Файл: Любчик, М. А. Оптимальное проектирование силовых электромагнитных механизмов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 98
Скачиваний: 7
б) Анализ принципа наименьшего действия применительно к электромагнитным системам
Система (1-15), полученная из принципа наимень шего действия, определяет действительную динамиче
скую траекторию изменения состояний |
механизма |
в функции независимых координат qk и |
оказывается |
особенно полезной для электромеханических систем, так как она дает для консервативной системы полные урав нения движения, включая условия связи между ее элек трической и механической цепыо.
Использование принципа Даламбера и законов Кирхгофа становится излишним, за исключением тех случаев,- когда они могут понадобиться для учета некон сервативных внешних сил (сторонних сил) и рассеяния (потерь) энергии неконсервативных динамических си стем. Однако и в этом случае, как будет показано ниже, для большинства систем можно преобразовать (модернизировать) уравнения Эйлера к виду, удобному также для описания и неконсервативных систем.
Как известно, в принципе наименьшего действия предполагается, что функция Лагранжа (лагранжиан)
L = L(qu |
q%, |
..., qr, t), |
(1-27) |
во-первых, составлена |
для |
консервативной |
системы, |
т. е. системы без потерь и независящей от сторонних сил, и, во-вторых, она является силовой функцией — ее значение определяется состоянием^ системы в данный фиксированный момент времени I и не зависит от предыстории изменения обобщенных координат и их скоростей (подробно см. в § 1-4).
При этом для электромеханической системы ее зна
чение согласно (1-11) удобно представлять |
в виде |
L = T— V = T*+U, |
(1-28) |
где Т* принято по (1-2) как значение кинетической коэнергии системы, а V — как некая потенциальная функция, равная потенциальной энергии системы с об ратным знаком.
Указанное соотношение определяет энергетическую связь обобщенной силы упругости и обобщенного коли чества движения консервативной системы с функцией Лагранжа, используемой в принципе наименьшего дей
37
ствия. Действительно, так как полный дифференциал от лагранжиана (1-27) в рассматриваемом случае равен:
^ = |
+ |
(1-29) |
А=1 |
к=1 |
|
и так как при обратной постановке задачи |
|
|
|
L = ^ d L , |
(1-30) |
то учитываем, что L является силовой функцией неза висимых координат qit, и, следовательно, для определе ния ее значения по (1-30) может быть выбран любой путь интегрирования и в том числе путь, при котором вначале интегрирование производится по qu при фикси рованных _значениях скоростей qk, например, дн= 0 и времени t, а затем фиксируются конечные значения координат qh и t * и интегрирование производится при переменной qh, т. е. справедливо
(q, q, t) (0, q, |
t) |
|
||
L = |
J |
j |
dL(q, q, i), |
(1-31) |
(0, .7. t) (0, 0, t) |
|
|||
где q = { q t, qlt ...,qr) |
и q = |
{qu q2, q r}. |
|
|
Такие пути интегрирования обоснованы потому, что лагранжиан для консервативной системы определяется конечным значением переменных. Подставляя dL из (1-29) в (1-31), получаем развернутое значение ла гранжиана
L{qи q2, ■■■, qu......qr, q,, qz, •••>qh, •••, qr, 0 ==
.... як..... чг) r
=(0, |
.... 0,1.... 0) |
|
(?■....... |
|
Як........ЯГ) |
+ |
|
I |
(0....... |
o, .... 0) |
|
fc=lS |
dL (g......... |
qh......... |
Qr, 0......... |
0. •••■ O.g) dqk+ |
|
|
dqk |
|
|
г |
dL( q |
qh |
qT\ |
qrf) |
|
||||
E |
|
dq* |
dqh |
|
k—1 |
|
|
(1-32) |
|
|
|
|
|
|
Сопоставляя (1-32) c (1-28), можно отметить, что определенный выбор пути интегрирования при нахожде
* Здесь и ранее черта над символом означает, что данная ве личина остается неизменяемой в процессе данного интегрирования.
38
нии L разделяет лагранжиан иа две силовые функции. Одна из них, обозначенная через U, выражается как
U = J^ dL{q" •" g Л— |
(1-33) |
оft= l
иявляется функцией координат qu и t и не зависит от скорости системы, в линейном случае она точно равна потенциальной энергии системы (V), взятой со знаком
минус.
