Файл: Любчик, М. А. Оптимальное проектирование силовых электромагнитных механизмов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 95
Скачиваний: 7
В рассмотренных случаях производными обобщенных координат являются токи в электрической цепи
= |
( 1-8) |
и соответственно линейные или угловые скорости по движных звеньев механической цепи
|
dV = |
J±. = |
v (ty |
|
|
dt |
dt |
(1-9) |
|
|
|
rfp |
||
4m |
dt |
'(0- |
||
dt |
Здесь и далее для упрощения обозначений в сово купностях однородных параметров опущен индекс /г, однако мы будем условно понимать, например, под q
п q (аналогично для s, р, а, б и s, р, а, б) однородную совокупность всех обобщенных координат и скоростей при k —\,2 , г (r-мерный вектор).
Закон изменения во времени обобщенных координат и их скоростей [Л. 46] может быть получен из принципа н а и м е н ь ш е г о д е й с т в и я (принцип Гамильтона), согласно которому между моментами времени ii и t% действительное движение системы (изменение ее состоя ния) осуществляется так, что интеграл
|
/д = \L{q,q,t)dt |
(1-10) |
|
й |
|
принимает |
наименьшее из возможных значений. |
|
Подынтегральную функцию |
|
|
L = |
L(q,q,t) = L(qu qv ...,qr\ ql ,....,qr\ |
t) |
принято называть силовой функцией Лагранжа или ки нетическим потенциалом данной системы, а интеграл / д — функционалом действия или наименьшего действия. Рекомендации, по составлению силовой функции Лагран жа, т. е. функции, определяющей динамическое состоя ние системы применительно к системам СЭММ, будут приведены ниже, здесь же укажем [Л. 37], что ее значе ние определяется разностью кинетической (Т) и потен циальной (V) энергий системы:
L{q,q,t) = T — V |
(1-11) |
28
и, следовательно, зависит, кроме обобщенных коорди нат, еще от совокупностей других параметров п харак теристик, например размеров системы, обмоточных дан ных намагничивающих катушек, характеристик эластич ности упругих звеньев, коэффициентов трения подвижных звеньев, характеристик используемых материалов и дру гих.
Если объединить указанные параметры, а также обобщенные координаты и их скорости в неоднородную совокупность (m-мериый вектор) вида
Z = {Zi, 22, 23, ..., Zm}, |
(1-12) |
то функция Лагранжа, которая является сложной зави симостью от принятой неоднородной совокупности,
L = L(zi,zz........z,„) (1-13а)
может быть обозначена в виде
L = L(Z)
(1-136)
=L(z)-
впоследней записи и везде ниже с целью упрощения написания формул опущено обозначение вектора.
Далее в силу условий принципа наименьшего дей ствия задача отыскания функций q и q, доставляющих функционалу действия /д экстремальное (минимальное)' значение, сводится к интегрированию дифференциально го уравнения вида
dL(z) |
d |
ГdL (г) |
1__ q |
(1-14) |
|
dq |
dt |
L <Э<7 |
J |
||
1 |
называемого в вариационном исчислении уравнением Эйлера [Л. 96].
При нескольких степенях свободы в принципе наи меньшего действия, как указывалось, должны варьиро ваться г различных функций q{t). Очевидно, что в этом случае могут быть получены г уравнений вида
|
£L(z)_-----d r d L ( z n = 0 |
(М 5) |
||
|
дйь |
dt L dqh J |
|
|
где k = \, |
2, ... , r. |
|
|
со |
С математической точки зрения уравнения (1-15) |
||||
ставляют |
систему г |
уравнений второго |
порядка |
для |
г неизвестных функций quit)- Общее решение такой си стемы содержит 2г произвольных постоянных. Для их определения и тем самым полного описания состояния
29
Сйстёмы необходимо знать начальные условия, харак теризующие состояние системы в некоторый заданный момент времени. При анализе работы СЭММ указанные условия могут быть получены из дополнительных огра ничений, в число которых могут входить также связи, определяющие надежное срабатывание механизма, до
пустимые условия их нагрева, насыщение |
участков |
стали и др. |
|
'В общем случае дополнительные ограничения могут |
|
быть представлены в виде |
|
£*(*){>, =,< ]& * |
(1-16а) |
где i= l, 2, ..., I, указывающем на то, что дополнитель ное i'-e ограничение больше, равно или меньше задан ного значения Ь,-, или в виде
г е й (2 ), |
(1-166) |
утверждающем принадлежность совокупности z задан ной области Q.
Возможна также запись ограничений (1-16а) в виде
системы уравнений |
|
Di*(z)=Di(z)—Kibi = 0, |
(1-16в) |
где хг — функция или коэффициент ограничения, при нятый запас, соответственно определенный как безраз мернаявеличина — кратность ограниченияпо условиям надежностиили другим условиям (х,->1, х*= 1 или х,<1).
Приведенные уравнения ограничений в свою очередь могут определяться:
а) конечными равенствами
0, |
(1-17а) |
где в совокупности z (1-12) имеются искомые |
(варьи |
руемые) аргументы zy |
|
б) дифференциальными уравнениями |
|
D*^{x,z,z') = 0, |
(1-176) |
где в совокупности z имеются подлежащие определению (варьируемые) функции Zj=Zj(x) и их производные z'j=dzj/dx-,
в) интегральными уравнениями
D*p(x,z,z') = О, |
п -17в) |
30
где, как и ранее, подлежат определению функции г, и их производные z'j.
Указанные уравнения ограничений рассматриваются ниже и являются по сути .исходными уравнениями при проектировании систем электромагнитных механизмов, так как в их число, кроме уравнений, отражающих условия статики, в том числе и граничные условия ряда задач, могут входить также дифференциальные уравне ния Эйлера (1-15), полученные из условий принципа наименьшего действия и, следовательно, отражающие условия работы .системы в динамике, а также интеграль ные уравнения, описывающие некоторые технико-эконо мические характеристики системы, например, по запасу энергии, удару и т. п.
Проектирование механизмов по исходной системе
уравнений ограничений |
|
Di* (z) = 0, |
(1-17г) |
где i =l , 2, ..., /, называемое ниже п р я м ы м |
с и н т е |
з о м СЭММ, обеспечивает работоспособность устройст ва, но не гарантирует оптимальность его характеристик и технико-экономических показателей.
JB этой связи при оптимальном проектировании по является необходимость введения ряда п о к а з а т е л е й к а ч е с т в а Пк, отражающих состояние или значение ряда технических и экономических характеристик меха низма, например, по массе, стоимости, объему, потреб ляемой мощности, времени срабатывания, удару, надеж ности и т. п. Показатели качества могут быть выра жены функцией или функционалом от ряда переменных параметров или функций Zj, входящих в совокупность z
( 1- 12) :
n h = J7k(z)
или |
П к |
Л2 |
(х, z, z') dx. |
(1-18) |
|
J |
|||||
|
|
||||
|
При необходимости оценки механизма по ряду по |
||||
казателей качества |
(&=1, |
2........г) в дальнейшем вво |
дится функция компромисса, или обобщенный технико экономический показатель (целевая функция), опреде ляющий э ф ф е к т и в н о с т ь СЭММ:
Э(?)=Э (/7,,(г)]; |
(1-19) |
31