Файл: Любчик, М. А. Оптимальное проектирование силовых электромагнитных механизмов.pdf

Возможная структура показателей качества и целе­ вых функций подробно рассмотрена ниже.

Введение показателя эффективности (целевой функ­ ции) и требование при оптимальном проектировании (называемом ниже целевым синтезом СЭММ) обеспече­ ния ее максимального пли минимального значения Э(г) при наличии Di(z) ограничений определяет необходи­ мость экстремального исследования исходной системы уравнений. При этом если эффективность механиз­ ма Э{г) и дополнительные ограничения Di(z) выра­ жаются в виде функций от варьируемых аргументов Zj, то при использовании метода неопределенных множите­ лей Лагранжа возможен анализ на безусловный экстре­ мум приведенной целевой функции, равной

которая совместно с сопряженной системой ограничений Di*(.z) =0, t =l , 2, ..., / дает обобщенную систему (v + l) уравнений и определяет возможность нахождения v варьируемых параметров (аргументов) из совокупно­ сти z и I постоянных voi (множителей Лагранжа—по­ стоянных связи).

В ряде задач оптимального синтеза СЭММ возмож­ ны более сложные требования по виду целевой функции и уравнений ограничения. Например, целевая функция может выражаться функционалом вида

А'з

Э [z (х)] = £ Фэ [х, z {х), z' (х)] dx, X1

где под 2 понимают совокупность из v варьируемых функций:

2 = {2i, 22, ..., Zj, . . . , 2„}, Т. е. / = 1, 2........ V,

а в I уравнений ограничений вида Di*(z) —Di(z)—xibj = 0 могут входить:

а) т конечных уравнений

D% = D — = D*^ [х, z (х)] = 0, т) = 1, 2.......ш;

33

Jf = j Dp [x,z{x), z’ {x)\dx.

xi

Вэтом случае, используя, например, как и ранее, метод неопределенных множителей Лагранжа, состав­ ляем приведенный функционал в виде

А'а

Э* [z(x), v2] == J Ф*э \x,z(x),z' (х), v0, v(x)]dx, (l-21a)

в который входит Vi — совокупность множителей Ла­ гранжа, состоящая из совокупности v (x )— функций связи и vo— постоянных связей. При этом приведенная подынтегральная функция функционала эффективности принята равной:

Приведенный функционал Э*(г, v,) зависит от v ФУНКЦИИ Z j И l = m + n + t фуНКЦИЙ Vi и постоянных V0

связи и исследуется на безусловный экстремум, так как благодаря введению неизвестных функций множителя Vi все функции Z j могут варьироваться независимо. В ре­

зультате получим систему уравнений

дополненную сопряженными уравнениями связей в ви­ де равенств1 ZV (z)=0, i =l , 2, ..., I, состоящую из

1 Ограничения в виде неравенств D i(z)< b рассматриваются

ниже.

уравнений Эйлера для функционала Э*(г, v), если его

Задачу с дифференциальными связями называют общей задачей Лагранжа. К ней могут быть сведены все другие задачи на условный экстремум. Для задач с интегральными связями, как видно, неопределенные множители v (х) превращаются просто в неопределен­

ные числа v0p. Для их определения имеется т связей.

Для указанных задач с интегральными связями выпол­ няется так называемый принцип взаимности, состоящий в следующем. Если функция z(x, v) доставляет экстре­ мум интегралу Д при заданном значении интеграла Д, то та нее функция доставляет экстремум интегралу Д при фиксированном значении интеграла Д. К общей задаче Лагранжа приводится также задача об экстре­

Таким образом, при рассмотренных условиях опти­ мального проектирования СЭММ исходная система уравнений может быть представлена в виде

34

При проектировании СЭММ без учета требований оптимальности исходной является система

в которую могут входить основные ограничения по усло­ виям статики, например:

а) ограничения, связанные с надежным срабатыва­ нием механизма, обеспечивающиеся начальной си­ лой (Ро):

где Рв.о — внешняя противодействующая сила при отпу­ щенном якоре, соответствующая начальному моменту движения якоря; хр — соответственно запас по силе, учитывающий возможные производственные и другие от­ клонения (хр>1); в общем виде ограничение по обоб­ щенному моменту равно:

б) ограничения по установившемуся максимальному нагреву 0 Макс

где 0ДОП— допустимое превышение температуры; хв — за­ пас по нагреву в установившемся режиме (х0-<1);

в) ограничения по насыщению магнитопровода (5)

где 5 Нас — индукция насыщения стали; хв — соответст­ вующий запас по насыщению (хв=£^1);

г) ограничения, связанные с возможным отклоне­ нием приложенного к катушке напряжения U,

можно ограничение, связанное с допустимым заполне-

Ййём площади окна катушки S 0M проводом выбранного типа и размера,

где A3.M(sM) — практически допустимый коэффициент за­ полнения намотки катушки для данного сечения sM провода обмотки; ху — запас по укладке, учитывающий наличие изоляционных прокладок и прочих технологи­ ческих отклонений.

Укажем дополнительно, что в ряде случаев практи­ ческого синтеза, как будет показано, полезным оказы­ вается преобразование уравнений ограничений (1-24) в зависимости вида

напряжения и тока на входе катушки (Fu или Fj) при возможном заполнении k3M ее окна намотки.

К основным ограничениям по условиям динамики могут быть отнесены также уравнения движения, полу­ ченные с учетом требования минимума интеграла дей­ ствия,

Необходимость в этом случае (при решении общей задачи Лагранжа) составления силовой функции Ла­ гранжа L(z) по (1-13) требует некоторых уточнений и рекомендаций, которые приводятся ниже. При этом из варьируемых параметров zj рассматриваются только обобщенные координаты qu (£=1, 2, ..., г) и принято,

что qh = qh(t).

36