При выводе (1-32) не накладывались ограничения, связанные с линейностью, поэтому определение потен циальной энергии остается в силе и для нелинейных систем. С другой стороны, в соответствии с принятым обобщенным обозначением (табл. 1-3) потенциальной энергии
V = \ t \-Qcn{q,t)]dqk, |
(1-34) |
б* А=1 |
|
где Qcu — обобщенная сила упругости, справедливо
£ /= - - V = + |
QcK(q,t)dqk. |
(1-35) |
о k=\
Из (1-35) и (1-33) следует, что обобщенная сила упругости равна:
= |
(1-36) |
Второй член правой части (1-32) является функцией конечных значений координат qi, qz, ..., qr и зависит от переменных значений скоростей qi, qz, ..., qr. В линей ном случае этот член по форме точно соответствует кинетической энергии (Г) в механике или запасенной магнитной энергии системы катушек индуктивностей. В общем случае этот член имеет форму кинетической коэнергии (1-2)
Сопоставляя полученное значение .с принятым (см. табл. 1-3) обобщенным обозначением кинетической коэнергни
Т* = f Ц КьМ, q, t)dqk, |
(1-38) |
ОА = 1
определим обобщенное количество движения в виде
Ки |
OL (q, q, |
t) |
(1-39) |
|
|
Найденные значения QCh (1-36 )и Кн (1-39) дают возможность представить уравнение движения консер вативной электромагнитной системы согласно уравне нию Эйлера (1-14) в виде
Qck{q,t) — |
Ku{q, <7,0 = 0- |
(1-40) |
в) Распространение принципа наименьшего действия на неконсервативные системы СЭММ
Полученная выше силовая функция Лагранжа (ла гранжиан), как и другие силовые функции (функции состояния), имеет существенное значение для характе ристики физических систем (электрических, механиче ских, электромеханических и др.) и зависит исключи тельно от состояния системы в данный момент времени и не зависит от ее состояния в прошлом, т. е. от ее предыстории.
К сожалению, класс систем, точно описываемых си ловыми функциями, не включает всех электромагнитных элементов, входящих в рассмотренные ранее подклассы ферроиндуктивных преобразователей (§ 1-1). Рассеяние (потери) энергии должно быть исключено из анализа систем, если они описываются силовыми функциями. В рассматриваемых системах и в том числе в системах силовых электромагнитных механизмов джоулевы по тери и потери в стали (от гистерезиса и вихревых то ков) в ряде случаев занимают существенное место и пренебрежение ими может привести к значительным погрешностям. Существенны в ряде случаев также по тери от вязкого трения в механических цепях системы.
40
Однако почти всегда систему с потерями Можно представить совокупностью нескольких систем, т. е. разделить ее на простые составляющие части. Систему электромеханического преобразователя (рис. 1-7) мож но привести к виду, где выделены электрическая систе ма с потерями (в том числе потери от к. з. витков), электромеханическая система без потерь и механиче ская система с потерями. В этом случае выделение консервативной электромеханической системы дает воз-
можность получить необ |
|
|
s(v) |
|||||
ходимые |
(рассмотренные |
|
|
|
||||
выше) |
уравнения, описы |
|
|
|
||||
вающие |
ее движение (со |
|
|
|
||||
стояние), а затем внести |
|
|
|
|||||
коррективы |
за счет |
си |
|
|
|
|||
стем с потерями и сторон |
|
|
|
|||||
ними |
|
(внешними — не |
|
|
|
|||
консервативными) силами |
|
|
|
|||||
воздействия, когда требу |
|
|
|
|||||
ется полная характеристи |
|
|
|
|||||
ка |
системы. |
сказанное |
|
|
|
|||
на |
Поясним |
|
|
|
||||
примере |
механизма, |
|
А |
|
||||
приведенного |
на |
рис. |
|
|
||||
|
*) |
|
||||||
1-7,а, на подвижное |
зве |
Рис. 1-7. |
|
|||||
но которого с массой т |
|
сила P(i, |
s), сила внеш |
|||||
действуют электромагнитная |
||||||||
него |
воздействия |
Рв.н, |
а |
также |
силы упругого |
|||
звена с эластичностью Cs и противодействующая движе нию сила вязкого трения при коэффициенте трения Rs. В системе учитывается также постоянно действующая сила Рв.о, отнесенная к начальному положению s = 0 подвижного звена (например, затяжка пружины, силы веса и т. п.). Электрический вход механизма выполнен в виде намагничивающей катушки К, к которой при ложена внешняя э. д. с. E(t).
На рис. 1-7,6 слева изображена схема электрическо го входа, справа — согласно принятым нами рекоменда циям и обозначениям (табл. 1-2 и 1-3) — схема-аналог механического выхода. Там же показано пунктиром разбиение общей системы на три простые составные системы А, Б, С, из которых система Б является кон сервативной системой, состоящей из двух инерционных элементов — индуктивности катушки (L) и приведен
41