функционалом действия или наименьшего действия. Рекомендации, по составлению силовой функции Лагран­ жа, т. е. функции, определяющей динамическое состоя­ ние системы применительно к системам СЭММ, будут приведены ниже, здесь же укажем [Л. 37], что ее значе­ ние определяется разностью кинетической (Т) и потен­ циальной (V) энергий системы:

L{q,q,t) = T V

(1-11)

28


и, следовательно, зависит, кроме обобщенных коорди­ нат, еще от совокупностей других параметров п харак­ теристик, например размеров системы, обмоточных дан­ ных намагничивающих катушек, характеристик эластич­ ности упругих звеньев, коэффициентов трения подвижных звеньев, характеристик используемых материалов и дру­ гих.

Если объединить указанные параметры, а также обобщенные координаты и их скорости в неоднородную совокупность (m-мериый вектор) вида

Z = {Zi, 22, 23, ..., Zm},

(1-12)

то функция Лагранжа, которая является сложной зави­ симостью от принятой неоднородной совокупности,

L = L(zi,zz........z,„) (1-13а)

может быть обозначена в виде

L = L(Z)

(1-136)

=L(z)-

впоследней записи и везде ниже с целью упрощения написания формул опущено обозначение вектора.

Далее в силу условий принципа наименьшего дей­ ствия задача отыскания функций q и q, доставляющих функционалу действия /д экстремальное (минимальное)' значение, сводится к интегрированию дифференциально­ го уравнения вида

dL(z)

d

ГdL (г)

1__ q

(1-14)

dq

dt

L <Э<7

J

1

называемого в вариационном исчислении уравнением Эйлера [Л. 96].

При нескольких степенях свободы в принципе наи­ меньшего действия, как указывалось, должны варьиро­ ваться г различных функций q{t). Очевидно, что в этом случае могут быть получены г уравнений вида

 

£L(z)_-----d r d L ( z n = 0

(М 5)

 

дйь

dt L dqh J

 

 

где k = \,

2, ... , r.

 

 

со­

С математической точки зрения уравнения (1-15)

ставляют

систему г

уравнений второго

порядка

для

г неизвестных функций quit)- Общее решение такой си­ стемы содержит 2г произвольных постоянных. Для их определения и тем самым полного описания состояния

29


Сйстёмы необходимо знать начальные условия, харак­ теризующие состояние системы в некоторый заданный момент времени. При анализе работы СЭММ указанные условия могут быть получены из дополнительных огра­ ничений, в число которых могут входить также связи, определяющие надежное срабатывание механизма, до­

пустимые условия их нагрева, насыщение

участков

стали и др.

 

'В общем случае дополнительные ограничения могут

быть представлены в виде

 

£*(*){>, =,< ]& *

(1-16а)

где i= l, 2, ..., I, указывающем на то, что дополнитель­ ное i'-e ограничение больше, равно или меньше задан­ ного значения Ь,-, или в виде

г е й (2 ),

(1-166)

утверждающем принадлежность совокупности z задан­ ной области Q.

Возможна также запись ограничений (1-16а) в виде

системы уравнений

 

Di*(z)=Di(z)Kibi = 0,

(1-16в)

где хг — функция или коэффициент ограничения, при­ нятый запас, соответственно определенный как безраз­ мернаявеличина — кратность ограниченияпо условиям надежностиили другим условиям (х,->1, х*= 1 или х,<1).

Приведенные уравнения ограничений в свою очередь могут определяться:

а) конечными равенствами

0,

(1-17а)

где в совокупности z (1-12) имеются искомые

(варьи­

руемые) аргументы zy

 

б) дифференциальными уравнениями

 

D*^{x,z,z') = 0,

(1-176)

где в совокупности z имеются подлежащие определению (варьируемые) функции Zj=Zj(x) и их производные z'j=dzj/dx-,

в) интегральными уравнениями

D*p(x,z,z') = О,

п -17в)

30


где, как и ранее, подлежат определению функции г, и их производные z'j.

Указанные уравнения ограничений рассматриваются ниже и являются по сути .исходными уравнениями при проектировании систем электромагнитных механизмов, так как в их число, кроме уравнений, отражающих условия статики, в том числе и граничные условия ряда задач, могут входить также дифференциальные уравне­ ния Эйлера (1-15), полученные из условий принципа наименьшего действия и, следовательно, отражающие условия работы .системы в динамике, а также интеграль­ ные уравнения, описывающие некоторые технико-эконо­ мические характеристики системы, например, по запасу энергии, удару и т. п.

Проектирование механизмов по исходной системе

уравнений ограничений

 

Di* (z) = 0,

(1-17г)

где i =l , 2, ..., /, называемое ниже п р я м ы м

с и н т е ­

з о м СЭММ, обеспечивает работоспособность устройст­ ва, но не гарантирует оптимальность его характеристик и технико-экономических показателей.

JB этой связи при оптимальном проектировании по­ является необходимость введения ряда п о к а з а т е л е й к а ч е с т в а Пк, отражающих состояние или значение ряда технических и экономических характеристик меха­ низма, например, по массе, стоимости, объему, потреб­ ляемой мощности, времени срабатывания, удару, надеж­ ности и т. п. Показатели качества могут быть выра­ жены функцией или функционалом от ряда переменных параметров или функций Zj, входящих в совокупность z

( 1- 12) :

n h = J7k(z)

или

П к

Л2

(х, z, z') dx.

(1-18)

J

 

 

 

При необходимости оценки механизма по ряду по­

казателей качества

(&=1,

2........г) в дальнейшем вво­

дится функция компромисса, или обобщенный технико­ экономический показатель (целевая функция), опреде­ ляющий э ф ф е к т и в н о с т ь СЭММ:

Э(?)=Э (/7,,(г)];

(1-19)

31